fiche5 calcul integral

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Université Claude Bernard Lyon 1 Semestre printemps 2016 - 2017 Préparation aux épreuves écrites du CAPES

Fiche 5 CALCUL INTÉGRAL

Partie I : Intégrale de Riemann Notions abordées

• Sommes de Darboux, définition de l’intégrabilité au sens de Riemann, exemples.

• Critères d’intégrabilité (continuité, monotonie, produit et limite uniforme).

• Linéarité de l’intégrale, relation de Chasles.

• Résultats de positivité.

• Théorème fondamental du calcul intégral.

• Éléments techniques : changement de variable, intégration par parties, formules de la moyenne, théorème de Cauchy-Schwarz.

• Applications : lien avec l’aire, seconde formule de la moyenne, intégrales de Wallis.

PARTIE I : Intégrale de Riemann

Dans cette partie, on s’intéresse à la notion de Riemann intégrabilité de fonctions bornées défi- nies sur des intervalles [a, b] avec a, b ∈ R, a < b. Pour tous a, b réels vérifiant a < b, on notera S(a, b) l’ensemble des subdivisions de l’intervalle [a, b], c’est à dire l’ensemble des suites finies du types={x₀ =a < x₁<· · ·< x_n=b}.

A - PREMIÈRES DÉFINITIONS ET EXEMPLES

Définition (sommes de Darboux). Soitf une fonction bornée[a, b]→R. Étant donnén∈N^∗ et une subdivision s = {x₀ <· · ·< x_n} ∈ S(a, b), on définit les sommes de Darboux inférieure D⁻_s (f) et supérieureD⁺_s (f) par :

D_s⁻(f) =

n

X

k=1

(xk−xk−1)mk , mk = inf

x∈[xk−1,x_k]f(x), D_s⁺(f) =

n

X

k=1

(x_k−x_k−1)M_k , M_k = sup

x∈[xk−1,x_k]

f(x).

1 - On dit ques⁰ ∈S(a, b)est unraffinementdes∈S(a, b)si l’ensemble des points qui constituent sest inclus dans l’ensemble des points qui constituents⁰. On note alorss⊂s⁰.

On considère deux subdivisions s = {x₀ <· · ·< x_n} et s⁰ = {y₀<· · ·< y_m} (où n, m ∈N^∗) d’un intervalle[a, b]telles que s⊂s⁰. Pour toutk∈ {0,· · ·, n}, l’élémentxk est donc aussi un élément de l’ensemble {y₀,· · · , ym}, et on note ϕ(k) l’entier i vérifiant x_k = yi. En d’autres termes,y_ϕ(k)=x_k pour toutk∈ {0,· · · , n}. Notons que l’on aϕ(0) = 0etϕ(n) =m.

(a) Pour toutp∈J0, mK, on posem⁰_p = inf

x∈[yp−1,yp]f(x). Montrer que pour toutk∈J1, nK, on a :

ϕ(k)

X

p=ϕ(k−1)+1

(yp−yp−1)m⁰_p ≤(xk−xk−1) inf

x∈[xk−1,x_k]f(x).

(2)

Indication : on pourra remarquer que pour tout entierpvérifiantϕ(k−1) + 1≤p≤ϕ(k), on a[yp−1, y_p]⊂[xk−1, x_k].

(b) En déduire queD⁻_s (f)≤ D⁻_s0(f).

Indication :

m

X

p=1

(yp−yp−1)m⁰_p =

n

X

k=1





ϕ(k)

X

p=ϕ(k−1)+1

(yp−yp−1)m⁰_p



 .

(c) Par un raisonnement similaire, montrer queD_s⁺(f)≥ D_s⁺0(f).

On considère à présent deux subdivisions quelconques s₁ et s₂ de [a, b]. On note s₁ ∪s₂ la subdivision de[a, b]constituée des points distincts de s₁ ets₂. Notons que s₁∪s₂ est à la fois un raffinement des₁ et un raffinement de s₂.

