Exercices: Étude asymptotique des suites

ECS1

Exercices: Étude asymptotique des suites

Exercice 1. Déterminer les limites des suites suivantes : an=

1−2

n n

,

b_n=n²

eⁿ¹ −1 .

Exercice 2. Trouver un équivalent deln 1−sin(_n¹).

Exercice 3. Soituune suite telle que∀n∈N,un>0qui vérieln 2

un

∼ 1

n². Montrer queuconverge vers une limite`et donner un équivalent de(u<sub>n</sub>−`).

Exercice 4. On donnen!∼√ 2πnn

e n

. Déterminer un équivalent de

2n n

4ⁿ . Exercice 5. Simplier au maximum les expressions suivantes :

1. n²+3n+ 1 n² + 1

√n+o 1

n

+o 1

ln(n)

. 2. 3n+ 4

n² + 1

eⁿ + 1

√nln(n)+o 1

n

. 3. 3n+n²

n² +ln(n) n +o

1

√n

.

Exercice 6. Soit (a, b, c) ∈R³, avec b >0. On considère la suite uqui vérie u_n =a+ b n+ c

n² +o 1

n²

. Est-elle monotone à partir d'un certain rang ?

Exercice 7. Soitα∈R⁺. Pour toutn∈N^∗, on pose :u_n=

n

Y

k=1

1 + k^α

n²

. 1. Montrer que siα= 2, la suite(un)est divergente.

2. Montrer que si06α <1, la suite(un)converge vers 1.

Exercice 8 (Adapté d'un oral ESCP-2006). On se propose d'étudier l'ensemble A des suites réelles vériant pour tout entier natureln, la relation de récurrence :

un+2=un+1+ 2.un+ (−1)ⁿ.

1. Montrer qu'il existe un réelαque l'on déterminera, tel que la suitewdénie par :∀n∈N,w_n=α.n.(−1)ⁿ, soit élément deA.

2. Montrer que u appartient à A si et seulement si la suite v = u−w vérie une relation de récurrence linéaire d'ordre deux.

3. Dans ce cas, calculer vn en fonction de v0, v1 et n, puis en fonction deu0, u1 et n. En déduire un en fonction deu₀,u₁ et n, et donner un équivalent simple deu_n dans le cas oùu₀et u₁ sont positifs.

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Exercice 9. (Adapté d'EDHEC 2016, voie E, exercice 2)

Pour chaque entier natureln, on dénit la fonctionfn par :∀x∈[n,+∞[, fn(x) = Z x

n

e

√tdt.

1. (a) Montrer quefn est de classe C¹ sur[n,+∞[ puis déterminerf_n⁰(x)pour toutxde[n,+∞[. Donner le sens de variation defn.

(b) En minorantfn(x), établir que lim

x→+∞fn(x) = +∞.

(c) En déduire que pour chaque entier natureln, il existe un unique réel de [n,+∞[, noté un, tel que f_n(u_n) = 1.

2. (a) Montrer que lim

n→+∞un= +∞.

(b) Montrer que∀n∈N,e^−√un6un−n6e⁻

√n.

3. (a) Utiliser la question 2b) pour compléter les commandes Scilab suivantes an qu'elles permettent d'af- cher un entier naturel npour lequelun−nest inférieur ou égal à10⁻⁴.

n=0while --- n= --- enddisp(n)

(b) Le script ache l'une des trois valeursn = 55, n= 70 et n = 85. Préciser laquelle en prenant2,3 comme valeur approchée deln(10).

4. (a) On posev_n=u_n−n. Montrer que lim

n→+∞v_n = 0.

(b) Établir que, pour tout réelxsupérieur ou égal à−1, on a√

1 +x61 +^x₂. (c) Vérier ensuite que∀n∈N^∗,e^−√un>e^−√nexp(−₂^v√n_n).

(d) Déduire de l'encadrement obtenu en 2b) queun−n∼_+∞e^−√n.