E tude asymptotique des suites .

M ath ematiques ´ - ECS1

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E tude asymptotique des suites .

Lyc´eeLaBruyere` 30avenue deParis 78000 Versailles

2016, Polycopié du cours de mathématiques de première année.c

18.1 Objectifs du chapitre.

Suite négligeable. Notationun=o(vn).

Reformulation du théorème des croissances compa- rées.

Suites équivalentes. Notationu_n∼v_n.

un∼vn⇐⇒un=vn+o(vn).

Compatibilité de l’équivalence avec le produit, le quotient et l’élévation à une puissance.

18.2 Relation de négligeabilité, équivalence.

Définition 1. Soient (un)n∈Net (vn)n∈Ndeux suites réelles. On dit que la suite (un)n∈N

est négligeable devant la suite (vn)n∈Ns’il existe N0 ∈Net une suite (εn)n≥N0 tels que limε_n=0 et pour toutn≥N0, un=ε_nvn.

On note alorsun=o(v_n).

En pratique, lorsque la suite (vn)n∈Nne s’annule pas, on utilise la caractérisation sui- vante

un=o(v_n) si et seulement si limu_n vn

=0.

En particulier,

u_n=o(1) si et seulement si limu_n =0.

Exemple 1.

1

n =o 1

√n

! , 1

n² =o 1 n

!

, lnn=o(n), e⁻ⁿ=o 1 n²

!

,n=o(n²),

Proposition 1. Soient(un)n∈N, (vn)n∈Net(wn)n∈Ndes suites réelles.

(1) Si u_n=o(w_n)et v_n=o(w_n)alors u_n+v_n=o(w_n) (2) Siλ∈Ret un=o(vn)alorsλu_n=o(vn)

Définition 2. Soient (u_n)_n∈Net (v_n)_n∈Ndeux suites réelles.

On dit que la suite (u_n)n∈Nest équivalente à la suite (v_n)n∈Nlorsqueu_n−v_n =o(v_n).

On note alorsu_n∼v_n.

2

18.2 Relation de négligeabilité, équivalence. ³

Dire que la suite (u_n) est équivalente à la suite (v_n)n∈Nsignifie donc qu’il existeN0∈N et une suite (εn)n≥N₀tels que limεn =0 et pour toutn≥N0, un=(1+εn)vn.

En pratique, lorsque la suite (vn)n∈Nne s’annule pas, on utilise la caractérisation sui- vante :

un∼vn⇐⇒limun

v_n =1.

Exemple 2.

2n+1∼2n, n²−lnn∼n², 1

√n+lnn ∼ 1

√n, bnc ∼n,

Dans certaines situations, il est très pratique d’employer un équivalent, pour obtenir la convergence d’une suite grâce à la propriété suivante :

Lorsqueλ,0, u_n ∼λ⇐⇒limu_n=λ

 Attention, cependant, au casλ=0 :

un∼0⇐⇒ la suite (un) est nulle à partir d’un certain rang.

Proposition 2. Soit(ε_n)une suite tendant vers0.

sinε_n ∼ε_n 1−cosεn ∼ 1

2ε²_n tanε_n ∼ε_n e^εn−1 ∼εn

ln(1+ε_n) ∼ε_n Arctanεn ∼εn

Exercice1. Soit (an)n∈Nune suite strictement positive telle quean→+∞. Montrer que 1+ 1

an

!a_n

→e.

Proposition 3. Soient(un)n∈Net(vn)n∈Ndeux suites réelles.

Si un∼vnalors vn∼un.

Proposition 4. Soient(u_n)n∈Net(v_n)n∈Ndeux suites réelles.

Si u_n∼v_net silimv_n=`alorslimu<sub>n</sub>=`.

Proposition 5 (Compatibilité de la relation d’équivalence avec le produit). Soient (u_n)_n∈N,(v_n)_n∈N, (x_n)_n∈N, (y_n)_n∈Ndes suites réelles.

Si un∼xnet si vn∼ynalors unvn ∼xnyn.

Proposition 6(Compatibilité de la relation d’équivalence avec le passage à l’inverse).

Soient(un)n∈Net(vn)n∈Ndeux suites réelles ne s’annulant pas.

Si un∼vnalors 1 u_n ∼ 1

v_n.

