CALCUL INTEGRAL

CHAPITRE V

CALCUL INTEGRAL

I désigne un intervalle de IR.

I - Généralités.

I-1- Primitives 1) Définition :

Soit f une fonction définie sur I. On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I et vérifiant : ∀x∈I, F'(x) = f(x).

2) Théorème :

Si f est continue sur I alors f admet au moins une primitive sur I.

3) Proposition :

Soit F une primitive d'une fonction f sur I alors une fonction G est une primitive de f sur I si et seulement si il existe une constante α réelle telle que ∀x∈I, G(x) = F(x)+α.

En effet :

F est une primitive de f.

Alors il est évident que la fonction G définie par ∀x∈I, G(x) = F(x)+α (α∈IR) est une primitive de f (car G'(x) = F'(x)).

Inversement si G est une primitive de f alors la fonction h = G - F est constante sur I puisque

∀x∈I, h'(x) = G'(x) - F'(x) = 0 et par suite il existe α∈IR telle que ∀x∈I, h(x) = α d'où ∀x∈I, G(x) = F(x) + α.

4) Remarque :

• f admet une unique primitive qui prend la valeur y0 en x0∈I.

• Si F est une primitive de f sur I alors ∀α∈3, F+ α est une primitive de f sur I.

5) Primitives des fonctions usuelles : Fonction f

f(x)

Primitive F F(x)

Ensemble de validité e^αx ; α∈IR*

sinx cosx shx chx

x g cot x 1

sin

1 2

2 = +

x tg x 1

cos

1 ₂

2 = +

1 x x coth

sh

1 ₂

2 = −

α^{1 eαx} -cosx sinx

chx shx -cotgx

tgx -cothx

IR IR IR IR IR IR-{nπ, n_∈Z) IR-{^π₊

2 nπ, n_∈Z) IR*

x th x 1

ch

1 ₂

2 = −

xⁿ, n_∈IN xⁿ, n_∈Z-\{0,-1}

x^α, _α∈IR-Z x 1

x2

1 1 +

x2

1 1

− x2

1 1 + x2

1 1

− 1 x

1

2 −

thx 1 n x^{n 1}

+

+

1 n x^{n 1}

+

+

1 x ¹

+ α

+ α

Logx Arctgx

x 1

x Log1 2 1

− +

Log(x+ x² +1)

Arcsinx Log^x+ ^x2−1

IR IR IR * IR *+

IR * IR

IR \{-1,1}

IR ]-1,1[

]-_∞,-1[_∪]1,+_∞[ 6) Application :

Soit u une fonction dérivable sur I, on a : f(x) = u'(x) e^u(x) alors F(x) = e ^u(x)

f(x) = u'(x) u^α(x) ; α≠-1; alors F(x) = u (x) 1

1 _α+1 + α

f(x) =

) x ( u

) x ( '

u ; u(x)≠0 _∀x_∈I; alors F(x) = Log|u(x)|

f(x) =

) x ( u 1

) x ( ' u

+ 2 alors F(x) = Arctg u(x).

(il est clair que F désigne une primitive de f sur I).

7) Exemple :

* f(x) = (2x+1)³ ; x_∈IR alors F(x) = 8

1(2x+1)⁴.

* f(x) = _x e 1

1

+ ; x_∈IR. Comme f(x) = 1 - _x

x

e 1

e alors F(x) = x - Log(1+e^x). +

* f(x) = cos²x ; x_∈IR. Comme f(x) = 2

1(1+cos2x) alors F(x) =

2 1x +

4

1 sin2x.

Remarque : D'après la dérivée d'une fonction composée, si on a f(x) = u'(x).h'(u(x)) alors F(x) = h(u(x)).

(u et h étant des fonctions dérivables).

I-2-Intégrales définies 1) Définition :

Soit f une fonction continue sur I et F une primitive de f sur I.

∀a,b_∈I, on appelle intégrale de a à b de f le réel F(b) - F(a) qu'on note

∫

a^bf(x)dx. Ainsi :

∫

a^bf(x)dx= F(b) - F(a).

Remarque : La définition est indépendante du choix de la primitive de f, puisque si G est une autre primitive de f alors G(x) = F(x)+α; α∈3 et G(b) - G(a) = F(b) - F(a).

On note :

2) Remarque :

La fonction F définie sur I par :_∀x_∈I, F(x) =

∫

a^xf(t)dt est la primitive de f qui s'annule en a.

3) Exemple :

∫

3²/21₋x

dx =

[

−Log1−x

]

²3/2= -Log2.

∫

0¹1₊x2

dx = Arctg1 - Arctg0 = 4 π.

4) Propriétés :

f et g sont des fonctions continues sur I, _∀a,b,c_∈I on a : P1:

∫

a^af(x)dx= 0 ;

∫

a^bf(x)dx= -

∫

b^af(x)dx.

P2 :

∫

a^bf(x)dx+

∫

b^cf(x)dx=

∫

a^cf(x)dx.

P3 :

∫

a^b(f(x)⁺g(x))dx=

∫

a^bf(x)dx+

∫

a^bg(x)dx;

∫

a^bαf = (x)dx α

∫

a^bf(x)dx; α∈IR.

P4 : Si a≤b et _∀x_∈[a,b] f(x)≥0 alors

∫

a^bf(x)dx ≥0.

P5 : Si a≤b et _∀x_∈[a,b] ; f(x) ≤ g(x) alors

∫

a^bf(x)dx ≤

∫

a^bg(x)dx. P6 : Si a≤b alors

∫

a^bf(x)dx ≤

∫

a^bf(x)dx.

