Traitement du signal

(1)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.03

-0.02 -0.01

0.00

Travaux Pratiques de

Traitement du signal

Benoît Decoux

benoit.decoux@wanadoo.fr

(2)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0.19 Partie voisée du mot six (au milieu du mot)

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot)

I) Introduction générale

Plan du cours Cours – TD

Grandes parties :

Généralités sur les signaux

Analyse fréquentielle des signaux (Séries de Fourier, Transformée de Fourier…) Filtrage analogique et numérique(Transformée de Laplace…)

Dans chaque partie :

Approfondissements théoriques (T. Laplace, distributions, intégration…) Cas continu, cas discret

Cas des images Applications Exercices

TP

Utilisation de Scilab

(3)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

I) Introduction générale

Modalités de déroulement

Chaque séance : 1h-1h30 cours / 1h30-2h TP

Approche pédagogique : très appliquée voire inductive Logiciel/langage de programmation utilisé : Scilab TP par binôme, sur ordinateurs portables personnels Compte-rendus de TP (1 par séance) :

Contenu :

oréponses aux questions posées oprogrammes écrits

orésultats de leur test

ointerprétation de ces résultats Format fichiers : compatible MsWord

Nom fichier : TPn_Nom1Nom2.doc (n numéro du TP)

Possibilité de compléter avant séance suivante ; envoi des compléments à : benoit.decoux@wanadoo.fr

Evaluation

QCM de 5 à 10 questions en fin de chaque séance (10 mn) ; questions de cours, TD et TP Compte-rendus de TP

(4)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

I) Introduction générale

Quelques généralités Qu’est-ce qu’un signal ?

!une grandeur physique variant au cours du temps

!une fonction mathématique (variable : le temps) mais également…

!une image (variables : les 2 dimensions spatiales) Qu’est-ce que le traitement du signal ?

!A la fois très théorique et très appliqué Applications

!téléphonie, communications, audio-visuel, médecine…

Outils

!ordinateur / logiciels-programmation "bas-niveau"

!processeurs spécialisés (DSP)

(5)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

II) Notions générales II.1) Rappels

Signal sinusoïdal :

ou avec :

A : amplitude ; ωpulsation (=2πf ; f=1/T) en rad/s ; φ: phase à l’origine (0<=φ<2π) en rad

Représentations :

) t sin(

A ) t (

s = ω + ϕ

f₀

Spectre d’amplitude A

f f₀

Spectre de phase

φ

f T

A

t s(t)

t₀=φ/ω

2) t

sin(

A ) t cos(

A ) t (

s = ω +ϕ = ω +ϕ+ π

(6)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

II) Notions générales II.1) Rappels

Signal quelconque :

Représentations (exemple : mot "zéro") :

temporelle :

fréquentielle :

Spectre d’amplitude

(7)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

II) Notions générales

II.2) Caractéristiques des signaux

Valeur moyenne :

Valeur efficace :

Energie :

Puissance : Instantanée :

Moyenne :

∫

⁺

= _t^t ^T

moy

0 0

dt ) t ( T s

S 1

∫

⁺

= ^t ^T

t 2 eff

0 0

dt ) t ( T s

S 1

∫

⁺

= _t^t ^T ²

moy

0 0

dt ) t ( T s

P 1 )

t ( s P= ²

−

∫

= ²

1

t 1 t 2 2 1

moy s(t)dt

t t ) 1 t , t ( S

signal périodique signal non périodique

2 eff t

t 2 1 2 1 2

t, t

moy s(t)dt S

t t

1 t

t

P E ²

1 2

1 =

= −

∫

= ²

2 1 1

t t

2 t,

t s(t)dt E

−

∫

= ²

1

t t

2 1 2 2 1

eff s(t)dt

t t ) 1 t , t ( S Domaine continu

(8)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

II) Notions générales

II.2) Caractéristiques des signaux

Valeur moyenne :

Energie :

Puissance :

Instantanée : , n indice d’échantillon

Moyenne : Domaine discret

Soit s={s₁, s₂, …s_N} un signal discret composé de N échantillons. Par analogie avec le domaine continu, on peut définir les notions de valeur moyenne, d’énergie et de puissance (la somme continue se transforme en somme discrète ):

