Traitement du signal

(1)

Signal électrique

Traitement du signal

• Télécommunications, radiocommunications (ADSL, GSM, UMTS, TNT, Wifi, …)

• Image et son (JPEG, MPEG, MP3, Filtrage, Annulation écho, Analyse, Synthèse, …)

• Médical (Échographie, Imagerie, Biosignaux, …)

• Radar, géophysique, Acoustique (sous-marine)

• …

Grandeur physique

Milieu de

transmission

Capteur Bruit

Traitement du signal

Exploitation

(2)

Signaux et Systèmes

Les signaux :

- Déterministes

- Impulsionnels - Périodiques

- Aléatoires : bruits (bruit blanc), données, information, …

Les systèmes :

– Linéaires Invariant dans le Temps (SLIT) : canaux de transmission, composants électroniques passifs (R,L,C), filtres analogiques et numériques, …

régis par l'opération de convolution

ayant les signaux sinusoïdaux comme fonctions propres Fonction de transfert et analyse de Fourrier

– Non linéaires ou non stationnaires : non linéarités (saturation),

(3)

Traitement Numérique du Signal

Numérisation : double discrétisation

Discrétisation temporelle : Echantillonnage

Discrétisation numérique : Quantification

(4)

Plan du cours

Introduction Rappels

Systèmes linéaires invariants dans le temps Analyse de Fourier

Echantillonnage

Théorème de l'échantillonnage Bruit de quantification

Filtrage numérique

Filtre à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF) Filtre à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII) Transformée en Z

Transformée de Fourier Discrète (TFD)

Transformée de Fourier Discrète Rapide : FFT (Fast Fourier Transform)

(5)

Références

Les livres :

• Traitement numérique du signal, Maurice BELLANGER (Dunod) ;

• Méthodes et techniques de traitement du signal, J.MAX (Masson) ;

• Traitement numérique des signaux, M.KUNT (Dunod) ;

• Digital signal processing, J. G. Proakis, D. G. Manolakis, (Prentice Hall)

Sur Internet :

• Wikipédia : site en pleine progression

• Luc Vandendorpe : http://www.tele.ucl.ac.be/EDU/ELEC2900/tout_2900b.pdf

• Joël Le Roux : http://users.polytech.unice.fr/~leroux/

Exercices, Devoirs surveillés et documents de cours :

• http://luc.fety.free.fr

• http://luc.fety.free.fr/ftp/EI1/

• http://luc.fety.free.fr/ftp/ELE102/

(6)

Systèmes linéaires invariants dans le temps

Linéarité :

Invariance temporelle :

Exemples : canaux de transmission, systèmes optiques, filtrage, … )

(t

x

SLIT

y (t )

)

1

( t

x y

₁

( t )

)

2

( t

x y

₂

( t )

) ( )

(

₂ ₂

1

x t α x t

α + α

₁

y

₁

( t ) + α

₂

y

₂

( t )

) (t

x y (t )

) ( t − τ

x y ( t − τ )

Principe de

superposition

Stationnarité

(7)

Convolution

Réponse impulsionnelle :

Un signal quelconque peut être exprimé comme une somme d'impulsions :

En vertu de la linéarité et de l'invariance temporelle :

Cette opération s'appelle le produit de convolution :

)

δ (t

^SLIT

h (t )

τ τ δ

τ ^t ^d

x t

x ( ) = ∫

₋^+∞_∞

( ) ( − )

τ τ τ ^h ^t ^d x

t

y ( ) = ∫

₋^+∞_∞

( ) ( − )

) ( )

( )

( t x t h t

y = ∗

(8)

Propriétés du produit de convolution

Le produit de convolution est

– commutatif : – associatif : – distributif :

L'élément neutre est l'impulsion de Dirac :

La convolution par opère une translation de :

Évaluation graphique :

(Wikipedia)

) ( ) ( ) ( )

(x g x g x f x

f ∗ = ∗

) ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )

(x g x h x f x g x h x

f ∗ ∗ = ∗ ∗

) ( ) ( ) ( ) ( ))

( ) ( ( )

(x g x h x f x g x f x h x

f ∗ + = ∗ + ∗

) ( )

