Support temps-fréquence d'un signal inconnu en présence de bruit additif gaussien

HAL Id: tel-00301324

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00301324

Submitted on 21 Jul 2008

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Julien Huillery

To cite this version:

Julien Huillery. Support temps-fréquence d’un signal inconnu en présence de bruit additif gaussien.

Traitement du signal et de l’image [eess.SP]. Institut National Polytechnique de Grenoble - INPG,

2008. Français. �tel-00301324�

N

◦

attribuépar labibliothèque

THESE

pour obtenir le gradede

DOCTEURDE L'INSTITUT POLYTECHNIQUE DEGRENOBLE

Spéialité : Signal, Image, Parole, Téléoms

préparée au LaboratoireGIPSA deGrenoble

dansleadre del'Éole Dotorale Életronique,Életrotehnique, Automatique,

Téléommuniations, Signal

présentée etsoutenue publiquement

par

Julien HUILLERY

le09 Juillet 2008

Titre :

Support temps-fréquene d'un signal inonnu

en présene de bruit additif gaussien

Diretrie de thèse : Nadine MARTIN

JURY

Monsieur J.-L. Laoume, Président

Monsieur L.Stankovi, Rapporteur

Monsieur B. Torresani, Rapporteur

Monsieur P.Flandrin, Examinateur

Monsieur C. Rihard, Examinateur

Madame N.Martin, Diretriede thèse

Introdution générale 1

1 Modèle, objetifs, méthode et outils 5

1.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Le modèle designalen temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Composition dumodèle etinformationsa priori . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 Disussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Travail proposé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.2 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.3 Méthode proposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Le modèle designalen temps-fréquene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1 Choix d'unereprésentation temps-fréquene . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.2 Formulationtemps-fréquene dumodèle designal . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Densité de probabilité du spetrogramme 21 2.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Densité deprobabilité delaTFCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Variablealéatoire du hi

2

2.3.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.2 Conditions pour lespetrogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 (Non-)irularité delaTFCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.1 Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.2 Cirularitéet formede lafenêtre d'analyse. . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4.3 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5 Densité deprobabilité d'unmodulearré gaussien. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5.1 Densité de probabilité dansleasentré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5.2 Densité de probabilité dansleasdéentré . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6 Le spetrogramme ommevariable du

χ ²

2.6.1 Quelle loidu hi

2

2.6.2 Mesure dedivergene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.6.3 Impat de l'approximation dansun ontexte dedétetion . . . . . . . . . 43

2.7 Conlusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Estimation de la densité spetrale de puissane du bruit 49 3.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2 Positionnement du problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.1 Lesméthodesitératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.2 Lesméthodesde lissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3 Contribution :estimation par les

Z

3.3.1 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.2 Estimateurs proposés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3.3 Évaluationdesestimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3.4 Détermination du voisinage etdesparamètres

Z

N

3.4 Exemplesd'estimation dansle plantemps-fréquene . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.4.1 Perturbation blanhe etstationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4.2 Perturbation blanhe ou stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4.3 Perturbation nonblanhe etnonstationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.5 Conlusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4 Détetion du signal en un point du plan temps-fréquene 81 4.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2 Tests binaires d'hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2.1 Approhe bayésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.2.2 Approhe de Neyman-Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.3 Critères dedétetion retenus etstatistique dedéision . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.3.1 Critère de Neyman-Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.3.2 Critère du maximum de vraisemblane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.3.3 Rapportsignalsurbruit de fous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.3.4 Statistique de déision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.4 Évaluationdu déteteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.4.1 Courbesde performanes dansleas lairvoyant . . . . . . . . . . . . . . 94

4.4.2 Non optimalité etperformanes réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.5 Conlusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5 Loalisation du signaldans le plan temps-fréquene 101 5.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.2 Rédution desfaussesalarmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.2.1 Prise en ompte de laredondanedu spetrogramme . . . . . . . . . . . . 104