∑

⁻

=

= ^N¹

0 n

n

moy s

N S 1

∑

⁻

=

=^N¹

0 n

2

sn

E

∑

∫

2 n

n s

P =

∑

⁻

=

−

=

= ^N¹

0 n

n 1

N

0 n

2

n P

N s 1 N

1 N P E

(9)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

Principe

Tout signal s(t) périodique peut se décomposer sous la forme d’une somme de fonctions sinusoïdales (sinus-cosinus) dont les fréquences sont des multiples entiers n de sa fréquence, et et les amplitudes diminuent lorsque n augmente :

Avec , T période du signal et f₀sa fréquence a₀est la valeur moyenne du signal :

Les termes de la somme sont appelés harmoniques (partiels en musique) : (n≥1)

Propriétés importantes

• Si la fonction s(t) est paire, b =0 pour tout n>0.

III) Séries de Fourier III.1) Forme de base

)) t n sin(

b t ) n cos(

a ( a ) t (

s _n ₀

1 n

0 n

0+ ω + ω

=

∑

^∞

=

0 0

0 T

f 2 2π = π

= ω

∫

= ^T

0 0 s(t)dt T

a 1

∫

^ω

= ^T

0 0

n s(t)cos(n t)dt T

a 2

∫

^ω

= ^T

0 0

n s(t)sin(n t)dt T

b 2

(10)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

Exemple pour signal carré :

La décomposition donne :

, n impair (=0 pour n pair) La re-synthèse à partir de ces coefficients donne (fondamental + 3 premiers harmoniques) :

∑

^∞

=

ω

= π

1

n n

t n sin a ) 4 t ( s

-A

T/2 A





+ +

∈

−

+

= ∈

[ kT T , kT 2 / T [ t pour A

[ kT 2 / T , 0 [ t pour ) A

t ( s

III) Séries de Fourier III.1) Forme de base

(11)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

Exemple pour signal triangulaire :

, n impair (=0 pour n pair) La re-synthèse à partir de ces coefficients donne (fondamental + 3 premiers harmoniques) : III) Séries de Fourier

III.1) Forme de base

-A T/2





∈

−

∈

= +

[ 4 / T 3 , 4 / T ] t pour t A 2

[ 4 / T , 4 / T [ t pour ) t

t ( s

∑

^∞

( )

=

− ω

π −

=

1 n

2 2

1 n

2 n

t n ) sin 1 A (

) 8 t ( s

(12)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

Exemple pour signal en dents de scie :

La re-synthèse à partir de ces coefficients donne (fondamental + 3 premiers harmoniques) : [

kT 2 / T , kT 2 / T [ t pour T t

A ) 2 t (

s = ∈ − + +

-A

T A

∑

^∞

=

− ω

π −

=

1 n

n ) t n ) sin(

1 A (

) 2 t ( s

(13)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

Représentations fréquentielles

Signal carré

, n impair

Signal triangulaire

, n impair

Signal en dents de scie

f₀ 3f₀ 5f₀ b_n

b₁

b₃

b₅

f₀ 3f₀ 5f₀ b_n

f 2f 3f 4f 5f b_n

∑

^∞

=

ω

= π

1

n n

) t n sin(

A ) 4 t ( s

∑

^∞

=

− ω

π −

=

1 n

n ) t n ) sin(

1 A (

) 2 t ( s

∑

^∞

( )

=

− ω

π −

=

1 n

2 2 1 n

2 n

t n ) sin 1 A (

) 8 t ( s

f₀ 3f₀ 5f₀

f 2f 3f 4f 5f π

π

(14)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

Exemple d’un signal quelconque

Signal périodique quelconque (ici ni pair ni impair), de fréquence f₀:

peut se mettre sous la forme d’une somme de sinusoïdes et cosinusoïdes :

! Etonnant, non ? s(t)

0 t

) t n cos(

a ) t n sin(

b a

) t ( s

1 n

0 n

1 n

0 n

0

∑ ∑

^∞

=

∞

=

ω +

= T₀ III) Séries de Fourier

(15)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

Remarques

Pour obtenir le triangle précédent, il a fallu alterner le signe des sinus :

Pour décaler ce triangle de –π/2, il aurait fallu utiliser des cosinus : III) Séries de Fourier

∑

^∞

=

ω

= π

1 n

2 0

2 n

) t n cos(

A ) 8 t ( s

∑

^∞

( )

=

− ω

π −

=

1 n

2 2 1 n

2 n

t n ) sin 1 A (

) 8 t ( s

(16)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

Phénomène de Gibbs

Quand le nombre d’harmoniques tend vers l’infini, on obtient :

Explications

Convergence en moyenne quadratique : Notons le signal décomposé :

alors

Mais pas convergence uniforme(=en tous points) : t_it.q.