Preuve :

La démonstration de ces propriétés est facile. On donne seulement la preuve de P4.

Soit F une primitive de f sur I, F'(x) = f(x) ; comme _∀x_∈I, f(x) ≥ 0 alors F est une fonction croissante . a ≤ b ⇒ F(a) ≤ F(b) d'où F(b) - F(a) ≥ 0.

5) Conséquence :

Si _∀x_∈[a,b]; on a m ≤ f(x) ≤ M, m,M_∈IR alors : m(b-a) ≤

∫

a^bf(x)dx ≤ M(b-a).

∫

a^bf(x)dx =

[ ]

^f(x) a^b =^F(b)−^F(a)

6) Théorème :

Soit f continue sur [a,b] alors ∃c_∈[a,b] telle que : F(c)=

a b

1

−

∫

a^bf(x)dx : appelé valeur moyenne de f sur [a,b].

II - Méthodes d'intégration.

II-1- Méthode élémentaire

L'utilisation des règles élémentaires sur les fonctions dérivées, des propriétés des intégrales, des primitives des fonctions usuelles permet de déterminer des primitives et de calculer des intégrales.

Exemples : 1)

∫

0^{1 + −}

2 x

2 5x x)dx

e

( =

1

0 3

x

2 x x

3 x 2 3 e 5 2

1 

 + − =

2 1 2 e²

+ . 2)

∫

1³ ₊⁺ 3 dx

) 1 x (

3

x =

∫

₊ ⁺

∫

1³ ₊

3

1 2 dx

3 ) 1 x ( 2 1 ) dx 1 x (

1 =

16 7 )

1 x (

1 1

x

1 ³

1 2 3

1

 =



 





− +

 +

 



− + .

3) Soit la fonction f définie sur ]-1,1[ par f(x) =

x2

1 x sin Arc

− . Les primitives de f sont les fonctions définies sur ]-1,1[ par :

∀x_∈]-1,1[, F(x) = 2

1(Arcsinx)² + c ; c_∈IR.

II-2- Intégrations par parties 1) Théorème :

Soient u et v deux fonctions dérivables sur [a,b] : (a < b) et u' et v' sont continues sur [a,b]

alors on a :

[ ] ∫

∫

^{= −} a^b

b a b

a u(x)v'(x)dx u(x)v(x) u'(x)v(x)dx. Preuve :

La fonction uv est une primitive de la fonction u'v+uv' sur [a,b], d'où :

[ ] [ ]

^b_a

b

a u'(x)v(x) u(x)v'(x)dx u(x)v(x)

∫

^{+ = .}

2) Exemples :

a) Calculer I =

∫

0^π/2xcosxdx. Posons u(x) = x alors u'(x) = 1 v'(x) = cosx v(x) = sinx D'où I =

[ ]

^{π −}

∫

0^{π/2 = π−}

2 /

0 1

xdx 2 sin x

sin

x .

b) Déterminer une primitive de la fonction f : x _af(x) = Logx ; x > 0

∀x>0, calculer F(x) =

∫

1^xLogtdt .

Posons u(t) = Logt alors u'(t) = t 1 v'(t) = 1 v(t) = t D'où F(x) =

[ ]

⁻

∫

1^x

x

1 dt

tLogt = xLogx - x + 1.

Ainsi la fonction F : IR*+ → IR

x _aF(x) = xLogx - x + 1 et la primitive de la fonction "Log" qui s'annule en 1.

Une primitive ϕ de la fonction "Log" sur ]0,+_∞[ est définie par ϕ(x) = xLogx - x + α; α∈IR c) Calculer _∀x_∈IR,

∫

0^xArctgtdt

Posons u(t) = Arctgt alors u'(t) = ₂ t 1

1 + v'(t) = 1 v(t) = t D'où

∫

0^{x =}

[ ]

⁻

∫

₊

x

0 2

x

0 dt

t 1 tArctgt t

Arctgt

=

[

^tArctgt

]

^{0x −1}₂

[

^Log(1+t2)

]

^0x

= x Arctgx - 2

1Log(1+x²).

3) Exercice :

Calculer _∀x_∈IR, I(x) =

∫

0^x(1₊t2)2

dt Solution

On a : _{2 2 2} ²_{2 2}

) t 1 (

t t

1 1 )

t 1 (

1

− +

= + +

D'où I(x) = Arctgx -

∫

0^x ₊ 2 2 2

) dt t 1 (

t .

Posons u(t) = t alors u'(t) = 1 v'(t) = _{2 2}

) t 1 (

t

+ , v(t) = - ₂ t 1

1 2 1

+ D'où

∫

0^x ₊ 2 2

2

) dt t 1 (

t = Arctgx

2 1 ) x 1 ( 2

x t

1 dt 2 1 t

1 t 2 1

2 x

0 2

x

0

2 +

− + + =

 +

 



− +

∫

Donc I(x) =

) 1 x ( 2 Arctgx x 2

1

2 +

+ .

II-3- Méthode de changement de variable 1) Théorème :

Soit ϕ : [α,β]→IR est une fonction de classe C¹ sur [α,β] et f une fonction continue sur un intervalle I contenant ϕ([α,β]) alors

∫

_α^{βf(ϕ(t))ϕ'(t)dt=}

∫

_ϕ^ϕ(⁽_α^β)⁾f(x)dx .

