Traitement numérique des signaux Traitement des signaux échantillonnés

(1)

Traitement numérique des signaux Traitement des signaux échantillonnés

I) Considérons le traitement du signal x(t) suivant :

y(t) =x(t) +x(t−τ)

1. Calculery(t)dans le cas où x(t) =cos2πf t. On pourra utiliser le fait quecosx= ^e^+jx^+e₂ ^−jx 2. Etablir la réponse en fréquence du traitementH(f)(module et phase). Commenter.

3. Quelle est l’opération spectrale qui conduit à Y(f)à partir deX(f). Multiplication ou convolution ?

4. Etablir la réponse impulsionnelleh(t)du traitement. Quel est le signalx(t)qui conduit ày(t) = h(t).

5. Proposer une ecriture formelle de y(t) en fontion de x(t) grâce à la réponse temporelle du traitementh(t)

II) On considère maintenant une combinaison linéaire quelconque d’échantillons successifs dex(t):

y(t) =

ˆi=NX−1

i=0

ai.x(t−iT)

Comment peut-on aborder et formaliser l’analyse de ce traitement complexe (Réponse en fréquence ?) ?

(2)

1) Calcul dey(t) dans le cas où x(t) =cos2πf t : En utilisantcosx= ^e^+jx^+e₂ ^−jx, il vient (en détaillant) :

y(t) = ^e^{j2πf t}^+e₂^{−j2πf t}+^e^{j2πf(t−τ)}^+e₂^{−j2πf(t−τ)} y(t) =e^{j2πf t}^1+e^{−j2πf τ}₂ +e^{−j2πf t}^1+e^{j2πf τ}₂

y(t) =e^{j2πf t}e^{−jπf τ e}^{jπf τ}^+e₂^{−jπf τ} +e^{−j2πf t}e^{jπf τ e}^{−jπf τ}₂^+e^{jπf τ} y(t) =e^{j2πf t}e^{−jπf τ}cosπf τ+e^{−j2πf t}e^{jπf τ}cosπf τ

y(t) =cosπf τ¡

e^j2πf(t−^τ²⁾+e^{−j2πf(t−}^τ²¢ y(t) = 2cosπf τ cos2πf(t−^τ₂)

2) Réponse en fréquence :

Il apparaît que le traitement modifie l’amplitude et la phase du signal sinusoïdalcos2πf t : – Amplitude :2cosπf τ

– Phase : -πf τ

Mais la réponse en fréquence qui vaut :H(f) = 2cosπf T.e^{−jπf τ}

n’apparaît pas clairement car le signal en entrée du traitement contient en fait deux fréquences : f et −f. En effet :

cos2πf t=1

2e^{j2πf t}+1 2e^{−j2πf t}

e^{j2πf t} est une composante fréquentielle pure à la fréquencef et e^{−j2πf t}est une composante fréquen- tielle pure à la fréquence−f

Pour obtenir directement la réponse en fréquence du traitement à la fréquencef, il faut appliquer un signal contenant uniquement la fréquencef : c’est-à-diree^{j2πf t}. Essayons :

Soitx(t) =e^{j2πf t}, il vient : y(t) =e^{j2πf t}+e^{j2πf(t−τ)} y(t) =¡

1 +e^{−j2πf τ}¢ e^{j2πf t} y(t) =¡

e^{jπf τ} +e^{−jπf τ}¢

e^{−jπf τ}e^{j2πf t} y(t) = 2cosπf τ.e^{−jπf τ}e^{j2πf t}

Le signal de sortie apparaît comme le signal d’entrée multiplié par la réponse en fréquence du traitement :H(f)à la seule fréquencef contenue dans le signal d’entrée.

Attention : Ce raisonnement n’est juste que dans le cas où le signal d’entrée est monofréquentiel.

Comme nous allons le voir, dans le cas d’un signal plus riche, chaque composante fréquentielle est multipliée par la réponse du traitement à sa fréquence. Et le signal de sortie n’apparaît plus comme le signal d’entrée multiplié par une quantité unique même complexe (cas du signalcos2πf tvu précé- demment).

A explorer : Tracer la réponse en fréquence (module et phase). Attention, le module de H(f) est toujours positif. Remarquer la linéarité de la phase, ses sauts de πet ses sauts de 2π. Remarquer la périodicité de la réponse en fréquence ; caractéristique des systèmes discrets (échantillonnés). Vérifier

“physiquement” la réponse en fréquence en plaçant en entrée du traitement des signaux sinusoïdaux aux fréquences particulières :0 ; _2τ¹ ; ¹_τ; _2τ³ ; ²_τ;. . .