) t n cos(

a ) t n sin(

b a

) t ( s~

1 n

0 n

1 n

0 n

0

∑ ∑

^∞

=

∞

=

ω +

= )

t ( s~

∃

(

^s⁽^t⁾ ^s~⁽^t⁾

)

^dt ⁰

lim ²

n→∞

∫

−^+∞∞ − =

(

^s⁽^t⁾ ^s~⁽^t⁾

)

⁰

lim _i _i ²

n − ≠

∞

→

(17)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

III) Séries de Fourier

III.2) Forme avec un seul coefficient

s(t) peut se mettre sous la forme suivante :

avec

et

Intérêt : séparation en spectre d’amplitude et spectre de phase :

∑

^∞

=

ϕ + ω +

=

1 n

n 0 n

0 c cos(n t )

a ) t ( s

2 n 2 n

n a b

c = +



 



=  ϕ

n

n an

arctg b

|C_n|

a₀ C₁

C₂ C₃

C₄

arg(C_n)

φ₁ φ₂

φ₃ φ₄ φ₅

(18)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

III) Séries de Fourier III.3) Forme complexe

En utilisant les formules d’Euler :

on obtient une nouvelle expression (complexe) du signal :

avec

Avantage : forme compacte

Interprétation : fréquences négatives (!)

∑

^∞

−∞

=

ω n

t jn n

e c )

t ( s

∫

⁻ ^ω

= ₀^T ^jn ^t

n

s ( t ) e dt

T c 1 2

e cos e

jα

− α+

=

α ^sin ê ₂_jê ^jê ₂ê

j

jα α −α

−

α − =− −

= α

(19)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

Spectre de cos(ω₀t) :

Spectre de sin(ω₀t) :

Spectre du signal carré : f₀

Re(c_n) 0,5

-f₀ f

Im(c_n)

f f₀

|c_n| 0,5

-f₀ f

f₀

Im(c_n) 0,5

-f₀ f

Re(c_n)

f f₀

|c_n| 0,5

-f₀ f

Im(c_n) b₁/2

b₃/2

III) Séries de Fourier III.3) Forme complexe

(20)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

Représentation du passage de sin(ωt) à cos(ωt) :

Re Im

f

sin cos

III) Séries de Fourier III.3) Forme complexe

(21)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

III) Séries de Fourier III.4) Formalisation

[

⁽^f ^F⁾ ⁽^f ^F⁾

]

2 ) j f (

S = δ + ₀ −δ − ₀

[

⁽^f ^F⁾ ⁽^f ^F⁾

]

2 ) 1 f (

S = δ + ₀ +δ − ₀ Exemples :

Cosinus :

Sinus :

Formalisationdes spectres de fréquence, par utilisation de l’impulsion de Dirac :

+∞

=

δ

( 0 )

_δ₍_t _≠₀₎₌₀ ^+∞

∫

δ(t)dt =1

∞

−





=

δ → T

rect t T lim 1 ) t

( T 0

voir Théorie des Distributions

)

t

δ

(

Définitionde :

On peut l’obtenir par exemple de la manière suivante :

Importance de :

- permet de connaître la réponse impulsionnelle d’un système

) t

δ

(

) t

δ

(

0 δ(t)

t 1

t₀ δ(t-t₀)

t 1

(22)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

III) Séries de Fourier III.4) Formalisation

Propriétés de δ

( t )

:

) 0 ( s ) t ( ).

t (

s

δ ≠

) 0 ( s dt ) t ( ).

t (

s δ =

+∞

∫

∞

−

) t ( s dt ) t t ( ).

t (

s

δ − ₀ = ₀

+∞

∫

∞

−

) t t ( ).

t ( s ) t t ( ).

t (

s δ −

₀

=

₀

δ −

₀

∑

^+∞

−∞

=

− δ

= δ

k

T

( t ) ( t kT )

Peigne de Dirac

∑

^+∞

−∞

= +∞

−∞

=

− δ

=

− δ

k k

) kT t ( ).

kT ( x )

kT t ( ).

t ( x

Utile pour l’étude de l’échantillonnage des signaux

)

t ( ).