Preuve :

Soit F une primitive de f sur I, alors la fonction Foϕ est une primitive de la fonction ϕ'(foϕ).

D'où

∫

α^βf(ϕ(t))ϕ'(t)dt=

[

F(ϕ(t))

]

^βα= F(ϕ(β)) - F(ϕ(α)) =

∫

_ϕ^ϕ(⁽_α^β)⁾f(x)dx

* On dit qu'on a effectué le changement de variable : x = ϕ(t).

en notant dx = ϕ'(t)dt.

2) Exemples :

a) Calculer I =

∫

0^{1 −} 2dx x 1

La fonction ϕ : [0,π/2] → IR est de classe C¹ sur [0, π/2]; ϕ([0, π/2]) = [0,1] avec ϕ(0) = 0 et ϕ(π/2) = 1 ; _∀t_∈[0, π/2], ϕ'(t) = cost.

La fonction f : x _a 1−x² est continue sur [-1,1] qui contient l'intervalle [0,1] alors on a :

∫

0^{π/2 −}

2tcostdt sin

1 = ¹ 1 x dx

0

∫

⁻ 2 ^.

Soit I = ¹ 1 x dx

0

∫

⁻ 2 ⁼

∫

0^π/2

2tcostdt cos =

∫

0^π/2

2tdt cos =

∫

0^{π/2 +} cos2t)dt

2 1 2

(1 =

t 4 2 4sin 1 2

t ^/2

0

= π



 +

π

Dans la suite, on présente les calculs d'une manière plus simple en écrivant seulement x = sint ; dx = cost dt pour présenter le changement de variable effectué.

3) Proposition :

Soit f : IR → IR une fonction continue sur IR. _∀a_∈ IR on a : i) Si f est paire alors

∫

₋^aaf(x)dx= 2

∫

0^af(x)dx

ii) Si f est impaire alors

∫

− a

af(x)dx= 0.

iii) Si f est périodique de période T alors

∫

a^a+Tf(x)dx=

∫

0^Tf(x)dx. Preuve :

i) et ii)

∫

₋^aaf(x)dx=

∫

₋⁰af(x)dx +

∫

0^af(x)dx

Dans l'intégrale

∫

₋⁰af(x)dx, on pose u = -x ; dx = -du

On obtient

∫

₋⁰af(x)dx = -

∫

a⁰f(⁻u)du=

∫

0^af(⁻u)du=

∫

0^af(⁻x)dx D'où

∫

₋^aaf(x)dx=

∫

0^a(f(x)⁺f(⁻x))dx.

Si f est paire alors _∀x ; f(-x) = f(x) et par suite on a :

∫

− a

af(x)dx= 2

∫

0^af(x)dx.

Si f est impaire alors _∀x ; f(-x) = -f(x) et par suite on a :

∫

− a

af(x)dx= 0.

iii) Comme f est périodique de période T alors _∀x_∈ IR, f(x+T) = f(x).

On a :

∫

a^a+Tf(x)dx=

∫

a⁰f(x)dx+

∫

0^Tf(x)dx+

∫

T^a+Tf(x)dx.

Dans l'intégrale

∫

T^a+Tf(x)dx, on pose u = x - T, alors x = u+T et dx = du, on obtient alors :

∫

T^a+Tf(x)dx=

∫

0^af(u⁺T)du=

∫

0^af(u)du=

∫

0^af(x)dx alors

∫

a⁰f(x)dx+

∫

T^a+Tf(x)dx= 0.

b) Calculer :

∫

0^π/3tgtdt

Posons x = cost ; dx = -sint dt.

∫

0^π/3tgtdt =

∫

0^π/3 dt t cos

t

sin =

∫

0^1/2− x

dx = −

[

Logx

]

¹1^/2= Log2.

c) Soit a > 0, calculer

∫

0^aa2 ₊x2

dx

Posons u = a

x ; du = a 1 dx

∫

0^aa2 ₊x2

dx =

∫

+

a

0 2 ))2

a (x 1 ( a

dx =

∫

0¹1₊u2

du a

1 = _a¹

[

^Arctgu

]

^{10 =} ₄^π_a^.

d) Calculer

∫

0¹1₊ 1₊x dx

Posons u = 1+x alors u² = 1+x ; dx = 2u du

∫

0¹1₊ 1₊x

dx =

∫

1 ²1₊u udu

2 = 2

∫

1 ^{2 −} ₊ )du u 1 1 1

( = 2

[

u−Log(1+u)

]

1²

= 2

2 2 3 Log 4 ) 1 2

( − + + .

III- Application au calcul des primitives.

III-1- Préliminaire

* Soit f une fonction continue sur I, on désigne par

∫

^f(x)dx l'expression de l'une

quelconque des primitives de f sur I (ou sur Df dans le cas plus général où f est continue sur son domaine Df qui est une réunion (finie ou non) d'intervalles).

On écrit alors

∫

^f(x)dx = F(x) + C

Où C désigne une constante réelle si x_∈I (C désigne une constante sur chaque intervalle de Df

si x_∈Df).

Par exemple : * _∀x_∈ IR * on a :

∫

^dx_x ^{= Logx +C}

Avec _∀x_∈]-_∞,0[ : C = C1 ; _∀x_∈]0,+_∞[ : C = C2 , C1,C2∈ IR

* _∀x_∈ IR :

∫

_e^{dxx = - e-x + C , C∈ IR.}

Les méthodes d'intégration présentées au I-2 restent valable pour le calcul des primitives.