( ) ( )

( )

(x x u f x u du f x

f ∗^δ =

∫

₋^+∞_∞^δ − =

) (

)

(x x a u a f x u du f x a

f ∗^δ − =

∫

₋^+∞_∞^δ − − = − )

(x−a

δ ^a

du u x g u f x

g x

f ( )∗ ( ) =

∫

₋^+∞_∞ ( )∗ ( − )

(9)

Fonctions propres

Fonctions telles que

Proposition :

) ( )

( )

( x t d x t

h − = ⋅

∫

₋^+∞_∞

^τ ^τ ^τ ^λ

) (t

x x ( t ) ∗ h ( t ) = λ ⋅ x ( t )

e

at

t

x ( ) = x ( t − τ ) = e

^a⁽^t⁻^τ⁾

= e

⁻^a^τ

⋅ e

^at

= e

⁻^a^τ

⋅ x ( t )

4 4 3 4

4 2 1 λ

τ

τ τ τ

τ

ê ^d ê ^h ê ^d

h â ^t ât ^+∞ ⁻â

∞

− +∞ −

∞

−

∫

⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁼ ^⋅ ⁽ ⁾

(10)

Exprimer le signal d'entrée comme une somme de fonctions propres :

ou

Pour déterminer plus facilement le signal de sortie : ou

est appelée " Transformée de ".

est appelée " Fonction de Transfert ".

Base de fonctions propres

∑

^⋅

=

a

eat

a X t

x( ) ( ) ^x⁽^t⁾ ⁼

∫

_a ^X⁽â⁾^⋅êât^da

∑

^⋅ ^⋅

=

a

at a

Y

e a X a t

y 14243

) (

) ( ) ( )

(

λ

⁼

∫

_a ^⋅ ^⋅ ^at

a Y

da e a X a t

y 14243

) (

) ( ) ( )

(

λ

) (t

x

_SLIT

y (t )

) (a

X x(t)

)

λ

(a ^Y⁽^a⁾ ⁼

λ

⁽^a⁾^⋅ ^X ⁽^a⁾

(11)

Différentes transformées :

• Laplace :

• Fourier :

• En Z dans le cas des signaux échantillonnés, …

ω α ^j p

a = = +

^x⁽^t⁾ ⁼

∫

_p ^X ⁽^p⁾^⋅^e^pt^dp

f j

a = ² π

^x⁽^t⁾ ⁼

∫

₋^+∞_∞ ^X⁽ ^f ⁾^⋅^e²^π^ft^df

(12)

Exemple de décomposition

t f t

x ( ) ⁼ cos 2 π

₀ _SLIT

y ( t ) = ?

t f j t

f

j

e

e t

x

² ⁰ ² ⁰

2 1 2

) 1

( =

^π

+

⁻ ^π

SLIT

+

t f

e

j² ⁰ 2

1 π

t f

e

j² ⁰ 2

1 − π

t f f j

H

e

² ⁰

2 ) 1

( 0 _⋅ π

t f f j

H

e

² ⁰

2 ) 1

(− 0 ⋅ − π

0)) 0 (

2 cos(

0) ( )

(t H f f t f

y = π +ϕ

)* ( 0 0)

( f H f

H

si − =

(13)

Exemple de SLIT

) (t

x +

τ

) (

) ( )

(t = x t + x t−τ y

) 1

(

) (

2 2

) ( 2 2

2

0 0 0

0 0

0

1 42 43

f H

f j t

f

j

e e e e

e

^π

→

^π

+

^π ⁻^τ

=

^π

+

⁻ ^π ^τ

) 1

(

) (

2 2

) ( 2 2

2

0 0 0

0 0

0

1 42 43

f H

f j t

f

j

e e e e

e

− +

−

− ^π

→

^π

+

^π ^τ

=

^π

+

^π ^τ

t f e j

f t H

f ej f H t

t y f e j

t f ej t

f t

x ₀ ⁰ ⁰ ₀ ⁰ ₀ 2 ⁰

) 2 (

2 1 ) 2 (

) 1 2 (

2 2 1

cos )