0 ( s ) t ( ).

t (

s

δ = δ

(23)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

III.5) Répartition de l’énergie

On peut démontrer la propriété suivante :

Il y a donc conservation de l’énergie en passant de la représentation temporelle à la représentation fréquentielle.

Avec les coefficients complexe c_i:

C’est le théorème de Parseval (ou Besse-Parseval)

) b a ( 2lim a 1

dt ) t ( T s

P 1 ^N ²_n ²_n

1 N n 2 0 T

t t

2

0 0

+ +

=

∫ ∑

∞ =

→ +

∑

=−

∞

= → ^N N n

2 Nlim cn

P

(24)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

III.6) Approfondissements théoriques

Rappels

Continuité

Une fonction est continue en un point si la valeur de la fonction en ce point est la même que l’on y arrive par la droite ou par la gauche.

Si le nombre de points de discontinuité sur un intervalle est fini, et qu’elle admet des limites finies à droite et à gauche, la fonction est continue par morceaux:

Exemple de fonction continue par morceaux : signal carré, signal en dents de scie…

Dérivabilité

Une fonction est dérivable en un point si sa dérivée en ce point est finie, soit si :

Une fonction dérivable en un point est continue en ce point.

∞

− <

= −

→ 0

0 x

0 x x x

) x ( f ) x ( lim f ) x ( 'f

0

) x ( f lim ) x ( f lim

0

0 x x

x

x→ ⁺ = → ⁻

(25)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

III.6) Approfondissements théoriques

Notions de convergence

Pour savoir si le signal approximé (noté ici) représente bien le signal original s(t), on définit plusieurs types de convergences.

Convergence en moyenne

Convergence en moyenne quadratique (=moyenne au sens de l’énergie)

Convergence uniforme

Convergence ponctuelle (=convergence simple)

Il en existe d’autres… (voir plus tard)

On étudie la limite de ces quantités, quand ) t ( s~

(

^s⁽^t⁾ ^s~⁽^t⁾

)

^dt

I

∫

⁻ 2

dt ) t ( s~

) t (

Is

∫

⁻

(

^s⁽^t⁾ ^s~⁽^t⁾

)

^,^t ^I

sup − ∈

∞

→ n

I t , ) t ( s~

) t (

s − ∀ ∈

(26)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

III.6) Approfondissements théoriques Notions de convergence

Exemple

Soit s_n(t) une suite de signaux définis sur [0,1] par : et s(t) le signal défini par :

Convergence simple

On cherche si s_n(t) s(t) quand

On a : donc il y a convergence simple

Convergence uniforme

Pour n fixé, donc on n’a pas convergence uniforme.

Convergence en moyenne quadratique

Donc on a la convergence en moyenne quadratique.

On aurait pu montrer de la même manière qu’on a la convergence en moyenne

n n(t) t

s =





=

∈

= 1 ) 1 ( s

[ 1 , 0 [ t pour 0 ) t ( s

∞

→

→ n

0 ) t ( s ) t ( s , I

t∈ − _n →

∀

1 n= 5

n=

t ) t ( s_n

) t ( s







∈

∀

=

−

=

−

[ 1 , 0 [ t t ) t ( s ) t ( s

0 ) 1 ( s ) 1 ( s

n

n n

1 t lim ) t ( s ) t ( s

lim ⁿ

1 t 1

t − ⁿ = =

→

(

⁻

)

⁼

_∫

⁼ ₊

[ ]

⁺ ⁼ ₊ ^→ ^→^∞

∫

^s⁽^t⁾ ^s⁽^t⁾ ^dt 0¹^t ^dt ₂_n¹ ₁ ^t²ⁿ ¹¹⁰ ₂_n¹ ₁ ⁰ ^qd ⁿ n

1 2 0

2 n

(27)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

III.6) Approfondissements théoriques Signaux décomposables en SF

Signaux intégrables (ou sommables) : espace L¹(t₁,t₂)

