Activit´e de math´ematiques (correction)
Encadrement d´ ecimal des racines carr´ ees
Propri´et´e. Soienta etb deux nombres r´eels positifs, alors a6b si et seulement si a2 6b2.
Exercice 1
1. On a 32 611642 donc d’apr`es la propri´et´e ci-dessus : 36√
11 64 2. On remarque que 3√
2 =√
18 et 42618652 donc d’apr`es la propri´et´e : 463√
265 On en d´eduit que :
363√
2−164
Exercice 2
1. On remarque que 5√ 3 =√
75 et 82675692 donc : 865√
369 On obtient alors en retranchant 2 :
665√
3−267 2. On remarque que 7√
3 =√
147 et 122 61476132 donc : 1267√
3613 D’o`u :
−12>−7√
3>−13 soit dans l’ordre croissant :
−136−7√
36−12 On obtient alors en ajoutant 20 :
7620−7√ 368
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Activit´e de math´ematiques (correction) Encadrement d´ecimal des racines carr´ees
Exercice 3
1. On remarque que 10√ 2 =√
200 et que 142 62006152 donc : 14610√
2615 2. On en d´eduit en divisant par 10 :
1,46√
261,5
Exercice 4
1. On remarque que 10√ 3 =√
300 et que 172 63006182 donc : 17610√
3618 On en d´eduit en divisant par 10 :
1,76√
361,8 2. La subtilit´e ici est que des encadrements `a l’unit´e de√
2 et 2√
3 ne permettent d’obtenir qu’un encadrement `a deux unit´es pr`es de√
2 + 2√ 3 ! Nous allons donc devoir ˆetre plus pr´e¸cis :
(√ 2 + 2√
3)2= (√
2)2+ (2√
3)2+ 2×√ 2×2√
3 = 14 + 4√ 6 Or 4√
6 =√
96 et 92 6966102 donc :
23 614 + 4√ 6624 A fortiori :
42 614 + 4√ 6652 Donc :
46√ 2 + 2√
365
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