( = π = π + − π → = ⋅ π + − ⋅ ⁻ π

τ τ π

τ π τ π

τ π π τ

π τ

π ₀

0 0 0

0) ( 0 ) 2cos ( ) 2cos

( j f

e f f

H f et

e j f f

e j f

H = + + − ⋅ − = ⋅ − − = ⋅ +

) 2

cos(

cos ) 2

2 ( 2

) 1 2

( 2 cos 1

2 )

(^t π^f₀τ ^e^j π^f⁰^t π^f⁰τ ^e ^j π^f⁰^t π^f⁰τ π^f₀τ π^f₀^t π^f₀τ

y = ⋅ −



 



 ⋅ − + ⋅ − +

=

(14)

Ce qu'il faut retenir

Les traitements des signaux sont le plus souvent des Systèmes Linéaires Invariants dans le Temps.

Ils sont régis par le produit de convolution :

est la réponse impulsionnelle du système. Elle caractérise entièrement le système.

Les transformées de Laplace et de Fourier sont très utilisées pour l'étude des SLIT car elles sont basées sur des fonctions propres des SLIT de la forme .

Elles transforment le produit de convolution en produit simple.

) (t

x

_SLIT

y (t )

τ τ τ ^h ^t ^d x

t h t x t

y( ) = ( )∗ ( ) =

∫

₋^+∞_∞ ( ) ( − ) )

(t h

eat

(15)

Traitement Numérique du Signal

Le traitement numérique des signaux requiert leur numérisation :

1) Les calculateurs sont des systèmes discrets : Ils peuvent tout au plus mémoriser et calculer les valeurs des signaux à des instants dénombrables.

Il faut donc opérer une discrétisation temporelle : L'Echantillonnage

2) Les mémoires disponibles dans les calculateurs sont elles-mêmes constituées d'un nombre fini de bits : Elles peuvent tout au plus mémoriser des valeurs arrondies des échantillons des signaux.

il s'agit d'une discrétisation numérique :

La Quantification

(16)

L'Echantillonnage

L'échantillonnage d'un signal consiste à mesurer et ne conserver que ses valeurs à des instants particuliers :

Le signal obtenu est un signal discret :

est l'indice (ou indexe) des échantillons.

est le symbole de Kronecker :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 -0.5 0 0.5 1

{

^L ⁰^.⁹ ⁰ ⁰^.⁹ ⁰^.⁶ ⁰^.⁶ ⁰^.⁹ ^L

}

) ( )

( = = − − −

nTe ↑

x n

x _A

) (n x

) (t x_A

∑

^+∞

−∞

=

−

⋅

=

i

n i i x n

x( ) ( ) δ( )

) δ(n





=

= ≠

0 1

0 ) 0

( si n

n n si

δ N

n∈

Te

fe

Te1 =

: Période d'échantillonnage

Te

: Fréquence d'échantillonnage

fe

(17)

Reconstruction

Problème : Plusieurs signaux présentent les mêmes échantillons :

Il faut certainement compléter l'information contenue dans les échantillons par des hypothèses supplémentaires.

Solution retenue : Hypothèses dans le domaine spectral Le théorème d'échantillonnage

τ τ τ ^h ^t ^d x

t h t x t

y( ) = ( )∗ ( ) =

∫

₋^+∞_∞ ( ) ( − )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 -0.5 0 0.5 1

(18)

Spectre d'un signal échantillonné

Considérons l'expression analogique du signal numérique :

Peut-on exprimer comme une somme de sinusoïdes ? ou peut-être

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 -0.5 0 0.5

1 x_A(t)

) (t x_N

∑

=

f

ft j f

N t a e

x ( ) ²^π ^x^N⁽^t⁾⁼

∫

_f ^a^f ^e^j²^π^ft^df

(19)

Spectre d'un signal échantillonné

Les signaux présentent tous les mêmes échantillons :^xk⁽^t⁾= ^xA⁽^t⁾⋅^cos²π^kfe^t

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 0 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 0 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 0 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 0 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 0 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 0 1

t f_e π 2 cos

t f t

x_A⁽ ⁾⋅^cos²π _e

t f_e π 4 cos

t f t

x_A⁽ ⁾⋅^cos⁴π _e )