5.2.2 Prise en ompte dursb defous. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.2.3 Compromis faussesalarmes / signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.3 Algorithme deloalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.4 Évaluationde l'algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.4.1 Dépendane aursbde fous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.4.2 Dépendane àl'estimation dubruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.4.3 Limitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.4.4 Cas d'unsignald'intérêt gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.5 Conlusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Conlusions et perspetives 127

Bibliographie 131

Remeriements 135

La thématiquedu travail rapporté danse manusrit est lareherhe d'information à partir

d'un signal. La reherhe d'information vise à aquérir de la onnaissane vis-à-vis du ou des

phénomènes qui engendrent le signal observé. Elle onsiste à mettre à jour un ertain nombre

de aratéristiques quiseront utiles pour dérire, omprendre, expliquer ou enore diserner es

phénomènes sous-jaents. La reherhe d'information est soumise à deux éléments :le mode de

représentationdusignald'unepartetl'extrationdel'information proprementdited'autrepart.

Lemodedereprésentationdénitl'aspetsouslequellesignalestdisponible.Dansunerepré-

sentationtemporelle, l'amplitude oula puissanedusignal estdisponible enfontion du temps.

Une représentation spatiale dérit l'amplitude du signal en diérents points de l'espae. De la

mêmemanière,unereprésentationfréquentielleprésentel'énergiedusignalsuivantlesfréquenes.

Chaque espae de représentation permetainsi de dérirele ontenu du signal en fontion d'une

variabled'évolution:letemps,l'espaeoulafréquenedanslesexemplesitéspréédemment.À

traversette variabled'évolution, ilapparaît quehaqueespae dereprésentation meten valeur

un typed'information :évolutiondans letemps,répartition dansl'espae,distribution selonles

fréquenes... La reherhe d'information est don intimement liée aux possibilités oertes par

l'espae dans lequel le signal est représenté. L'information reherhée doit en premier lieu être

aessible dansetespae.

Dans le as ontraire, il devient néessaire de réorganiser le signal an de mettre en évi-

denel'information souhaitée.Nousopéronsainsiunhangementd'espaedereprésentation.Par

exemple,nouspouvonspasserd'unereprésentation temporelledu signalversune représentation

fréquentielle,une représentation temps-fréquene ouenoreun espaedesphases,et. Préisons

que hanger d'espae de représentation ne modie pas le ontenu du signal et notamment ne

réepasd'information. Seull'angled'observation estmodié.L'information reherhée doitêtre

initialementprésentedanslesignaletlehoixd'unespaedereprésentationdoitsimplementper-

mettre delamettre enévidene. Préisons également que l'information ontenue dansun signal

estlimitée. Pluspréisément,l'espaed'aquisitioninitial danslequelunphénomène estobservé

dénitlanaturedesinformationsauxquellesilserapossibled'aéder.Parexemple,unereprésen-

tationspatialenepeutêtreobtenueàpartird'unenregistrementdusignalsousformetemporelle.

Le seond élément auquel est soumise la reherhe d'information est son extration propre-

ment dite. Si l'information reherhée est aessible dans un espae de représentation orre-

tement hoisi, elle doit ependant être réupérée an d'être utilisée par la suite. La mise en

÷uvre de ette extration est alors ontrainte par le degré d'aessibilité de l'information. Par

exemple, est-il possible d'extraire l'information sans ommettre d'erreur? Toute l'information

est-elle aessible? Sur e point, notons que le rapport signal sur bruit ou enore le degré de

parimonie sontdesmesurespermettant dequantier edegréd'aessibilité.Il déouledeette

remarque quelaméthoded'extrationàmettreen ÷uvrean deréupérerl'information souhai-

tée est intimement liée à l'espae de représentation hoisi, et notamment à sa faulté à rendre

ette information aessible. Comme nous le verrons par la suite, 'est sur e seond aspet de

lareherhe d'information quesefoaliseletravail présentédans emanusrit.