Elles se présentent de la manière suivante : Pour l'intégration par parties :

∫

^u'(x)v(x)dx= u(x)v(x) -

∫

^u(x)v'(x)dx

Pour le changement de variable :

∫

^{f(ϕ(t))ϕ'(t)dt=}

∫

^f(x)dx, en précisant x = ϕ(t).

Remarque :

Certaines primitives ne s'expriment pas à partir des fonctions usuelles, comme par exemple pour dx

x e^x

∫

, nous ne pourrons pas calculer ces primitives dites "fonctions spéciales".

II-2- Des primitives classiques Pour a_∈ IR * fixé, on a :

∫

_a^2dx_+x^{2 =} _a^1Arctg_a^{x +C}

∫

_a^2dx_−x^{2 =} ₂¹_a^Log_a^a+_−x^{x + C}

∫

a2 ₊x2

dx = Log(x + x² +a² ) + C

∫

a2 ₋x2

dx =

a sinx a Arc

a + C

= Arcsin a

x+ C si a > 0.

III-3- Primitives d'une fonction rationnelle

Pour déterminer une primitive d'une fraction rationnelle irréductible F(x) = ) x ( Q

) x (

P où P et Q sont deux polynômes premiers entre eux, on la décompose en éléments simples sur IR (x).

Rappelons pour toute fraction F(x) de IR (x), s'écrit d'une manière unique comme la somme de sa partie entière (qui est un polynôme) et d'éléments simples de 1^er espèce (de la forme

)k

a X ( −

λ ; λ,a_∈ IR, k_∈IN*) et d'éléments simples de 2^ème espèce (de la forme

k

2 bX c)

X (

X + +

β +

α , α,β∈ IR; b,c_∈ IR; b²-4c<0; k_∈IN*).

On est ainsi ramené à une primitive d'un polynôme (ce qui est facile), d'un élément simple de 1^er espèce ou de 2^ème espèce.

1) Primitive d'un élément simple de 1^er espèce : On se propose de calculer : dx

) a x (

1

∫

₋ n ^{; a∈ IR ; n∈IN*}

On a alors :

Si n = 1 :

∫

_x−¹_a^{dx= Log x−a + C.}

Si n ≠1 : dx ) a x (

1

∫

₋ n ⁼ ₁₋¹_{n (x−}¹_a)^{n−1 + C.}

Exemple :

Calculer dx 2 x 3 x

7 x

3

∫

₋4 ⁻ ₊

Posons f(x) =

2 x 3 x

7 x

3 4

+

−

− =

) 2 x ( ) 1 x (

7 x

2 4

+

−

−

La décomposition de f en éléments simples sur IR (x) est : f(x) = x +

1 x

2

− - ₂ ) 1 x (

2

− + 2 x

1 +

D'où :

∫

^{f(x)dx= x}₂^{2 +2Logx−1+} _x²₋₁^{+Logx+2 +C}

= Log[(x 1) x 2] C 1

x 2 2

x² ₂

+ +

−

− +

+ .

2) Primitive d'un élément simple de 2^ème espèce : On se propose de calculer I(x) = dx

) c bx x (

x

n

∫

2^α₊ ⁺₊^{β ; α,β,b,c∈ IR; b2}-4c<0; n_∈IN*

1^er étape : Si a≠0, on fait apparaître multiplicativement au numérateur la dérivée du trinôme x²+bx+c, qui est 2x+b.

Posons f(x) = _{2 n}

) c bx x (

x + +

β + α

On écrit alors : f(x) = _{2 n 2 n}

) c bx x (

2 b )

c bx x (

b x . 2

2 + +

−α + β

+ +

+ α

Et par suite I(x) = dx

) c bx x (

1 2

dx b ) c bx x (

b x 2

2

∫

² ₊ ⁺₊ ^{n +}_^{β−α }_^

∫

² _{+ +} ⁿ

α

Posons A(x) = dx

) c bx x (

b x 2

n

∫

2 ₊ ⁺₊ et B(x) = dx

) c bx x (

1

n

∫

2 _{+ +}

Le calcul de A(x) est aisé (de la forme _n u

' u )

On a A(x) = dx

) c bx x (

b x 2

n

∫

2 ₊ ⁺₊ ⁼







+ ≠ +

= +

+

1 n si ) c bx x (

1 n

- 1

1

1 n si ) c bx x ( Log

n 2

2

. 2^ème étape : On ramène le calcul de B(x) = dx

) c bx x (

1

n

∫

2 _{+ +} à celui de

∫

_(t^2df₊₁₎^{n à l'aide}

d'un changement de variable affine plus précisément, on met le trinôme x²+bx+c sous la forme canonique

x²+bx+c =

4 b c ) 4 2 x b

( + ² + − ² . Posons _∆= b²-4c < 0 et λ² = 4

b c

4 − ² = )²

( −2∆ Alors x²+bx+c = )²

2 x b

( + + λ² =











 



 



 +

+ λ λ

2

2 )

2 x b 1( 1

=











 



 



 λ + + λ

2 2

2 b x

1 2 = 



 





∆

− + +

−∆ 2x b)² (

4 1

On effectue alors dans B(x) le changement de variable : t =

λ + 2

b x

2 ⇔ x = λt - 2 b

On obtient B(x) = dx

) c bx x (

1

n

∫

2_{+ +} ⁼

∫

_λ²ⁿ⁻¹₍₁¹_+t²₎^{n dt.}

3^ème étape : Calcul de Jn(t) =

∫

₍₁₊^dt_t²₎^{n ; n∈IN*.}

A l'aide d'une intégration par parties, on détermine une relation de récurrence qui permet de calculer de proche en proche Jn(t).