(d) Montrer que l’on a :

D⁻_s₁(f)≤ D⁻_s₁_∪s₂(f)≤ D⁺_s₁_∪s₂(f)≤ D_s⁺₂(f). (e) En déduire que sup

s∈S(a,b)

D⁻_s (f)≤ inf

s∈S(a,b)

D_s⁺(f).

Définition (fonction Riemann intégrable). Soitf une fonction bornée[a, b]→R. On note R⁻(f) = sup

s∈S(a,b)

D_s⁻(f) , R⁺(f) = inf

s∈S(a,b)

D⁺_s (f).

On dit que f est Riemann intégrable si R⁻(f) = R⁺(f). On définit alors l’intégrale de f (au sens de Riemann) par Z b

a

f(t)dt=R⁻(f) =R⁺(f).

Exemples.

2 - On se place sur l’intervalle[0,1]et on s’intéresse à la fonctionf définie parf(x) =xpour tout x∈[0,1].

(a) Soitn∈N^∗.On considère une subdivisions={x₀ = 0<· · ·< xn= 1} ∈S(0,1). Donner l’expression des sommes de Darboux (inférieure et supérieure) associées à cette subdivision.

(b) Soitn∈N^∗.On considère la subdivisions_ndéfinie par les points(x_i)i=0,···,n, avecx_i =i/n pour touti. Calculer les sommes de Darboux associées à cette subdivision.

(c) Montrer queR⁻(f) = R⁺(f). En déduire que la fonctionf est Riemann intégrable sur [0,1], avec

Z 1 0

f(t)dt= 1 2.

3 - On considère la fonctionf définie sur [0,1]parf(x) =

1si x∈Q 0sinon .

(a) Soits={x₀<· · ·< xn} (n∈N^∗) une subdivision de[0,1]. Montrer que : D_s⁻(f) = 0 et D⁺_s (f) = 1.

(b) En déduire quef n’est pas Riemann intégrable.

B - CRITÈRES D’INTÉGRABILITÉ

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1 - Monotonie.

Soitf une fonction décroissante sur un intervalle [a, b].

(a) On considère une subdivision de[a, b]quelconques={x₀ <· · ·< xn}, oùn∈N^∗. Montrer que :

D⁺_s (f)− D_s⁻(f)≥ R⁺(f)− R⁻(f)≥0. (b) Montrer que :

0≤ D⁺_s (f)− D⁻_s (f)≤ max

1≤k≤n(x_k−xk−1) (f(a)−f(b)) .

(c) Soitε >0. Montrer qu’il existe une subdivisions_ε telle que D⁺_s_ε(f)− D⁻_s_ε(f)≤ε .

Indication : distinguer les casf(a) =f(b)etf(a)6=f(b), et limiter le pas de discrétisation des_ε :max

1≤k≤n(x_k−xk−1).

Remarque :Ce raisonnement s’applique aussi aux fonctions croissantes.

(d) En déduire le théorème suivant :

Théorème. Toute fonction monotonef : [a, b]→Rest Riemann intégrable.

2 - Continuité.

On considère une fonctionf continue sur un intervalle [a, b]. Notons que l’intervalle[a, b]étant fermé borné,f est uniformément continue sur cet intervalle :

∀r >0,∃η <0,∀x, y∈[a, b],|x−y|< η ⇒ |f(x)−f(y)|< r .

Etant donnée une subdivisions={x₀ <· · ·< xn} ∈S(a, b), oùn∈N^∗, on note respectivement m_k = inf

x∈[xk−1,xk]f(x) et M_k = sup

x∈[x_k−1,xk]

f(x) les bornes inférieure et supérieure de f sur l’intervalle[xk−1, xk], pour tout k∈J1, nK.

(a) Soit s = {x₀ <· · ·< xn} ∈ S(a, b), avec n ∈ N^∗. Montrer que pour tout k ∈ J1, nK les bornesm_k etM_k sont atteintes.