Signaux de carré intégrables : espace L²(t₁,t₂)

Intérêt de cet espace : - notion d’énergie - notion d’orthogonalité - notion de projection

Condition d’application de la décomposition en SF : s(t) L¹(0,T) ou L²(0,T)

∞

∫

t₁^t² ^s⁽^t⁾ ^dt <

2

∞

∫

t₁^t² ^s⁽^t⁾^dt <

∈

(28)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

III.6) Approfondissements théoriques

Bases orthogonales Rappel : produit scalaire

2 fonctions x(t) et y(t) sur l’intervalle [t₁,t₂] :

2 vecteurs et

Produit scalaire sur [0,T] de 2 fonctions exponentielles et :

Les fonctions forment une base orthogonale

Développement en série : cas général avec

Cas des séries de Fourier :

0 dt e e )

t ( y ), t (

x ^T

0

t jn t jn₁ ₂

=

>=

<

∫

^ω ⁻ ^ω

t jn₂

e ) t (

y = ^ω

t jn₁

e ) t (

x = ^ω

∫

>=

< ²

1

t

t x(t)y(t)dt )

t ( y ), t ( x

{

x1,x2,...,xn

}

x = y=

{

y1,y2,...,yn

}

i

n

0 i

iy . x y .

x

∑

=

t

ejn

) t (

x = ^ω

∑

^+∞

=

Φ

=

1 n

n n (t) a ) t (

s an ^=<s(t),^Φn ^>=

∫

0^Ts(t)^Φndt <Φ_k,Φ_l^* >=0 ∀k l,∈Ζ, k ≠l

t jn n =e⁻ ^ω Φ

Ζ

∈

∀n₁,n₂

(29)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

IV) Transformée de Fourier IV.1) Définition

Définition

Comparaison avec Transformée de Laplace :

Fourier cas particulier de Laplace avec :

Transformée inverse :

Condition d’application :

( ) ∫

^+∞=−∞

π

= −

= t

ft 2 j dt e ) t ( s )

t ( s F ) f ( S

( ) ∫

^+∞=

−

= −

=Ls(t) _t ₀ s(t)e ^ptdt )

p (

S ^p⁼^σ⁺^j^ω

ω

= j p

( ) ∫

^+∞=−∞

π

− =

= f

ft 2 j 1S(f) S(f)e df F

) t ( s

∞

∫

t^+∞=−∞ x(t).dt <

(30)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

IV) Transformée de Fourier IV.2) Propriétés

Linéarité

Parité

Cas d’un signal réel :

• Si s(t) est une fonction paire, alors S(f) est une fonction paire et réelle.

• Si s(t) est une fonction impaire, alors S(f) est une fonction impaire et imaginaire.

• Si s(t) n’est ni paire ni impaire, alors S(f) comporte une partie réelle paire et une partie imaginaire impaire.

Remarque: le signal peut être complexe (purement théorique)

Changement d’échelle (ou homothétie)

Dérivation

Intégration

) f ( Y . b ) f ( X . a )

t ( y . b ) t ( x .

a

+ ←→^F +



 



→ 

←

a

X f a ) 1

at (

x

^F

) f ( X . ) f 2 dt j(

) t ( x

d

_F _n

n

n ←→ π

) f ( X j . d 1

).

(

x

^F

t

0 τ τ←→ ω

∫

(31)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

IV) Transformée de Fourier IV.2) Propriétés

Translation a) temporelle

avec b) Fréquentielle

Théorème de Parseval (ou de Bessel-Parseval)

Convolution

Densité spectrale de puissance

ℜ

∈

a

∫

−^+∞∞ +∞

∞

−

s

²

( t ) dt

=

S ( f )

²

df ) a f ( X e

).

t (

x

^j²^π^at←→^F −

af 2 j F

X ( f ). e )

a t (

x

− ←→ ⁻ ^π

) f ( Y ).

f ( X )

t ( y

* ) t (

x

→^F

) f ( Y

* ) f ( X )

t ( y ).

t (

x

→^F =

∫

^+∞=−∞ −

u y(u)x(t u)du )

t ( y

* ) t ( x

Rappel :