D'abord pour n = 1 on a : J1(t) =

∫

₁₊^dt_t² = Arctgt + C ; C_∈ IR.

Pour tout n_∈IN*;

Posons u(t) = _{2 n} ) t 1 (

1

+ alors u'(t) = _{2 n 1} ) t 1 (

nt 2 + +

−

v'(t) = 1 v(t) = t

D'où Jn(t) =

∫

₍₁₊^dt_t²₎^{n =} ₍₁₊^t_t²₎^{n +2n}

∫

₍₁₊^t_t²²₎^n+1dt

= _{2 n} ) t 1 (

t

+ + 2n(Jn(t) - Jn+1(t)).

Soit

Par exemple J2(t) = _{1 2} t 1 ) t t ( J 2( 1

+ + )

Soit J2(t) =

∫

₍₁₊^dt_t²₎^{2 =} ₂^1Arctgt+₂₍₁₊^t _t²₎^+C.

3) Exemple :

Calculer dx

) 1 x x (

2 x

2

∫

2 ₊⁺₊ ^.

Posons f(x) = _{2 2} ) 1 x x (

2 x

+ +

+ = _{2 2}

) 1 x x (

3 1 x 2 2 1

+ +

+ +

= _{2 2 2 2} ) 1 x x (

1 2

3 ) 1 x x (

1 x 2 2 1

+ + +

+ +

+

Alors : dx

) 1 x x (

2 x

2

∫

2 ₊⁺₊ ⁼ ₂¹

∫

_(x²²₊^x_x⁺₊¹₁₎^2dx+ ₂³

∫

_(x² ₊^dx_x+1)²

On a : * dx

) 1 x x (

1 x 2

2

∫

2 ₊ ⁺₊ ^{= -} _x² ₊¹_x+1^{+ C}

Jn+1(t) = 



 





+ +

− n _{2 n}

) t 1 ( ) t t ( J ) 1 n 2 n ( 2

1

*

∫

_(x² ₊^dx_x+1)^{2 =}

∫

+ + ² )²

4 ) 3 2 x 1 ((

dx

On pose u = )

2 x 1 3(

2 + alors x =

2 u 1 2

3 − ; dx =

2 u 1 2

3 −

On obtient

∫

_(x² ₊^dx_x+1)^{2 = 8}₉³

∫

₍₁₊^du_u²₎²

= 



 





+ +

) u 1 ( 2 Arctgu u 2

1 9

3 8

2 + C

(on revient à x) = C

) 1 x x (

1 x 2 3 1 3

1 x Arctg2 9

3 4

2 +

+ + + +

+

En définitive on a :

∫

_(x^2x₊⁺_x²₊₁₎^{2 dx=} _(x² ₊^x_x+1)⁺²₃^3Arctg2x₃^+1.

4) Exercice :

a) Calculer I(x) =

∫

_x^3dx₊₁

Indications : f(x) =

1 x

1

3+ =

1 x x

2 x 3 1 ) 1 x ( 3

1

2 − +

+ + −

+

I(x) = I (x)

3 1 1 x 3Log 1

− 1

+ où I1(x) = dx

1 x x

2 x

∫

2 ₋⁻ ₊ ^.

I1(x) = dx

1 x x

3 ) 1 x 2 ( 2 1

∫

2 ₋⁻ ₊^{− = 1}₂^{Log(x2-x+1) -} ₂^3I2(x)

Où I2(x) =

∫

_x² ₋^dx_x+1⁼

∫

₋

+ )² 3

1 x (2 1

dx 3

4 = C

3 1 x Arctg2 3

2 − + .

b) En déduire J(x) =

∫

_(x^3dx₊₁₎²

Indication : Effectuer une intégration par parties qui permet d'écrire J(x) en fonction de I(x).

IV- Quelques types particuliers.

IV-1- Calcul de

∫

^P(x)eaxdx:

Soit a_∈IR * et P un polynôme de IR [x]. On cherche à calculer

∫

^P(x)eaxdx.

1^ère méthode :

Une intégration par parties donne :

∫

^{P(x)eaxdx= 1}_a^{P(x)eax −}_a¹

∫

^P'(x)eaxdx

on diminue ainsi le degré du polynôme. En réitérant le même procédé jusqu'à faire "disparaître le polynôme".

Exemple :

∫

^{(x2 −x+3)e2xdx}

On pose u(x) = x²-x+3 u'(x) = 2x-1 v'(x) = e^2x v(x) = e^2x

2 1

Alors :

∫

^{(x2 −x+3)e2xdx= 1}₂^{(x2 −x+3)e2x −1}₂

∫

^{(2x−1)e2xdx}

= 



 − −

− +

−^{x 3)e 1}₂ ¹₂^{(2x 1)e 1}₂

∫

^{2e dx}

x 2(

1 _{2 2x 2x 2x}

= e C

2 e 1 ) 1 x 2 2( 1 2 e 1 ) 3 x x 2(

1 _{2 2x 2x 2x}

+





 − −

− +

−

= (x 2x 4)e C

2

1 _{2 2x}

+ +

− ; C_∈ IR

Remarquons que cette méthode n'est pas pratique dès que le degré de P est supérieure ou égal à 3.

2^ème méthode :

On cherche une primitive de f(x) = P(x)e^ax sous la forme F(x) = Q(x) e^ax où Q est un polynôme de même degré que P. On procède alors par identification.