Objetif et ontexte de travail :

Nousonsidéronslessignauxpourlesquelsunereprésentationtemporelleestdisponible.L'ana-

lysedeFourierd'unsignaltemporelpermetdemettreàjourlarépartitiondesonénergiesuivant

sesfréquenesd'osillation.Learatèrephysiqueetintuitifdelanotiondefréqueneaengendré

le suès de ette analyse dans les domaines d'appliation les plus variés. Nousinterprétons e

suès par le aratère informatif de la représentation fréquentielle d'un signal. Cependant, en

révélant le ontenu fréquentiel du signal, l'analyse de Fourier dissimule son aratère temporel

et ne permet pas la desription de l'évolution du signal dans le temps. Or, si les fréquenes

d'osillations quiapparaissentdansunsignalonstituent uneinformation pertinente, l'évolution

dansletemps de esfréquenes,lorsqu'elle existe,apporteune information plusomplète surle

phénomèneétudié.Anderendrepossibleunedesriptionfréquentielledusignaltoutengardant

l'information liée à son évolution dans le temps, des représentations temps-fréquene du signal

ont étéproposées [Fla93℄[Coh95℄.Ces représentationsvisent àdérire larépartition de l'énergie

du signalonjointement suivantle temps etlafréquene.

Les diérentes possibilités oertes par plus d'un demi-sièle de reherhe dans le but de

représenter un signal dans le plan temps-fréquene ne sont pas le point entral de e travail.

Dans lasuite, nousne onsidérerons qu'une seule représentation du signaldansl'espae temps-

fréquene : le spetrogramme. Ce hoix sera disuté dans le premier hapitre. Partant de ette

représentation, nous nous sommes plutt attahés à y dérire le omportement du signal. Le

desripteur que nous avons retenu est lesupport du signal danset espae. Le support temps-

fréquened'unsignalorrespondàl'ensembledesrégionsduplantemps-fréquenesurlesquelles

lesignalexiste.Ladéterminationdee supporttemps-fréqueneorrespondàl'objetifdenotre

travail.

Si haque signal admet néessairement un support dans le plan temps-fréquene, notons

qu'une innité de signaux peuvent admettre le même support. L'information de support n'est

don pas susante pour dérire omplètement un signal. La manière dont l'énergie du signal

s'y répartit en est eetivement absente. Sur e point, la pertinene de ette information sera

donnée par l'ensemble desproblèmes pour lesquelselle apportera une solution susante.Aussi,

notons que la détermination du support temps-fréquene du signal ne néessite pasla perte de

l'information énergétique quireste danstous lesas disponible.

Sansrentrer plus avant dans une méthode de détermination du support temps-fréquene, il

apparaît dès à présent qu'un proessus de déision doit être mis en plae. Un support temps-

fréqueneestuneinformationdenaturebinairequipeutêtrereprésentéeparunefontionindia-

trie.Àhaquepointduplantemps-fréquenedoitdonêtreassoiéelavaleur

0

1

desonappartenaneausupportdusignal.Cetteassoiationestnéessairement lerésultat d'une

déision.

Le supporttemps-fréquene d'unsignalorrespond don à l'information quenous nouspro-

posonsde reherher dansleontextespéiqueque nousprésentons maintenant.

D'une part, le signal d'intérêt sur lequel nous souhaitons gagner de l'information est entiè-

rement inonnu. Il ne sera don pas possible de formuler quelques hypothèses a priori sur son

omportementdansleplantemps-fréquene,etnotammentsurlaformeoulaloalisationdeson

support.

D'autre part, nous onsidérons que le signal temporel observé, 'est-à-dire le signal auquel

nous avons aès, est une version perturbée du signal d'intérêt. Nous onsidérons que ette

perturbationprendlaformed'unbruitgaussienadditif dontleomportementtemporelainsique

fréquentielestinonnu.Nousverrons quelaprésenede ebruitdoitêtre expliitement priseen