(t x_A

) (t x_A

(20)

Spectre d'un signal échantillonné

Si nous faisons la somme de ces signaux :

∑

= + ⁻

⋅ +

K

k e e

e A

A

et kf j et kf j

t kf t

x t

x

1 2 2

2 cos 2 ) ( )

( 14243

π π

π

=1 K

=2 K

=3 K

=4 K

=5 K

) (t x_A

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 0 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-20 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-5 0 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-5 0 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-505

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-10 0 10

Nous obtenons un signal constitué d'impulsions approchant .^x^N^(t⁾

(21)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -100

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

Spectre d'un signal échantillonné

=100 K

8.8 8.9 9 9.1 9.2

-5 0 5 10 15 20 25 30 35

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

1000 K =1000











 + ⋅

⋅

=

∑

^∞

=1

2 cos 2 ) ( )

( )

(

k

e A

A

N t fe x t x t kf t

x π

∑

^∞

−∞

=

−

⋅

=

n

A

N t x nTe t nTe

x ( ) ( ) δ( )

) ˆ (t x_N

) ( )

ˆ (

2

nTe x

dt t

x _A

nTe

nTe N

Te

Te ⋅ ≈

∫

₋⁺

∑

^∞

−∞

=

⋅

=

k

t kf j A

N t fe x t e ^e

x ( ) ( ) ²^π

(22)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1000

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

8.6 8.7 8.8 8.9 9 9.1 9.2 9.3 9.4

-5 0 5 10 15 20 25 30 35

Vérification du facteur

=1 fe

=10 fe

f

e

0.86 0.87 0.88 0.89 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94 -50

0 50 100 150 200 250 300 350

=1 Te

1 .

=0 Te

(23)

Modulation Périodisation

∑

^+∞

−∞

=

−

⋅

=

k

e A

N f fe X f kf

X ( ) ( )

∑

^∞

−∞

=

⋅

=

k

t kf j A

N t fe x t e ^e

x ( ) ( ) ²^π

) ( f X_A

0 f

) ( f X_N

0 f

fe

fe 2f_e

fe

−2

∫

₋^+∞_∞

= X f e df

t

x_A( ) _A( ) ^j²^π^ft

∑ ∫

^∞

−∞

=

∫ −

+∞

∞

−

+

∞ +∞

−

⋅

=

k

df e kf f X

t kf f j A

N

ft j e A

e df

e f X fe

t x

4 4 4

4 3 4

4 4

4 2

1 π

π

) 2

(

) (

) 2

( )

(

)

( _e

A f f

X − X_A(f −2f_e) )

( _e

A f f

X +

) 2

( _e

A f f

X +

(24)

Transformée de Fourier de

∑

^∞

−∞

=

−

⋅

=

n

A

N t x nTe t nTe

x ( ) ( ) δ( )

∑

^∞

−∞

=

⋅

−

=

n

fnTe j

A

N

f x nTe e

X ( ) ( )

²^π

) (t x

_N

∫

₋^+∞_∞ ⁻

= x t e dt f

X_N( ) _N( ) ^j²^π^ft

∫ ∑

₋⁺_∞^∞ ^+∞ ⁻

−∞

= 









 ⋅ −

= x nTe t nTe e dt

f

X ^j ^ft

n

A

N⁽ ⁾ ⁽ ⁾ δ⁽ ⁾ ²π

or

∑

^+∞

∫

−∞

=

+∞

∞

−

− −

⋅

=

n

ft j A

N f x nTe t nTe e dt

X ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ δ⁽ ⁾ ²^π

(25)

Reconstruction

) ( ) ( )

(f X f H f

X_A = _N ⋅

) ( f H

0 f

) ( f X_N

0 f

fe

fe 2f_e

fe

−2

)

( _e

A

e X f f

f ⋅ + f_e⋅X_A( f) )

2

( _e

A

e X f f

f ⋅ + f_e⋅X_A(f − f_e) f_e⋅X_A(f −2f_e)

) ( f X_A

0 f

2 fe

−

fe

1

∫

₋⁺ ^⋅

= ²

2

1 ( ) 2

) (

fe

fe e

df e

f X t

x_A _f _N ^j ^π^ft

(26)