Exemple :

∫

^{(x2 −x+3)e2xdx}

On pose F(x) = (ax²+bx+c)e^2x ; f(x) = (x²-x+3)e^2x F'(x) = (2ax²+2(a+b)x+b+2c)e^2x.

F'(x) = f(x) ⇔







= +

= +

= 3 c 2 b

1 - b) 2(a

1 a 2

⇔







=

−

=

= 2 c

1 b

2 / 1 a

Alors F(x) = ( 2

1x²-x+2)e^2x et

∫

^{(x2 −x+3)e2xdx= (}₂^{1x2-x+2)e2x + C.}

Remarque :

Pour le calcul de

∫

^{P(x)cosβxdx et}

∫

^P(x)sinβxdx, où P est un polynôme, on peut soit effectuer des intégrations par parties successives (méthode commode si d°P≤2) ou chercher une primitive de f(x) = P(x)cosβx (ou f(x) = P(x)sinβx) sous la forme

F(x) = A(x) cosβx + B(x) sinβx où A(x) et B(x) sont des polynômes de degrés≤d°(P).

Exemple :

∫

^{(x3 −x2 +2x−3)sinxdx}

On pose F(x) = (ax³+bx²+cx+d)cosx + (αx³+βx²+γx+λ)sinx

F'(x) = (-(ax³+bx²+cx+d) + (3αx²+2βx+γ))sinx + ((αx³+βx²+γx+λ) + (3ax²+bx+c)cosx).

F'(x) = f(x) ⇔











= + λ

−

= γ +

−

= + γ

= β +

−

= + β

−

= α +

−

= α

=

−

0 c 3 d

0 2b 2 2 c

0 3a et 1 3 b

0 1 a

D'où a = -1; α = 0; b = 1 ; β = 3 ; c = 4 ; γ = -2 : d = 1 et λ = -4.

Ainsi :

∫

^{(x3 −x2 +2x−3)sinxdx= (-x3+x2}+4x+1)cosx + (3x²-2x-4)sinx + C.

IV-2- Primitives d'une fraction rationnelle en sinx et cosx

Pour calculer

∫

^{R(sinx,cosx)dx} où R est une fraction rationnelle de deux variables, on pose t = tg

2

x et on se ramène alors à l'intégrale d'une fraction rationnelle en t.

Rappelons qu'on a, en posant t = tg 2 x : sinx = ₂

t 1

t 2

+ ; cosx = ₂

2

t 1

t 1

+

− ; dx = ₂ t 1

2 + dt.

Exemple :

∫

_sin^dx_x

On pose t = tg 2

x, on obtient

∫

¹⁺_2t^{t2 .}₁₊²_t^{2 dt =}

∫

^dt_t ^{=Logt +C}

Alors

∫

_sin^dx_x ^{= Logtg}₂^{x + C.}

Cas particuliers :

Soit à calculer

∫

^{R(sinx,cosx)dx}, on a alors :

- Si le changement de x en -x ne modifie pas R(sinx,cosx)dx, on pose u = cosx.

- Si le changement de x en π-x ne modifie pas R(sinx,cosx)dx on pose u = sinx.

- Si le changement de x en π+x ne modifie pas R(sinx,cosx)dx on pose u = tgx.

Exemple :

∫

₂^sin_+cos^3x_x^dx

On pose u = cosx, on obtient

∫

^u₂²₊⁻_u^{1du =}

∫

_^u−2+ _u³₊₂^_^{du= u}₂^{2 −2u+ 3Logu+2+C.}

D'où

∫

₂^sin_+cos^3x_x^{dx =} ₂^1cos2x - 2cosx + 2Log(2+cosx) + C.

Exercice :

1) Calculer

∫

_3−2sin^cos_x³₋^x_cos²_x^dx ; (poser u = sinx).

2) Calculer

∫

_a² ₊^dx_cos²_x ; a > 0 ; (poser u = tgx).

IV-3- Primitives d'une fraction rationnelle en e^ααααx ; αααα∈ IR *

1) Pour calculer ∫F(e^{α x}) dx où F est une fraction rationnelle d'une variable, généralement on pose u = e^{α x} on obtient alors

α

1 ∫ du

u ) u (

F .

Exemple :

∫

_e^xdx₊₁

On pose u = e ^x, du = u dx , on obtient

∫

_u(1^du_+u)⁼

∫

⁽¹_u ^-₁₊¹_u ^{)du= Log}_u^u₊₁^{+c .}

Soit

∫

_e^xdx₊₁ ^{= Log}_e^xex₊₁^+c;

= x - Log (e ^x+1) + c ;

2) Pour calculer

∫

^{R(shx,chx )dx}, où R est une fraction rationnelle de deux variables, on peut effectuer le changement de variable u = e ^x, puis il s'agit d'une fraction rationnelle en

e x puisque

2 e shx e

x

x − −

= et

2 e chx e

x

x + −

= .

Exemple: I(x) =

∫

_1+shx^ch2₊^x_chx^dx

On a: I(x) = ¹₄

∫

^e2x₁⁺₊²_e^{+xe−2x dx}

On pose u = e ^x, on obtient

∫

⁺₁₊⁺_u ^{u .du}_u

2 1 u 4

1 ^{2 2}

= ¹₄

∫

^u4_u⁺³₍₁^2u₊²_u⁺₎^{1 du}

= du

1 u

u u

1 u

1 u 1 3 4 1

3

∫

^_^{ + −} 2 ^{+ −} ₊ ^_^

= 4Logu 1 C

u 2

1 u u 1 Log 3 4 u 1

2 +

 + + − − + .

