TS
CALCUL INTEGRAL EXERCICES
I. Soit f une fonction définie et dérivable sur +*. La courbe
représentative de la fonction f dans un repère orthonormé est tracée ci-contre.
Elle passe par les points A
1
2 −2 ; B(1 0) ; C(2 1) et D
7
2 0 . La courbe admet au point C une tangente parallèle à l'axe des abscisses. La droite (AE) avec E
1 3
2 est tangente à la courbe au point A.
Indiquer si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse.
Justifier brièvement.
1. L'équation f (x) −1 admet exactement deux solutions sur l'intervalle ]0 ; +∞[.
2. f (2) 0. 3. f '
1 2
1 7 .
4. Les fonctions f et f ' ont le même signe sur l'intervalle [1 ; 2].
5. Les primitives de la fonction f sont croissantes sur l'intervalle
1 7
2 . 6. 3 <
1
3,5f(x)dx 8. 7.
4
5f(t)dt 0.
8. Soit F une primitive de f alors F'(1) 0.
II. Soient f une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [ 2 4] et F une primitive de f sur l’intervalle [ 2 4]. Le plan (P) est muni d’un repère orthonormal."
On donne ci-contre deux courbes (C) et dont l une est celle de f et l autre celle de F.
Indiquer si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse. Justifier brièvement.
1. La courbe (C) est la courbe représentative de la fonction f.
2. f ′(0) 3.
3. F′(2) 0.
4. La fonction f est négative ou nulle sur l’intervalle [1 ; 4].
5. Le coefficient directeur de la tangente en L à la courbe est 4.
6. On note l’aire, exprimée e unités d’aire, de la partie du plan (P) délimitée par l’axe des abscisses, la courbe (C), l’axe des ordonnées et la droite d’équation x 2. On a = 2.
7.
2
4f(x)dx 11 .
Courbe (C) Courbe
TS
CALCUL INTÉGRAL EXERCICES CORRECTION
I. Soit f une fonction définie et dérivable sur +*. La courbe
représentative de la fonction f dans un repère orthonormé est tracée ci-contre.
Elle passe par les points A
1
2 −2 ; B(1 0) ; C(2 1) et D
7
2 0 . La courbe admet au point C une tangente parallèle à l'axe des abscisses. La droite (AE) avec E
1 3
2 est tangente à la courbe au point A.
Indiquer si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse.
Justifier brièvement.
1. L'équation f (x) −1 admet exactement deux solutions sur
l'intervalle ]0 ; +∞[. Vrai car la droite horizontale d équation y 1 coupe deux fois la courbe de f.
2. f (2) 0 Vrai car f (2) est le coefficient directeur de la tangente au point C d abscisse 2 et cette tangente est parallèle à l axe des abscisses. Son coefficient directeur est donc 0.
3. f '
1 2
1
7 . Faux : f
1
2 est le coefficient directeur de la tangente au point A d abscisse 1 2. Cette tangente est la droite (AE) donc son coefficient directeur est yE yA
xE xA
3 2 2 1 1
2
7 On a donc
f
1
2 7 et non 1 7.
4. Les fonctions f et f ' ont le même signe sur l'intervalle [1 ; 2]. Vrai :
Sur [1 2], la courbe de f est au-dessus de l axe des abscisses donc f est positive sur cet intervalle Sur [1 2], la fonction f est croissante donc f est positive sur cet intervalle.
5. Les primitives de la fonction f sont croissantes sur l'intervalle
1 7
2 . Vrai. Soit F une primitive de f. Alors F f. f F est positive sur
1 7
2 donc F est croissante sur cet intervalle.
6. 3 <
1
3,5f(x)dx 8. Faux :
1
3,5f(x)dx est l aire du domaine sous la courbe entre les droites d équations x 1 et x 3,5. On compte les carreaux : ce domaine compte environ 6 carreaux.
1 u.a. 4 carreaux (1 unité en abscisse 1 unité en ordonnée 2carreaux 2carreaux 4 carreaux) 3 <
1
3,5f(x)dx 8
4
5f(t)dt 0 signifie donc que l aire est comprise entre 3 4 12 et 8 4 32 carreaux. Ce n est pas le cas.
7.
4
5f(x)dx 0 Faux car f est négative sur [4 5] donc
4
5f(x)dx 0.
8. Soit F une primitive de f alors F'(1) 0.Vrai : F est une primitive de f donc F f. Alors F (1) f(1) 0 (car B(1 0) est un point de la courbe de f).
TS II. Soient f une fonction définie et
dérivable sur l’intervalle [ 2 4] et F une primitive de f sur l’intervalle [ 2 4]. Le plan (P) est muni d’un repère
orthonormal."
On donne ci-contre deux courbes (C) et dont l une est celle de f et l autre celle de F.
1. (C) est la courbe de f. Vrai : On peut construire le tableau de signes et de variations correspondant aux deux courbes :
Pour la courbe (C) :
x 2 0 2 4 x 2 1 4
signe variations
Pour la courbe ( ) :
x 2 3,1 4 x 2 0 2 4
signe variations
On constate que les variations de la fonction associée à la courbe ( ) correspondent au signe de la fonction associée à la courbe (C). Dans l autre sens, ça ne convient pas car le signe change en 3,1 et les variations en 1.
Ainsi, la fonction associée à (C) est la dérivée de la fonction associée à ( ) ou encore la fonction associée à ( ) est une primitive de la fonction associée à (C).
On peut donc dire que (C) est la courbe de f et ( ) est la courbe de F.
2. f ′(0) 3. Faux : f (0) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe (C) de f au point O d’abscisse 0. Cette tangente est la droite (OA) donc f (0) yA yO
xA xO
3 0 1 0 3
On peut aussi remarquer que f est croissante sur [ 2 1] donc f est positive sur cet intervalle donc f (0) 0. Alors f (0) ne peut pas être égal à 3.
3. F′(2) 0. Vrai : F (2) f(2) puisque F f donc F (2) 0 car la courbe (C) de f passe par le point (2 0).
4. La fonction f est négative ou nulle sur l’intervalle [1 ; 4]. Faux : dans le tableau de signes de f(x) (courbe (C)), on voit que f est positive sur [0 2] et donc sur [1 2].
5. Le coefficient directeur de la tangente en L à la courbe est 4. Faux : ( ) est la courbe de F et L a pour abscisse 3 donc le coefficient directeur de la tangente en L à la courbe ( ) est F (3). Or F est une primitive de f donc F (3) f(3) 4,5 car B(3 4,5) est un point de la courbe (C) de f.
6. On note l’aire, exprimée e unités d’aire, de la partie du plan (P) délimitée par l’axe des abscisses, la courbe (C), l’axe des ordonnées et la droite d’équation x 2. On a 2. Vrai.
On peut hachurer l e dom aine (P) pour vérifier que
0
2f(x)dx
Courbe (C) Courbe
TS Or F est une primitive de f donc
F(x)
0 2
F(2) F(0) 4 2 2. On a F(2) et F(0) en utilisant la courbe ( ).
7.
2
4f(x)dx 11. Faux : F est une primitive de f donc
F(x)
2 4
F(4) F(2) 6 4 10.
![Exercice 1 Donner un exemple de fonction f d´ efinie sur I = [0, 2] telle que : – f(I) ne soit pas un intervalle.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)