() () CALCUL INTEGRAL ET ALGORITHME.

CALCUL INTEGRAL ET ALGORITHME.

Le but de l activité est de donner un encadrement de I  

0 1

e

x² 2

.

1. Sur le graphique ci-contre, on donne la courbe de la fonction f définie par f (x ) e

x² 2

. Que représente I ?

2. Construire le tableau de variation de la fonction f sur [0 ; 1].

3. Calculer f(0) et f (1) et justifier que e

1

2

I 1.

De même que dans l activité d introduction au chapitre, on construit 2 suites ( ) ^u

et ( ) ^v

telles que pour tout n de , u

I v

(on obtient u

et v

en "partageant l intervalle [0 1] en n intervalles de même amplitude).

4. Déterminer u

et v

.

5. Compléter l algorithme ci-dessous qui calcule et affiche u

et v

, où n est un entier entré par l utilisateur.

Demander n u prend la valeur 0 v prend la valeur 0

pour k allant de 1 à …………..

u prend la valeur ……….…………..

v prend la valeur ………

fin du Pour Afficher u et v d

6. Modifier l algorithme pour qu il donne un encadrement de I d amplitude inférieure ou égale à p où p

est entré par l utilisateur.

CALCUL INTEGRAL ET ALGORITHME.

CORRECTION

2) f décroissante et positive sur [0 ; 1].

3) f (0) 1 et f(1) e

1 2

Sur [0 ; 1] : 1 f (x ) e

1

2

donc 1 1 I 1 e

1

2

c'est-à-dire e

1

2

I 1 : I est compris entre l aire du rectangle de largeur 1 et de hauteur f (1) et celle du rectangle de largeur 1 et de hauteur f (0).

4) On obtient 1

3 ( ^e

^e

^e

) ^{I 1}

3 ( ^{1 e}

^e

)

5)

Demander n u prend la valeur 0 v prend la valeur 0

pour k allant de 1 à n

u prend la valeur u 1 n f

 

  k n v prend la valeur v 1

n f

 

  k 1

n fin du Pour

Afficher u et v

6)

Demander p n prend la valeur 1 u prend la valeur 0 v prend la valeur 1 Tant que v u p

affecter à u la valeur 0 affecter à v la valeur 0 pour k allant de 1 à n

u prend la valeur u 1 n f

 

  k n v prend la valeur v 1

n f

 

  k 1

n fin du Pour

n prend la valeur n + 1 Fin du Tant que

Afficher u et v

On obtient I 0,8556.