Exercice2. On considère la suite (u_n)_n≥1définie parun =ln(cos^a_n)

ln(cos^b_n).aveca∈Retb,0 Déterminer limun.

 La relation d’équivalence n’est pas compatible avec la somme en général.Par exemple, avecun=−n−1,vn=n,xn=−n,yn =n+1 on aun∼xnetvn∼ynmaisun+vn∼ −1 etx_n+y_n∼1 donc (u_n+v_n)_n∈Nn’est pas équivalente à (x_n+y_n)_n∈N

Exercice3. Déterminer un équivalent deun=1

n +sin 1

√n.

Proposition 7. Soient(u_n)n∈Net(v_n)n∈Ndeux suites réelles.

e^un∼e^vnsi et seulement si lim(un−vn)=0.

 Attention, le fait queun∼vnn’implique pas en général que e^un ∼e^vn.

Exercice4. Déterminer un équivalent pour chacune des suites suivantes : u_n=n(ⁿ

√

2−1), v_n=n−

√ n²−1

√n(n+1) , w_n= 1

√nln n+1 n−1

!

, x_n= 1−nsin 1 n²

!¹₃

yn=

n

X

k=0

sin(kα) oùα∈R, zn=(³

√

4n−lnn)(e¹ⁿ −cos1 n)

Exercice5. Déterminer un équivalent deun= 1+1 n

! ¹

1−cos 1n

18.3 Comparaison des suites de référence

Proposition 8. Soit(un)n∈Nune suite réelle ne s’annulant pas à partir d’un certain rang et telle queun+1

un

−→`avec|`|<1. Alorslimun=0.

18.4 Exercices. ⁵

Proposition 9. Comparaison des suites de référence.

(1) Pourα∈R,q>1on a n^α=o(qⁿ) (2) n!=o(nⁿ)

(3) Pour tout q∈R, qⁿ=o(n!)

(4) Pourα >0, β >0on a(lnn)^β=o(n^α)

18.4 Exercices.

Exercice6. Sivn=1+(−1)ⁿetun= 1

n a-t-onun=o(vn) ? Siun∼vna-t-onun−vn→0 ?

Exercice7. Comparer les suitesn7→nⁿ, n7→(lnn)ⁿ, n7→n^lnn, n7→(lnn)^lnn.

Exercice8. Déterminer un équivalent pour chacune des suites suivantes : (a) un= √

n²+n (b) u_n= √

n²+n−n (c) un=ln(n+√

n) (d) un= √

n+1+√ n (e) u_n= √

n+1−√ n

(f) un=nln(n+1)−(n+1) ln(n) (g) u_n =ln²(n)+nln(n)

(h) un =ln(n+eⁿ) (i) un=Pn

k=1k^α,( oùα >0) (j) u_n=Pn

k=1 1 k

Exercice9. Soitp∈N^∗et (un) la suite définie paru0=1 et pour toutn∈N^∗, un= ^p

r

u_n−1^p +1 n.

(1) Etudier le signe, la monotonie et la convergence de cette suite.

(2) Trouver un équivalent simple deunquandn→+∞.

(3) On posevn= 1

nu²_n. Etudier la convergence deX vn.

Exercice10.(a) Montrer que pour toutx≥0,

ln(1+x)−x+¹₂x² ≤ x³

3 (b) Soit (un)n≥1la suite définie par∀n≥1, un=

n

X

k=1

ln 1+ k n³

!

.Déterminer des réels a,b,c,dtels que

un=a n + b

n² + c n³ + d

n⁴ + o 1 n⁴

! .

Exercice11.Comportement asymptotique des solutions detanx=x.

(1) Montrer que pour toutn∈N^∗, l’équation tanx=xadmet une et une seule solution xndans l’intervalle

nπ,nπ+π 2

. (2) On pose pourn ∈ N^∗, un =nπ+ π

2 −xn. Déterminer un équivalent simple deun

quandntend vers+∞.

Exercice12. Soit la fonctionf définie sur ]−1,+∞[ parf(x)=ln(1+x)−x.

(1) Etudier f.

(2) Chercher un équivalent simple de f en 0.

(3) Soit (xn) une suite de réels telle que f(xn)=o(¹_n). Montrer quenx²_n−→0.

(4) Application. Soit (a_n) une suite de réels. Montrer quea_n =o(√ n) ssi

1+an

n n

∼ e^an.

