D 1949 En passant par ESPALY
Problème proposé par Dominique Roux
On donne un point F intérieur à un cercle (O) de centre O.
Une droite variable passant par F coupe le cercle (O) en deux points M et N.
Le cercle de diamètre [FM] recoupe (O) en M' et le cercle de diamètre [FN] recoupe (O) en N'.
1) Montrer que le point A commun à MM' et NN' ainsi que le point B commun à MN et M'N' décrivent une même droite.
2) Montrer que MN' et M'N se coupent en un point fixe situé sur OF.
3) Montrer que M'N' passe par un point fixe.
Q1) Le point A a même puissance par rapport aux trois cercles : ceux de diamètres FM et FN et le cercle (O). C'est leur centre radical. Il est sur l'axe radical des cercles de diamètres FM et FN : A est sur leur tangente commune en F. Soit R le rayon du cercle (O), la puissance de A par rapport à (O) est AF² = AO² – R². Constatant que la différence des carrés des distances de A aux points fixes O et F est constante : AO² – AF² = R² on déduit que A se déplace sur une droite fixe, perpendiculaire à la droite OF en un point H.
B est centre d'homothétie positive pour les deux cercles de diamètres [FM] et [FN] , l'inversion de pôle B, de puissance BM.BN = BO² – R² échange ces deux cercles et laisse invariant leur point de contact F : BO² – R² = BF² donc : BO² – BF² = R² , et A et B sont sur la même droite fixe perpendiculaire à la droite OF en H.
Quand le point M fait un demi tour sur le cercle (O), chacun des points A et B décrit cette droite en entier.
Q2) Soit K l'intersection des droites MN' et M'N, les polaires de A et B par rapport au cercle (O) sont respectivement les droites BK et AK. Le point K est le pôle de la droite AB, c'est un point fixe de la droite OF : MN' et M'N se coupent en un point fixe K situé sur OF.
Q3) Les quatre droites BA, BF, BMN, BM'N' forment un faisceau harmonique, donc M'N' passe par le point fixe conjugué harmonique de F par rapport à K et H.