Soitε >0. D’après la continuité uniforme def, il existeη >0tel que

∀x, y∈[a, b],|x−y|< η ⇒ |f(x)−f(y)|< ε/(b−a). (b) Soits_ε={x₀<· · ·< x_n}une subdivision de[a, b]telle que max

1≤k≤n(x_k−x_k−1)< η. Montrer que pour toutk∈J1, nK,M_k−m_k< ε/(b−a).

(c) En déduire que0≤ D⁺_s

ε(f)− D⁻_s

ε(f)< ε . (d) En déduire le théorème suivant :

Théorème. Toute fonction continuef : [a, b]→Rest Riemann intégrable.

Nous admettrons les deux résultats suivants : 3 - Limite uniforme.

Théorème. Sif est la limite uniforme d’une suite de fonctions(fn)nRiemann intégrables sur[a, b], alors f est Riemann intégrable sur[a, b].

4 - Produit.

Théorème. Sif etg sont Riemann intégrables sur[a, b], alors leur produitf g l’est aussi.

(4)

C - THÉORÈMES FONDAMENTAUX

1 - Linéarité de l’intégrale(admis).

Théorème. L’ensemble des fonctions Riemann intégrables sur[a, b]est un Respace vecto- riel sur lequel l’intégrale définit une application linéaire. En d’autres termes, pour toutes fonctionsf etg Riemann intégrables sur[a, b], et pour tous réels α, β, on a :

Z b a

(αf(t) +βg(t))dt=α Z b

a

f(t)dt+β Z b

a

g(t)dt .

2 - Relations de Chasles(admis).

Propriété (relation de Chasles). Soitf Riemann intégrable sur[a, b]etc∈]a, b[. Alors f est aussi Riemann intégrable sur[a, c]et[c, b], avec :

Z c a

f(t)dt+ Z b

c

f(t)dt= Z b

a

f(t)dt .

3 - Positivité et corollaires.

(a) Démontrer le théorème suivant :

Théorème. Soitf positive, Riemann intégrable sur [a, b]. On a Z b

a

f(t)dt≥0.

(b) En déduire le résultat suivant :

Corollaire. Soient f et g deux fonctions Riemann intégrables sur [a, b], telles que f ≤g. On a :

Z b a

f(t)dt≤ Z b

a

g(t)dt .

(c) On cherche à établir le résultat suivant :

Propriété. Soitf Riemann intégrable sur[a, b]. Alors|f|est aussi Riemann intégrable, et on a :

Z b a

f(t)dt

≤ Z b

a

|f(t)|dt .

Dans la suite,f désigne une fonction Riemann intégrable sur[a, b].

Résultat préliminaire.

On considère une subdivisions={x₀<· · ·< xn} ∈S(a, b). Pour k∈J1, nK, on note : m_k= inf

x∈[x_k−1,xk]f(x) , M_k= sup

x∈[x_k−1,xk]

f(x), m⁰_k= inf

x∈[x_k−1,xk]

|f(x)| , M_k⁰ = sup

x∈[x_k−1,xk]

|f(x)|.

Dans les questions (i), (ii) et (iii), k désigne un réel fixé dans J1, nK et on suppose M_k⁰ > m⁰_k.

(i) Montrer que pour tout réel strictement positif ξ < M_k⁰ −m⁰_k

2 , il existe ak, bk ∈ [xk−1, xk]tels que :

m_k⁰ ≤ |f(ak)| ≤m⁰_k+ξ < M_k⁰ −ξ≤ |f(bk)| ≤M_k⁰ .

(5)

(ii) En déduire que |f(b_k)| − |f(a_k)| ≥M_k⁰ −m⁰_k−2ξ . (iii) Montrer que |f(b_k)−f(a_k)| ≤M_k−m_k.

(iv) En déduire que M_k⁰ −m⁰_k≤Mk−mk pour tout k∈J1, nK. Retour à la preuve.