Exercice13. Pour toutndeN^∗on considère l’équation (E_n) définie par : (E_n) xⁿ⁺²−2.xⁿ⁺¹+xⁿ+x³−(2+n)x²+x(1+2n)−n=0

(1) Montrer que 1 est solution de (E_n) et déterminer son ordre de multiplicité en fonc- tion den.

(2) Désormais on suppose quenest supérieur ou égal à trois. Montrer qu’il existe une solution et une seule de (E_n) dans l’intervalle ]1,+∞[. Dans la suite on note a_n cette solution.

(3) Montrer que la suite de terme général an converge et déterminer sa limite L(on pourra, par exemple, compareranet 1+ 1

√n, pournassez grand).

(4) Déterminer un équivalent simple dea_n−L, quandntend vers l’infini.

Exercice14. Soita∈R^∗₊. On définit la suite u_n

n≥0par récurrence surnen posant : u₀=aet pourn≥0,u_n+1=u_n+ n

un

a) Étudier cette suite.

b) Prouver que pour toutn≥0, on a :u²_n+1=a²+Pⁿ

k=1

k²

u²_k +n(n+1).

c) En déduire un équivalent deunlorsquentend vers l’infini.

Exercice15. Déterminer des réelsa,btels que Z 1

0

e^t

1+tⁿdt=a+b n+o 1

n

!

18.4 Exercices. ⁷

Exercice16. Soitnun entier naturel non nul et (En) l’équation : (En) 1+ln(x+n)=x (1) Montrer que (En) admet une unique solutionansurR⁺.

(2) Pournassez grand, comparer les trois nombresn,ln(n) etan. En déduire la nature de la suite (an).

(3) Déterminer une constanteCtelle que les suites (a_n) et (Cln(n)) soient équivalentes.

(4) Déterminer un équivalent simple de e^an.

(5) Montrer que la suite (an−Cln(n)) est convergente et déterminer sa limite`.

Exercice17. On définit une suite (u_n)n∈Nparu0≥0 et pour toutn∈N^∗, un= √

n+un−1

(1) Montrer que pour toutn∈N^∗, un≥ √ n (2) (a) Montrer que pour toutx∈R⁺, √

x≤ 1 2(1+x) (b) En déduire que pour toutn∈N, u_n ≤n+u0

2ⁿ (c) puis que limun−1

n² =0 (d) Montrer que limun

n =0 (e) En déduire un équivalent deun

Exercice18.Intégrales de Wallis.On poseIn =Z ^π₂

0

cosⁿ(x) dxsin ∈N. L’intégrale I_ns’appelle intégrale de Wallis de rangn.

(a) Montrer que (In)_nest positive décroissante.

(b) Montrer queI_n+2 =n+1

n+2I_net expliciterI_nen discutant suivant la parité den.

(c) Montrer queI_n∼I_n+1. Après avoir calculé (n+1)I_nI_n+1, montrer queI_n∼ r π

2n. (d) En déduire 1.3...(2n+1)

2.4...(2n) ∼2 rn

π.

18.5 Indications pour les exercices

Indication pour l’exercice1. Déterminer un équivalent de ln(un).

Indication pour l’exercice2. Chercher un équivalent de ln(xn) lorsque limxn=1.

Indication pour l’exercice3. Appliquer la définition des équivalents :un ∼ vn ssiun = vn+o(vn).

18.6 Correction des exercices ⁹

Indication pour l’exercice4. Equivalents classiques.

Indication pour l’exercice10. (a) Pourquoi pas étudier des fonctions après avoir ramené l’inégalité à un encadrement.

(b) Encadrerungrâce à (a) puis isoler les termes négligeables devant 1 n⁴.

Indication pour l’exercice11. (1) Il s’agit de montrer qu’une équation admet une unique solution. Appeler le théorème de la bijection à la rescousse.

(2) Commencer par montrer que limun=0 en étudiant tan(un).

18.6 Correction des exercices

Correction de l’exercice1. Posonsun= 1+ 1 an

!an

pour toutn. On a, pour toutn, ln(un)=anln 1+ 1

an

!

∼an× 1 an =1 donc lim ln(u_n)=1 d’où limu_n=e.