)

2

f ( S

Conservation de l’énergie

(32)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

IV) Transformée de Fourier

IV.2) TF de quelques signaux courants

Tableau de transformées

S(f)=F[s(t)]

s(t)

[

⁽^f ^f⁾ ⁽^f ^f⁾

]

2 1

0

0 +δ −

+ ) δ

t f 2 cos(

) t (

s = π₀

) t f 2 sin(

) t (

s = π₀ ₂^j

[

δ⁽^f+^f0⁾−δ⁽^f−^f0⁾

]





=

Π T

rect t T)

(t



 T tri t

) Tf ( c sin T

) Tf ( c sin

T ²

∑

^+∞

−∞

=

− δ

= δ

n

T(t) (t nT) (f)

T ) 1 T f n T (

1

T 1 n

δ

=

−

∑

^+∞ δ

−∞

=

) f δ( )

t

δ( 1

1

(33)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

IV.2) TF de quelques signaux courants Quelques démonstrations

Signal porte

Rappel :

Signal sinusoïdal

∫

^+∞=−∞

π

= _t s(t)e−^j² ^ftdt )

f ( S

[ ]

^e _j₂^A_f

[

^e ^e

]

_j₂^A_f

[

^e ^e

]

^A_f ^sin ^fT ^AT^sin^c⁽^Tf⁾

f 2 j dt A e

A ^T^/² ^j² ^ft ^T_T_/^/²₂ ^j ^fT ^j ^fT ^j ^fT ^j ^fT

2 / T t

ft 2

j π =

= π π −

= π −

− π =

−

=

∫

⁺₌₋ ⁻ ^π ⁻ ^π ⁺₋ ⁻^π ^π ^π ⁻^π

x x ) sin

x ( c

sin

π

= π

[

^x⁽^t^).^e

]

^X⁽^f ^f⁾

F ^j²^π^f⁰^t = − ₀

[ ]

¹ ⁽^f⁾

F =δ

^F [ ] ^e

^j²^π^f⁰^t ⁼^δ

⁽ ^f

⁻

^f

⁰

⁾ ( ^F ⁽ ^e ⁾ ^F ⁽ ^e ⁾ ) ₂ ¹ ⁽ ⁽ ^f ^f ⁾ ⁽ ^f ^f ⁾ ⁾

2 )) 1 t f 2 (cos(

F ) f (

S

= π₀ = ^j²^π^f⁰^t + ^j²^π^f⁰^t = δ − ₀ +δ + ₀

(34)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

IV.3) Lien avec séries de Fourier Principe

Dans le cas d’un signal non-périodique, on peut considérer qu’il est périodique en faisant :

Détail

On reprend l’expression de la forme complexe : avec Ré-écriture :

avec

∑

^+∞

−∞

=

= π n

Tt 2 n j n

e c )

t (

s ∫

−

π

= ^T_T^/_/²₂ −^j² ^Tⁿ^t

n s(t).e dt

T c 1

∑

^+∞

−∞

=

= π n

Tt 2 n j 0).e nf ( S )

t (

s

∫

−

π

= ^T^/² − 2 / T

Tt 2 n j

0

s ( t ). e dt

T ) 1 nF ( S

∞

→ T f₀ 3f₀

|C_n|

f -f₀ 0

0 T t 2f₀

SF f₀=1/T

s(t)

(35)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.13

-0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15

0 20 40 60 80 100 120 140

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

IV.3) Lien avec séries de Fourier

Finalement :

avec

Interprétation :

|S(f)|

0 f

0 t

TF s(t)

∑ ∫

^+∞

−∞

=

π

−

τ π

−





 



 τ τ

=

n

Tt 2 n j 2

/ T

2 / T

T 2 n j

T e 1 d e

).

( s )

t ( s

df e . d e ).

( s )

t (

s

^+∞ ^j² ^f ^j²^π^ft

∞

−

τ π +∞ −

∞

−

 

  τ τ

= ∫ ∫

( ) ∫

−^+∞∞

π

− =

=F S(f) S(f).e df )

t (

s ¹ ^j² ^ft

( ) ∫

−^+∞∞

π

= −

=

F s ( t ) s ( t ). e dt )

f (

S

^j² ^ft