CALCUL INTEGRAL

CALCUL INTEGRAL – Feuille d’exercices

Besoin d’un point sur le cours ? Les Formats Cours t’attendent sur www.mathsentete.fr ou sur Les corrigés des exercices seront à retrouver sur le Padlet Terminales https://padlet.com/mathsentete Calcul d’intégrales :

Exercice 1 : calculer les intégrales suivantes :

𝐼 = ∫ 𝑥₍^{' %}𝑑𝑥 𝐽 = ∫_'^%*+₊ 𝐾 = ∫ 𝑒_0'^{' .+}𝑑𝑡 𝐿 = ∫_%^._√'4%2^*2

Exercice 2 : en remarquant que ^{567 2}_{9:; 2} = tan 𝑥, calculer ∫ tan(𝑥) 𝑑𝑥₍^AB

Exercice 3 : soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 et 𝐶_H sa courbe représentative dans un repère orthonormé (d’unité graphique 2 cm).

Calculer l'aire en cm² de la portion de plan comprise entre 𝐶H, l'axe des abscisses et les droites d'équation 𝑥 = 0 et 𝑥 = 𝜋.

Exercice 4 : déterminer la valeur moyenne sur [0; 3] de la fonction 𝑓 définie par : 𝑓(𝑥) =_24'^' .

Exercice 5 : soient 𝑓 et 𝑔 les fonctions définies sur ℝ par 𝑓(𝑥) =_2Q²_4' et 𝑔(𝑥) =₂²_Q4'^R 1. Calculer 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥₍^S

2. Soit 𝐽 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥₍^S a) Calculer 𝐼 + 𝐽.

b) En déduire 𝐽.

Intégration par parties :

Exercice 6 : à l’aide d’une intégration par parties, calculer ∫_'^{%U7 2}₂ 𝑑𝑥

Exercice A : intégration par parties

A l’aide d’une intégration par partie, calculer les valeurs des trois intégrales suivantes : 𝐼_'= V 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥^%

'

𝐼_%= V 𝑥 cos(𝑥) 𝑑𝑥

Z . (

𝐼_. = V 𝑥𝑒^{' 02}𝑑𝑥

(

Exercice 7 : on admet que ∫₍^[0'_24'^' 𝑑𝑥 = 1. Calculer ∫₍^[0'_(24')² _Q𝑑𝑥.

Exercice B : intégrer avec 𝒍𝒏 Calculer les intégrales suivantes :

V 𝑥

3𝑥^%+ 1𝑑𝑥

'

(

V −2

1 − 2𝑥𝑑𝑥

%

'

04 :47 – 13 :44

Exercices supplémentaires :

1. Montrer que, pour tout entier 𝑛 ≥ 1 : _d4'^' ≤ ∫_d^d4''₂𝑑𝑥≤ ^'

d

2. Soit (𝑣_d) la suite définie pour tout entier 𝑛 ≥ 1 par : 𝑣d=_d4'^' +_d4%^' + ⋯ +_%d^'. a) Montrer que pour tout entier 𝑛 ≥ 1, 𝑙𝑛 i^%d4'_d4'j ≤ 𝑣_d≤ 𝑙𝑛 2.

b) En déduire la limite de la suite (𝑣_d).

Exercice 𝜷 : démonstration de théorème

Soit 𝑓 une fonction continue sur un intervalle 𝐼 et soit 𝑎 un élément de 𝐼.

La fonction 𝐹 définie sur 𝐼 par 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)_n² 𝑑𝑡 est la primitive de 𝑓 qui s’annule en 𝑎.

1. Soit ℎ un réel tel que 𝑥 + ℎ appartienne à 𝐼. Calculer 𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥) 2. 1^er cas : si ℎ > 0

a) Montrer que ℎ𝑓(𝑥) ≤ ∫₂^24q𝑓(𝑡)𝑑𝑡≤ ℎ𝑓(𝑥 + ℎ) b) En déduire lim_2→(

2t(

u(24q)0u(2) q

3. 2^ème cas : si ℎ < 0

a)

b)

2w(

u(24q)0u(2) q

4. Que peut-on déduire des questions 2. et 3.?

Exercice 𝜸 : Partie A

Soit la fonction 𝑓 définie sur ℝ par : 𝑓(𝑥) =_[^S[_y4'^y.

On note 𝐶H la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (𝑂; 𝚤⃗, 𝚥⃗) d'unités graphiques 2 cm.

1. Déterminer lim

2→4•𝑓(𝑥) et lim

2→0•𝑓(𝑥). Que peut-on en déduire pour 𝐶_H? 2. Etablir le tableau de variations de 𝑓.

3. Donner une allure de la courbe 𝐶_H. Partie B

1. Soit 𝑛 un entier naturel non nul. On pose 𝐼_d= ∫_U7(d)^U7(d4')_[^S[_€4'^€ 𝑑𝑡. a) Donner une interprétation graphique de 𝐼_d.

b) Prouver que 𝐼_d= 4 ln i^d4%

d4'j 2. On considère 𝑆_d = 𝐼_'+ 𝐼_%+ ⋯ + 𝐼_d

a) Donner une interprétation graphique de 𝑆_d. b) Calculer 𝑆_d.

3. a) Calculer l'aire 𝐴(𝑛), exprimée en cm², du domaine délimité par la courbe 𝐶H et les droites d'équations 𝑦 = 4, 𝑥 = 0 et 𝑥 = ln(𝑛 + 1).

b) Déterminer la limite de 𝐴(𝑛) quand 𝑛 tend vers +∞.

Exercice 𝜹 : soit la suite (𝑢_d) définie pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢_d= ∫_d^d4'2𝑒^0%2𝑑𝑥 1. Montrer que pour tout entier naturel 𝑛, .

2. Démontrer que la suite (𝑢_d) est une suite géométrique dont on déterminera la raison.

3. Pour tout entier naturel 𝑛, on pose 𝑆_d= 𝑢₍+ 𝑢_'+ ⋯ + 𝑢_d. a) Exprimer 𝑆d en fonction de 𝑛.

b) Étudier la limite de la suite (𝑆_d).

) 1

( ²

2 -

- -

=e e

u_n ⁿ