Correction de l’exercice2. Lorsquex_n→1, ln(x_n)∼x_n−1. Donc ln(cos^a_n)∼cos(^a_n)− 1∼ − a

2n² et de même, ln(cos^b_n)∼ − b 2n² donc un∼1

2 et limun= 1 2. Correction de l’exercice3. On a 1

n =o 1

√n

!

et sin 1

√n ∼ 1

√n donc sin 1

√n = 1

√n + o 1

√n

! .

Par suite,u_n= 1

√n +o 1

√n

!

etu_n∼sin 1

√n. Correction de l’exercice4.

un∼ln(2), vn∼, wn∼ 1

√ n

n+1 n−1−1

!

∼ 1

√ n × 2

n−1 ∼ 2 n√

n Pourxn: on axn =e^13ln

1−nsin ¹

n2

et ln

1−nsin_n¹2

∼nsin_n¹2 ∼n×1

n puisquensin_n¹2 →0.

On a donc lim¹₃ln

1−nsin_n¹2

=0 et par conséquent limxn=1 doncxn∼1.

Correction de l’exercice5. Pour tout n ∈ N^∗, un = e

ln(1+1 n)

1−cos( 1n). On a ln(1+ ¹_n) ∼ ¹

n et 1−cos(¹_n)∼ _2n¹₂ donc ln(1+¹_n)

1−cos(¹_n) ∼2net par conséquent ln(1+¹_n)

1−cos(¹_n) =2n+o(n) donc un

Correction de l’exercice8. (a) un∼n (b) un= √

n²+n−n (c) un=ln(n+√

n)=ln(n)+ln 1+ 1

√n

!

∼ln(n)

(d) un= √

n+1+√

n= 1

√

n+1−√

n = 1

√n q

1+¹_n −1

∼ 1

√n×_2n¹ ∼2√ n.

(e) un= √

n+1−√ n= √

n q

1+¹_n−1 1

2√ n

(f) un=nln(n+1)−(n+1) ln(n)=nln(1+¹_n)−ln(n)=1+o(1)−ln(n)∼ −ln(n).

(g) u_n=ln²(n)+nln(n)=nln(n) 1+ln(n) n

!

∼nln(n).

(h) un=ln(n+eⁿ)=n+ln(1+ne⁻ⁿ)=n+ne⁻ⁿ+o(ne⁻ⁿ)∼n (i) siα >0, un=

n

X

k=1

k^α∼n^α+1

(j) u_n=

n

X

k=1

1 k ∼ln(n)

Correction de l’exercice9. (1) Par récurrence, on montre ,pour tout n ∈ N^∗,un > 0.

Puis pour toutn∈N, u_n^p₊₁−u_n^p= 1

n+1 >0 doncu_n+1−u_n>0 par croissance stricte dex7→ x^psur ]0,+∞[.La suite est donc strictement croissante.

(2) Pour toutk∈N, u_k^p₊₁=u_k^p+ 1

k+1 donc par télescopage,u_n^p−u₀^p=

n−1

X

k=0

1 k+1 =

n

X

k=1

1 k d’oùun ∼(ln(n))^1p.

(3) On posev_n = 1

nu²_n pour toutn ∈ N^∗. D’après l’équivalent ci-dessus,v_n ∼ 1 nln(n)^2p

et d’après le critère de comparaison des séries à termes positifs, la sérieX

n≥2

v_n est de même nature que la sérieX

n≥2

1 nln(n)^2p

.

Correction de l’exercice10. (a) Soit un réelx≥0. L’inégalité

ln(1+x)−x+¹₂x² ≤ x³ est équivalente à l’encadrement 3

−x³

3 ≤ln(1+x)−x+1 2x²≤ x³

3.

Il suffit d’étudier par exemple les variations surR⁺des fonctions f :t7→ ln(1+t)− t+ ¹₂t²− t³

3 etg : t 7→ ln(1+t)−t+¹₂t²+t³

3 pour obtenir leur signe surR⁺. Par opérations sur les fonctions dérivables,

f⁰(t)= 1

1+t −1+t−t²= 1

1+t −(1−t+t²)= 1

1+t −1+t³ 1+t = −t³

1+t ≤0 donc f décroit surR⁺avec f(0)=0 ce qui implique que f est négative. Même étude pourg.

