PanaMaths
[1 - 2]Octobre 2014
Soit u et v deux complexes.
1. Montrer que :
2 2 2 2
2
u v u v
⎛⎜u v
⎞⎟⎝ ⎠
+ + − = +
2. On pose
2
m = u v + et on note μ une racine carrée de uv.
Montrer que :
u + = + + − v m μ m μ
Analyse
Deux égalités classiques que l’on obtient en comparant les carrés.
Résolution
Question 1.
On a :
( )( ) ( )( )
2 2 2
u+v = u+v u+v = u+v u +v =uu+vv+uv+uv= u +v +uv+uv De façon similaire, on a : u−v2 = u2+ v2−uv−uv.
En sommant membre à membre les deux égalités précédentes, on obtient immédiatement :
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2
u+v + −u v = u + v = u + v
L’égalité est établie.
( )
u v, 2, u v2 u v2 2(
u2 v2)
∀ ∈^ + + − = +
Il s’agit de l’égalité du parallélogramme.
Si u et v désignent les affixes de deux côtés consécutifs (en tant que vecteurs) d’un
parallélogramme du plan alors u+v et u v− sont les affixes de deux diagonales et l’égalité
PanaMaths
[2 - 2]Octobre 2014
traduit le fait que la somme des carrés des longueurs des deux diagonales d’un parallélogramme est égale à la somme des carrés des longueurs de ses côtés.
Cette propriété du parallélogramme est connue depuis l’antiquité.
Question 2.
On a : μ2=uv.
Les expressions à comparer étant des réels positifs, nous pouvons comparer leurs carrés.
On a d’abord :
(
u + v)
2= u2+ v2+2u v = u2+ v2+2uv = u2+ v2+2 μ2 = u2+ v2+2μ2Puis :
( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
2 2 2
On utilise le résultat de la première question.
2
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
2
1 1
2 2 2 2
2 2 2 4
1 1 1 1
2 4 2
2 2 2 2
1 2
m m m m m m
u v
m m m m
u v u v
u v uv u v uv
u v u v uv u v u v
u
μ μ μ μ μ μ
μ μ μ μ μ
μ μ
μ μ
+ + − = + + − + + −
= + + + − = + + + −
+ +
⎛ ⎞
= + + + ⎜⎝ ⎟⎠ − = + + + −
= + + + + − = + + + −
=
(
2 2)
2(
2 2)
2On utilise le résultat de la première question.
2 2 2
2 1 2 2
2
2
v u v u v
u v
μ μ
μ
+ + − + = × + +
= + +
On a bien
(
u + v) (
2 = m+ +μ m−μ)
2 et, finalement : u + =v m+ +μ m−μ . Pour tous complexes u et v, en posant2 u v
m= + et μ2=uv, on a : u + =v m+ +μ m−μ