(v) Soit ε > 0. Montrer qu’il existe une subdivision s₁ ∈ S(a, b) et une subdivision s₂ ∈S(a, b) telles que :

0≤ R⁻(f)− D⁻_s

1(f)≤ε/2 et 0≤ D⁺_s

2(f)− R⁺(f)≤ε/2. (vi) En déduire qu’il existe une subdivision stelle que :

0≤ D⁺_s (f)− D⁻_s (f)≤ε . Indication : on pourra, par exemple, prendre s=s₁∪s₂.

(vii) Utiliser (iv) pour montrer queD_s⁺(|f|)− D_s⁻(|f|)≤ D_s⁺(f)− D⁻_s (f). En déduire que

|f|est Riemann intégrable.

(viii) Montrer que :

Z b a

f(t)dt

≤ Z b

a

|f(t)|dt .

(d) Montrer le résultat suivant :

Propriété. Soitf Riemann intégrable sur[a, b], positive, telle que Z b

a

f(t)dt= 0. Alors f prend la valeur 0en tout point où elle est continue.

4 - Théorème fondamental.

Théorème Soit f Riemann intégrable sur[a, b]. On considère l’applicationF : [a, b]→ R définie pour toutx∈[a, b]par :

F(x) = Z x

a

f(t)dt .

On a les résultats suivants : i) F est continue sur [a, b].

ii)Sif admet une limitel(resp. à gauche, à droite)en x₀ ∈[a, b], alorsF est dérivable (resp. à gauche, à droite) enx₀, et on aF⁰(x₀) =l.

iii)Sif est continue sur[a, b], alorsF est dérivable sur[a, b], etF est l’unique primitive de f qui s’annule ena.

D - ÉLEMENTS TECHNIQUES

1 - Changement de variable - Intégration par parties.

Ces deux propriétés se déduisent aisément du théorème précédent.

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Propriété (changement de variable). Soit ϕ : [a, b] → R de classe C¹ sur [a, b] et f continue sur l’intervalle ϕ([a, b]). On a :

Z b a

f(ϕ(t))ϕ⁰(t)dt= Z ϕ(b)

ϕ(a)

f(s)ds .

Propriété (Intégration par parties). Soientf : [a, b]→Retg: [a, b]→Rde classe C¹ sur[a, b]. On a :

Z b a

f(t)g⁰(t)dt= [f(t)g(t)]^b_a− Z b

a

f⁰(t)g(t)dt .

2 - Formules de la moyenne.

La première propriété a fait l’objet de l’exercice 1 de laFiche 1. La deuxième formule de la moyenne sera démontrée dans l’exercice 2.

Propriété (Première formule de la moyenne). Soient f : [a, b]→R etg : [a, b]→ R deux fonctions continues sur[a, b], avec g positive. Il existec∈[a, b]tel que

Z b a

f(t)g(t)dt=f(c) Z b

a

g(t)dt .

Propriété (Deuxième formule de la moyenne). Soientf : [a, b]→Retg: [a, b]→R deux fonctions à valeurs réelles, avec f Riemann intégrable et g positive décroissante. Il existe c∈[a, b]tel que

Z b a

f(t)g(t)dt=g(a) Z c

a

f(t)dt .

3 - Théorème de Cauchy-Schwarz.

On désire établir le théorème suivant :

Théorème . Soientf : [a, b]→Retg: [a, b]→Rdeux fonctions Riemann intégrables sur [a, b]. On a :

Z b a

f(t)g(t)dt

≤ Z b

a

(f(t))²dt

1/2Z b a

(g(t))²dt 1/2

.

Soientf : [a, b]→Retg: [a, b]→R, deux fonctions Riemann intégrables sur [a, b].

(a) Soitλ∈R. Montrer que la fonction (λf+g)² est Riemann intégrable.

Pour toutλ∈R, on pose

P(λ) = Z b

a

(λf(t) +g(t))²dt . (b) Montrer queP est un polynôme de degré 2 en λ.

(c) Montrer que le discriminant deP est négatif ou nul. Conclure.

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E - APPLICATIONS

Exercice 1 :Lien avec l’aire

Soitf : [a, b]→Rcontinue. Pour toutx∈[a, b], on noteA(x)l’aire sous la courbe def entreaetx.