(b) Soit (un)n≥1la suite définie par :∀n≥1, un=

n

X

k=1

ln 1+ k n³

!

.On a, d’après (a),

−

n

X

k=1

_k

n³

3

3 ≤

n

X

k=1

ln 1+ k n³

!

−

n

X

k=1

k n³ +1

2

n

X

k=1

k n³

!2

≤

n

X

k=1

_k

n³

3

3 donc

n+1

2n² +(n+1)(2n+1)

12n⁵ −(n+1)²

12n⁷ ≤u_n≤ n+1

2n² +(n+1)(2n+1)

12n⁵ +(n+1)² 12n⁷

18.6 Correction des exercices ¹¹

soit encore 1

2n+ 1 2n²+ 1

6n³+ 1 4n⁴+ 1

12n⁵−(n+1)²

12n⁷ ≤un≤ 1 2n+ 1

2n²+ 1 6n³+ 1

4n⁴+ 1

12n⁵+(n+1)² 12n⁷ et(n+1)²

12n⁷ =o 1 n⁴

!

donc limn⁴ un− 1 2n+ 1

2n² + 1 6n³ + 1

4n⁴ + 1 12n⁵

!

=0 ce qui se reformule

un= 1 2n+ 1

2n² + 1 6n³ + 1

4n⁴ + 1

12n⁵ + o 1 n⁴

! .

Correction de l’exercice11. (1) Soitn∈N^∗et f la fonctionx7→ x7→tan(x)−x. Sur l’intervalle

nπ,nπ+π 2

, la fonction f est dérivable de dérivéex7→ f⁰(x)=tan²(x) positive mais ne s’annulant qu’en nπdonc f est strictement croissante et continue sur

nπ,nπ+π 2

. Par ailleurs f(nπ) =−nπ <0 et lim

x→nπ+^π₂ x<nπ+^π2

f(x)= +∞donc 0 est une valeur intermédiaire pour f qui admet donc un unique antécédent par le théorème de la bijection.

(2) D’abord, puisquenπ≤ x_n <nπ+ π

2 donc x_n ∼nπ. On pose pourn ∈N^∗, u_n =nπ+ π

2 −xn. On a donc 0<un< π

2 et tan(un)=tan π

2 −xn

= 1 tan(xn) = 1

xn

∼ 1 nπ. Donc lim tan(un)=0. Mais puisqueun∈]0,^π₂[,on aun =arctan(tan(un)) donc limun=0 et par suiteu_n∼tan(u_n)∼ 1

nπ.

Correction de l’exercice12. Soit la fonction f définie sur ]−1,+∞[ par f(x)=ln(1+ x)−x.

(1) La fonction f est décroissante sur ]−1,+∞[ et f(0) =0 donc f est négative ou nulle sur [0,+∞[ et positive sur ]0,1[.

(2) Un équivalent simple de f au voisinage de 0 est : f(x)∼

(0)

−x² 2.

(3) Soit (x_n) une suite de réels telle que f(x_n) = o(¹_n). On a donc−x²_n

2 = o(¹_n) et par conséquent limnx²_n=0.

(4) Soit (an) une suite de réels. Supposonsan=o(√ n).

Alorsa_n

n =o 1

√n

!

donc lima_n

n =0 et ln

1+a_n n

−a_n n ∼ − a²_n

2n² doncnln

1+a_n n

− a_n∼ −a²_n

2n Réciproquement,

Correction de l’exercice15. S’il existe, le réelaesta=lim Z 1

0

e^t

1+tⁿdt. Montrons que cette limite esta=Z 1

0

e^tdt=e−1. On étudie donc la différence Z 1

0

e^t 1+tⁿdt−

Z 1 0

e^tdt= Z 1

0

−tⁿe^t

1+tⁿdtdans l’espoir qu’elle tende vers 0. Pour toutn∈N,

Z 1 0

−tⁿe^t 1+tⁿdt

≤

Z 1 0

tⁿe^tdt≤ Z 1

0

tⁿe¹dt= e n+1 d’où le résultat.

Le réelb, s’il existe, est alorsb=limn Z 1

0

−tⁿe^t 1+tⁿdt

!

. Pour tout entier natureln∈N^∗, n

Z 1 0

tⁿe^t 1+tⁿdt

!

=Z 1 0

ntⁿ⁻¹ 1+tⁿte^tdt