Alors I(x) = ¹₄

[

^{ex +3x+e−x −e−2x −4Log(ex +1)}

]

^+C.

Remarque :

*Pour calculer

∫

^R(shx,chx)dx, on peut aussi poser u = th 2

x pour se ramener à

∫

^{F(t)dt où}

F est une fonction rationnelle en utilisant :

shx = ₂

u 1

u 2

− ; chx = ₂² u 1

u 1

−

+ ; dx = ₂ u 1

du 2

− . Cas particuliers :

Soit à calculer I(x) =

∫

^{R(shx,chx)dx.}

On considère J(x) =

∫

^{R(sinx,cosx)dx}, pour laquelle on essaye un changement de variable particulier u = cosx, u = sinx ou u = tgx (voir cas particuliers IV-2). On utilise alors dans notre cas, pour le calcul de I(x), le changement de variable correspondant pour les fonctions hyperboliques : u = chu ; u = shx ou u = thx.

Exemple : I(x) =

∫

_chx(2^sh₊^3x_sh²_x)^dx

On considère J(x) =

∫

_cosx(^sin₂₊³_sin^{x 2}_x)^dx, pour calculer J(x), on pose u = cosx (car le changement de x en -x ne modifie par dx

) x sin 2 ( x cos

x sin

2 3

+ ).

Alors pour le calcul de I(x), on pose u = chx, on obtient : du

) 1 u ( u

1 u

2

∫

2 ⁻₊ ⁼

∫

^_^−1_u ⁺_u^22u₊₁^_^{du = −Logu +Log(u2 +1)+C}

Ainsi I(x) =

∫

_chx(2^sh₊^3x_sh²_x)^{dx= C−Logchx+Log(2+sh2x)+ .}

IV-4- Calcul de

∫









+ + dx

d cx

b , ax x

R ⁿ

Soit n_∈IN; n≥2 , R une fraction rationnelle de deux variables. Pour calculer

∫









+ + dx

d cx

b , ax x

R ⁿ , on pose u = ⁿ

d cx

b ax

+

+ ce qui ramènera le calcul à celui de

∫

^{F(u)du où}

F est une fraction rationnelle en u.

Exemple : I(x) =

∫

_x^{1 x}_x−⁺₁^1dx

On pose u =

1 x

1 x

−

+ ; u² = 1 x

1 x

−

+ d'où x = 1 u

1 u

2 2

−

+ et dx = - du

) 1 u (

u 4

2 2 − On obtient alors

∫

_(1−u⁴²₎₍^u₁²_+u²₎^du=

∫

^_^₁₋²_u^{2 −}₁₊²_u^2_^du

= Log u 1

u 1

−

+ - 2Arctgu + C

et par suite I(x) = dx 1 x

1 x x

∫

1 ₋^{+ = 2Arctg 1}_x ^x₁ ^C

1 x

x 1 1

1 x

x 1 1

Log +

−

− +

−

− +

− + +

.

V- Extension de la notion d'intégrale.

V-1- Intégration sur [a,+∞[ ou ]-∞,a]

1) Définition :

Soit a_∈IR et f une fonction continue sur [a,+_∞[. Alors _∀x_∈]a,+_∞[ F(x) =

∫

a^xf(t)dt existe.

On dit que l'intégrale

∫

a^+∞f(t)dt converge si et seulement si :

+∞

→

xlim F(x) = _l, _l∈ IR. On note alors

∫

a^+∞f(t)dt= _l = lim_+∞

∫

a^xf(t)dt.

On dit que l'intégrale

∫

a^+∞f(t)dt diverge lorsqu'elle n'est pas convergente c-à-d si

+∞

→

xlim F(x) est infinie ou n'existe pas.

2) Exemple :

* Etudier la nature (convergente ou divergente) de : a)

∫

0^+∞ ₊ 2 dt

t 1 Arctgt

∀x_∈[0,+_∞[ ; soit F(x) =

∫

0^x ₊ 2 dt t 1 Arctgt

= Arctg x 2

1 ₂

Comme limF(x)

∞

+ =

∞

lim+ Arctg x 2

1 ₂

= 8

π2 alors

∫

^Arctgt_1+t^{2 dt} est convergente et

∫

0^+∞ ₊ 2 dt t 1 Arctgt

= 8 π2 . b)

∫

1^∞Logtdt

∀x≥1 ; F(x) =

∫

1^xLogtdt = x Logx - x - 1

∞

lim x Logx - x - 1 = +

∞

lim x(Logx - 1 - +

x

1) = +_∞ alors

∫

1^∞Logtdt est divergente.

3) Théorème fondamental : Soit β∈ IR, alors

∫

1^+∞t^β

dt converge si β >1 et diverge si β ≤1.

Preuve :

∀x≥1 ; F(x) =

∫

1^xt^β dt =







= β

≠ β β −

−

β

−

1 si Logx

1 si ) 1 x 1 (

1 ₁

Alors si β ≤1 ;

∞

lim F(x) = ++ _∞ et par suite

∫

1^+∞t^β

dt diverge.

si β>1 ;

∞

lim F(x) = +

1 1

−

β et par suite

∫

1^+∞t^β

dt converge et

∫

1^+∞t^β

dt = 1 1

− β . 4) Remarque :

La convergence de

∫

a^+∞f(t)dt est indépendante de a.