Formule de Shannon (reconstruction)

∫

₋⁺

^⋅

=

²

2

1

( )

2

) (

fe fe e

df e

f X

t

x

_A _f _N ^j ^π^ft

∑

^+∞

−∞

=

= − n

fnTe j

A

N f x nTe e

X ( ) ( ) ²^π

∫

₋⁺

∑

^+∞

−∞

=

− ⋅









= ² 

2

1 ( ) 2

) (

fe

e x nTe e e df

t

x ^j ^ft

n

fnTe j f A

A

π

∑

^+∞

∫

−∞

=

+

−

− 









= 

n

nTe t f j A f

A

fe

e e df

nTe x

t

x ²

2

) ( 1 2

) ( )

( ^π

∑

^+∞

−∞

=

−

− 



 



 



 



 −

=

n

nTe t j nTe

t j nTe t j A f

A

fe fe

e e e

nTe x

t

x ( ) ( ) ¹ ₂_π₍¹ ₎ ²^π ²⁽ ⁾ ²^π ²⁽ ⁾

∑

^+∞

( )

−∞

= − −

=

n

nTe t j

nTe t f j A f

A

e e

nTe x

t

x ( ) ( ) ¹ ² ^sin(₂_π^π₍ ⁽ ₎ ⁾

∑

^+∞

−∞

= −

=

− n

nTe t f

nTe t f A

A e

nTe

e

x t

x ( ) ( )

^sin(_π^π₍ ⁽ ₎ ⁾

or

(27)

Théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon

) ( f X_A

0 f

) ( f X_N

0 f

fe

fe 2f_e

fe

−2 − ^f₂^e ^f₂^e

) ˆ (f X_A

0 f

fe

fe 2f_e

fe

−2 − ^f₂^e ^f₂^e

fmax

max 2

f

e

f <

^Au

^moins

2 échantillons par période Repliement de spectre

(28)

∑

^∞

−∞

=

−

⋅

=

n

A

N t x nTe t nTe

x ( ) ( ) δ( )

∑

^∞

−∞

=

⋅

=

k

t kf j A

e

N t f x t e ^e

x ( ) ( ) ²^π

∑

^∞

−∞

=

−

⋅

=

n A

N t x t t nTe

x ( ) ( ) δ( )

∑

^∞

−∞

=

⋅

=

k

t kf j e

A

N t x t f e ^e

x ( ) ( ) ²^π

∑

^∞

−∞

=

∞

−∞

=

−

k

t kf j e

n

e e

f nTe

t ^π

δ⁽ ⁾ ²

∑

^∞

−∞

=

∞

−∞

=

− = −

k

e e

n

fnTe

j f f kf

e ²^π δ( )

∑

^∞

−∞

=

−

∗

=

k

e e

A

N f X f f f kf

X ( ) ( ) δ( )

∑

^∞

−∞

=

∗ −

=

n

fnTe j A

N f X f e

X ( ) ( ) ²^π

TF

TF TF

En définitive

∑

^∞

−∞

=

−

=

k

e A

e

N f f X f kf

X ( ) ( )

∑

^∞

−∞

=

= − n

fnTe j A

N f x nTe e

X ( ) ( ) ²^π

TF TF

(29)

∑

^∞

−∞

=

−

⋅

=

n

nTe t

n x t

x( ) ( ) δ( )

∫

₋^+∞_∞ ^⋅ ⁻

= x t e dt f

X( ) ( ) ^j²^π^ft

Transformée de Fourier Discrète (TFD)

∑

^∞

−∞

=

= − n

fnTe

e j

n x f

X( ) ( ) ²^π

Nous savons que la transformée de Fourier :

appliquée au signal échantillonné défini de la manière suivante :

conduit à la définition de la Transformée de Fourier du signal échantillonné :

La "Transformée de Fourier discrète" en est une version calculable :

( ) ∑

⁻

=

= −

= ¹

0

2

) ˆ (

) (

N

n

N j kn N

kfe x n e

X k

X ^π N

fnTe ^N kn

f kFe



 →

 ⁼

Echantillonnage fréquentiel Horizon fini

Traitement du signal