1 - Montrer queAdéfinit une fonction dérivable sur[a, b], avec A⁰(x) =f(x)pour tout x∈[a, b].

2 - En déduire queA(b) = Z b

a

f(t)dt.

Exercice 2 :Deuxième formule de la moyenne

On se place dans les conditions de l’énoncé de la deuxième formule de la moyenne. Pour toutn∈N^∗, on introduit les notationshn= b−a

n etxk=a+khn pour 0≤k≤n. On pose : Rn=

n−1

X

k=0

Z xk+1

xk

f(t)g(xk)dt .

1 - Pour toutx∈[a, b]on poseA(x) = Z x

a

|f(t)|dt.

(a) Montrer queA est continue sur [a, b].

Indication : On utilisera le fait que f est Riemann intégrable, donc bornée.

(b) Soitε >0. Montrer qu’il existeN ∈Ntel que, pour tout entier n≥N, on ait :

∀x∈[a, b−hn] , |A(x+hn)−A(x)|< ε .

Indication : A est continue sur [a, b], donc uniformément continue sur cet intervalle.

(c) En déduire que la suite de terme générala_n= sup

x∈[a,b−h_n]

(A(x+h_n)−A(x))converge vers 0.

2 - (a) Montrer que pour toutn∈N^∗ :

R_n− Z b

a

f(t)g(t)dt

≤

n−1

X

k=0

Z xk+1

xk

|f(t)|(g(x_k)−g(t))dt .

(b) En déduire :

Rn− Z b

a

f(t)g(t)dt

≤

n−1

X

k=0

(g(x_k)−g(x_k+1)) (A(x_k+1)−A(x_k)).

(c) En déduire que la suite(R_n)converge vers Z b

a

f(t)g(t)dt.

Indication : utiliser 1-(c) 3 - Pour toutx∈[a, b]on poseF(x) =

Z x a

f(t)dt . (a) Montrer que pour toutn∈N^∗ on a l’égalité :

R_n=

n−1

X

k=0

(g(x_k)−g(x_k+1))F(x_k+1) +g(b)F(b).

(8)

(b) On notem= inf

x∈[a,b]F(x)etM = sup

x∈[a,b]

F(x). Montrer que pour toutn∈N^∗ : g(a)m≤Rn≤g(a)M ,

(c) En déduire l’existence d’un réelc∈[a, b]tel que g(a)F(c) =

Z b a

f(t)g(t)dt .

Exercice 3 :Intégrales de Wallis (extrait du concours 2009).

Pour tout entier n≥0, on pose W_n= Z π/2

0

cosⁿ(x)dx.

1 - Montrer que pour toutn≥0, on aWn= Z π/2

0

sinⁿ(x)dx.

Indication : on pourra, par exemple, utiliser la changement de variablest= π 2 −x.

2 - Montrer que la suite(Wn)n est strictement décroissante.

Indication : pour la décroissance, on pourra comparer les fonctions x 7→ cosⁿ(x) et x 7→

cosⁿ⁺¹(x). Pour la stricte décroissance, on pourra raisonner par l’absurde.

3 - A l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pourn≥0, on a : W_n+2=

n+ 1 n+ 2

W_n.

4 - En déduire que, pour tout entierp≥0, on a :











W_2p = (2p)!

2^2p(p!)² π 2 W_2p+1 = 2^2p(p!)²

(2p+ 1)!

5 - Montrer que, pour toutn≥0, on a :

WnWn+1 = π 2(n+ 1).

Indication : on pourra montrer que la suite de terme général (n+ 1)W_nW_n+1 est constante.

6 - Prouver que, pour toutn≥0, on a : 1− 1

n+ 2 < Wn+1

Wn

<1,

et en déduire queWn∼Wn+1.

Indication : on pourra utiliser les questions 2et 3.

7 - Montrer finalement queWn∼ r π

2n. En déduire lim

n→+∞Wn .