5) Définition :

* De la même manière on définit la convergence de l'intégrale

∫

₋^a_∞^f(t)dt où f est une fonction continue sur ]-_∞,a[.

∫

₋^a_∞^f(t)dt converge si et seulement si xlim_→−∞

∫

x^af(t)dt ⁼L; L_∈ IR.

* Soit f une fonction continue sur IR.

On dit que

∫

₋^+∞_∞^f(t)dt converge si et seulement si _∀a_∈ IR.

∫

₋^a_∞^{f(t)dt et}

∫

a^+∞f(t)dt sont convergentes.

6) Exemple :

Etudier la nature de : a)

∫

₋⁰_∞^etdt.

∀x≤0 ; F(x) =

∫

x⁰ tdt

e =

[ ]

^{et 0x = 1- ex }x^{ →}→^−∞ 1

Donc

∫

₋⁰_∞^etdt converge.

b)

∫

₋^+∞_∞^etdt.

Soit a_∈ IR ;

∫

₋^a_∞^etdt converge mais

∫

a^+∞

tdt

e diverge (car _+∞

∫

a^x tdt e

lim = +_∞) alors

∫

₋^+∞_∞^etdt

diverge.

V-2- Critères de convergence : 1) Théorème1 :

Soit f et g deux fonctions sur [a,+_∞[ et vérifiant :

∀t_∈[a,+_∞[ ; 0 ≤ f(t) ≤ g(t) alors :

∫

a^+∞g(t)dt converge ⇒

∫

a^+∞f(t)dt converge.

Exemple :

∀t ≥1, on a : e^−t2 ≤e^−t , comme

∫

1^{+∞ −} tdt

e converge alors

∫

1^{+∞ −} t dt

e ² converge.

2) Théorème2 :

Soit f et g deux fonctions continues et positives sur [a,+_∞[.

Si f^+∞~g (c-à-d 1 ) x ( g

) x ( limf =

∞

+ ) alors :

∫

a^+∞f(t)dt et

∫

a^+∞g(t)dt sont de même nature.

Exemple :

Comme 1

t t sin 1 lim ₂ ² =

∞

+ alors sin ₂

t 1 ^+∞

~ ₂ t

1

Et comme

∫

1^+∞t2

dt converge (car 2>1) alors

∫

1^+∞ 2 dt t

sin 1 converge.

3) Théorème 3 :

Soit f une fonction continue sur [a,+_∞[.

Si

∫

a^+∞ f(t)dt converge (on dit que

∫

a^+∞f(t)dt est absolument convergente) alors

∫

a^+∞f(t)dt converge.

Exemple :

Etudier la nature de

∫

1^+∞ 2 dt t

t cos .

∀t≥1, on a ₂ t

t

cos ≤1, comme

∫

1^+∞t2

dt converge alors

∫

1^+∞ t2

t

cos dt converge et par suite

∫

1^+∞ 2 dt t

t

cos converge.

V-3- Intégration sur [a,b[ ou ]a,b] . 1) Définition :

Soit f une fonction continue sur [a,b[; a,b_∈ IR a<b.

∀x_∈[a,b[, on pose ϕ(x) =

∫

a^xf(t)dt.

On dit que l'intégrale

∫

a^bf(t)dt converge si et seulement si _{ϕ =l}

→ − (x) limb

x ; _l∈ IR (c-à-d ϕ(x) admet une limite finie quand x→b^-).

On écrit alors

∫

a^bf(t)dt= _l= xlim_→b⁻

∫

a^xf(t)dt. 2) Exemple :

Etudier la nature de

∫

0¹ 1₋t2

dt .

∀x_∈[0,1[ ; ϕ(x) =

∫

0^x 1₋t2

dt = Arc sinx

2

1 x

 π

 →

→−

Alors

∫

0¹ 1₋t2

dt converge et

∫

0¹ 1₋t2

dt = 2 π.

3) Théorème fondamental : Soit β∈ IR ;

∫

0¹t^β

dt converge si et seulement si β<1.

4) Définition :

* De la même manière on définit la convergence de

∫

a^bf(t)dt où f est une fonction continue sur ]a,b].

∫

a^bf(t)dt converge ⇔ xlim_→a⁺

∫

x^bf(t)dt= L ; L_∈ IR

* Soit f une fonction continue sur ]a,b[.

On dit que

∫

a^bf(t)dt converge si _∀c_∈[a,b],

∫

a^cf(t)dt et

∫

c^bf(t)dt sont convergentes.

Exemple :

∫

0¹ t

dt converge car _∀x_∈]0,1] ;

∫

x¹ t

dt =

[ ]

^{2 t 1x}= 2 - 2 x et x_→0⁺

∫

x¹ t lim dt = 2.

* Les critères de convergence s'énoncent de la même manière que ceux du V-2 pour les différents types de convergences. (convergence en -_∞ pour

∫

−∞

a f(t)dt, convergence en b pour

∫

a^bf(t)dt quand f est continue sur [a,b[ et convergence en a pour

∫

a^bf(t)dtquand f est continue sur ]a,b]).

* Pour l'étude de la convergence d'une intégrale, on peut rencontrer des différents types de convergence, il faut alors étudier séparément la question de convergence pour chaque borne.

Par exemple,

∫

0^+∞f(t)dt où f est continue sur ]0,+_∞[ présente un problème de convergence en +_∞ et un problème de convergence en 0.

∫

0^+∞f(t)dt converge si et seulement si _∀a_∈]0,+_∞[.