3) Opération spectrale qui conduit à y(f) à partir dex(f).

Pour un système linéaire, dans le cas général où le signal d’entrée est riche (multifréquentiel), le signal de sortie peutencoreêtre obtenu en exploitant la réponse en fréquence du traitement en appliquant ce que nous venons d’établir, pour un signal monofréquentiel, à chacune des composantes fréquentielles du signal d’entrée. Prenons comme exemple le signal d’entrée initial :x(t) =cos2πf t. Sa décomposition en composantes fréquentielles élémentaires est la suivante :

x(t) =1

2e^{j2πf t}+1 2e^{−j2πf t}

Il convient alors de multiplier chaque composante par la réponse en fréquence correspondante :

(3)

y(t) = ¹₂e^{j2πf t}.H(f)+¹₂e^{−j2πf t}.H(−f)y(t) = ¹₂e^{j2πf t}.2cosπf T.e^{−jπf τ}+¹₂e^{−j2πf t}.2cosπ(−f)T.e^{−jπ(−f)τ} y(t) = 2cosπf τ¡₁

2e^j2πf(t−^τ²⁾+¹₂e^−j2πf^(t−^τ²¢

= 2cosπf τ.cos2πf(t−^τ₂)

D’une façon générale, “tout signal” peut être décomposé en une somme de composantes fréquentielles :

x(t) = Z _+∞

−∞

X(f).e^{j2πf t}df .

X(f)est l’amplitude de la composante à la fréquence f contenue dans le signalx(t).X(f) est une fonction de la fréquence qui caractérise le signalx(t)qui est appelé spectre. Dans le cas du signalcos2πf t,X(f)est une “fonction discrète” qui vaut ¹₂ aux deux fréquencesf et−f et0ailleurs.

Six(t)est le signal d’entrée, en vertu de la linéarité du système,y(t)peut s’écrire :

y(t) = Z _+∞

−∞

H(f).X(f).e^{j2πf t}df

Cette expression montre que le spectre du signal de sortie peut être calculé très facilement à partir de celui d’entrée de la manière suivante :

Y(f) =H(f).X(f)

Nous verrons par la suite comment déterminer de façon systématique le spectre d’un signal grâce aux outils mathématiques que sont : la décomposition en série de Fourier et la transformée de Fourier.

4) Réponse impulsionnelle h(t) du traitement.

Comme son nom l’indique, la réponse impulsionnelle d’un traitement est le signal de sortie lorsque le signal d’entrée est constitué d’une seule impulsion élémentaire à l’instant0:x(0) = 1;x(t) = 0,∀t6= 0.

Dans le cas de notre traitement, il est clair que le signal de sortie sera alors un signal constitué de deux impulsions élémentaires ; une située à l’instant 0 et l’autre à l’instant T. La réponse impulsionnelle h(t)vaut donc :

h(0) =h(τ) = 1 ; h(t) = 0∀t6={0;τ}

Remarque : Nous verrons plus tard que la réponse en fréquence H(f) établie précédemment est en fait le spectre de la réponse impulsionnelleh(t).

5) Ecriture formelle de y(t) en fontion dex(t)

Tout signalx(t)peut être vu comme une succession d’impulsions élémentaires d’amplitudes différentes.

A l’instanttpar exemple,x(t)peut être vu comme une impulsion située à l’instanttd’amplitude égale à la valeur dex(t).

Si h(t) est la réponse du système à une impulsion élémentaire située à l’instant0 et d’amplitude1, la réponse à une impulsion située à un instant particulier usera simplement h(t−u). Dès lors, en vertu de la linéarité du système, la réponse à un signal plus complexe sera la somme des réponses aux impulsions successives qui constituent le signal d’entrée :

y(t) = Z _+∞

−∞

x(u).h(t−u)du

Cette opération est connue sous le nom de convolution. Elle est généralement symbolisé par le signe?:

y(t) =x(t)? h(t)

Cette expression du signal de sortie dans le domaine temporel est la duale de celle dans le domaine fréquentielle :

Y(f) =H(f).X(f)

Il apparaît donc qu’uneconvolution dans le domaine temporel se traduit par une multiplication dans le domaine fréquentiel (l’inverse est également vraie).