Étude asymptotique des suites

Étude asymptotique des suites

Cours de É. Bouchet ECS1 11 mars 2019

Table des matières

1 Suites équivalentes 2

1.1 Dénition . . . 2

1.2 Propriétés des suites équivalentes . . . 2

1.3 Équivalents usuels . . . 4

2 Suites négligeables 6 2.1 Dénition . . . 6

2.2 Relation entre équivalence et négligeabilité . . . 6

2.3 Propriétés . . . 7

2.4 Exemples de référence . . . 8

1 Suites équivalentes

1.1 Dénition

Soientu etvdeux suites. On dit queu etvsont équivalentes lorsqu'il existe une suiteϕet un entier n₀ tels que∀n>n0,un=vnϕn et que lim

n→∞ϕn= 1. On note alorsun∼vn. Dénition (Suites équivalentes).

Soit uetv deux suites. Si v ne s'annule pas à partir d'un certain rang, alors u etvsont équivalentes ⇐⇒ lim

n→∞

u_n vn

= 1.

Proposition.

Démonstration. (démonstration à connaître) Par hypothèse, il existe un entiern1 tel que ∀n>n1,vn6= 0.

Si u est équivalente à v, il existe un entiern₀ et une suite ϕ qui converge vers 1 tels que pour tout n > n₀, u_n=v_nϕ_n. Donc pourn>max(n₀, n₁), on obtient ^u_vⁿ_n =ϕ_n, ce qui donne :

n→∞lim u_n vn

= lim

n→∞ϕ_n= 1.

Réciproquement, si lim

n→∞

un

v_n = 1, on pose pour n>n1 :ϕn= ^u_vⁿ

n. Par construction,∀n>n1,un=vnϕn, et

n→∞lim ϕ_n= lim

n→∞

u_n vn

= 1.

Donc uetv sont équivalentes.

Exemple 1. Donner un équivalent des suites de terme général 2n²−n+ 6

3n³−1 et (1−n)(n+ 6) (n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3). 2n²−n+ 6

3n³−1 ∼ 2

3n. En eet,

n→∞lim

2n²−n+ 6 3n³−1 ×3n

2

= 1.

(1−n)(n+ 6)

(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) ∼ − 1

2n. En eet,

n→∞lim

(1−n)(n+ 6)

(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3)(−2n) = 1.

1.2 Propriétés des suites équivalentes

Soit u,v etwtrois suites. Si un∼vn etvn∼wn alorsun∼wn. Proposition (Transitivité des équivalents).

Démonstration. On suppose que u_n ∼ v_n et v_n ∼ w_n. Il existe alors deux suites ϕ et ψ qui convergent vers 1 et un entiern₀ tel que∀n>n₀,u_n=v_nϕ_n etv_n=w_nψ_n. Alors∀n>n₀,

u_n= (ϕ_nψ_n)w_n, et(ϕnψn) converge vers1 par produit. Doncun∼wn.

Soit uetv deux suites.

Siu converge vers un réel`∈R<sup>∗</sup>, alors un∼`.

Siun∼vnet si v converge, alorsuconverge également et lim

n→+∞un= lim

n→+∞vn. Proposition (Équivalents et limites).

Démonstration.

Siu converge vers`6= 0, alors (<sup>u</sup><sub>`</sub>ⁿ) converge vers1et donc u_n∼`.

Siu_n∼v_n, alors existe une suiteϕqui converge vers1et un entiern₀tels que∀n>n₀,u_n=v_nϕ_n. On suppose que v converge vers un réel`. Alors par limite d'un produit, uconverge et lim

n→+∞un=`×1 =`.

Soit uetv deux suites.

un∼0⇐⇒un= 0 à partir d'un certain rang.

Siu_n∼v_net si v s'annule, alorsu s'annule aussi.

Siu_n∼v_net si v est de signe constant, alorsu l'est également et est de même signe quev. Proposition (Équivalents et signe de la suite).

Démonstration. Siun∼vn, il existe une suiteϕqui converge vers 1etn0∈Ntels que∀n>n0,un=ϕnvn. Avec ces notations,

Si u_n ∼0 (cas v_n= 0), alors ∀n>n₀,u_n =ϕ_n×0 = 0. Réciproquement, s'il existe n₀ ∈Ntel que ∀n>n₀, un= 0, alors ∀n>n0,un= 1×0. Commelimn→+∞1 = 1, alors un∼0.

Siv s'annule au rang n1>n0, alors

u_n1 =ϕ_n1v_n1 =ϕ_n10 = 0.

On suppose que v est de signe constant. La suite ϕ converge vers 1, donc est à termes positifs à partir d'un certain rang n1. Donc∀n>max(n0, n1),un=vnϕnest du signe de vn.

Soit u,v,w ettquatre suites. Siu_n∼v_n etw_n∼t_n, alors u_nw_n∼v_nt_n. Si de plusw ne s'annule pas, alors u_n

w_n ∼ v_n t_n. Proposition (Produit et quotient d'équivalents).

Remarque. Il est inutile de vérier quetne s'annule pas pour appliquer le résultat : si wne s'annule pas, alors tne s'annule pas non plus.

Soit uetv deux suites, et α un réel. Siun∼vn et siu^α_n est bien déni, alorsu^α_n∼v_n^α. Proposition (Équivalents et passage à la puissance).

Remarque. Ce résultat est en particulier vrai pour toutes les suites si α ∈N, pour toutes les suites ne s'annulant pas siα∈Z\Net pour toutes les suites strictement positives si α∈R.

Démonstration. Les deux derniers résultats se démontrent simplement en revenant à la dénition des équivalents.

Remarque. ATTENTION ! Toute autre opération sur les équivalents est interdite, notamment la composition à gauche et la somme.

1.3 Équivalents usuels

Soit uune suite convergeant vers 0 etα un réel non nul xé. Alors :

ln(1 +un)∼un, e^un−1∼un, (1 +un)^α−1∼αun, sinun∼un, cos(un)−1∼ −u²_n 2 . Proposition (Équivalents usuels).

Démonstration. (démonstration à connaître) Les résultats découlent de la dérivabilité des fonctions considérées, et de la valeur du taux d'accroissement en0 (sauf dans le cas du cosinus). On eectue ici la démonstration dans le cas où une s'annule pas à partir d'un certain rang, le cas général sera traité plus tard dans l'année.

Par exemple : sif(x) = ln(1 +x), alors f est dérivable sur]−1,+∞[et :

x→0lim

ln(1 +x) x = lim

x→0

ln(1 +x)−ln(1 + 0)

x−0 =f⁰(0) = 1

1 + 0 = 1.

Comme u converge vers0, on trouve par composition de limites :

n→∞lim

ln(1 +un) un

= 1,

ce qui montreln(un+ 1)∼un.

Pour l'équivalent du cosinus, on commence par utiliser la formule de duplication cos(u_n)−1 = −2 sin ^u₂ⁿ2

et comme ^u₂ⁿ converge vers 0, on peut appliquer l'équivalent du sinus : sin ^u₂ⁿ ,

∼ ^u₂ⁿ. Par passage au carré (autorisé car c'est une puissance) et produit par un scalaire,

cos(u_n)−1 =−2 sinu_n 2

2

∼ −2u_n 2

2

∼ −u²_n 2 .

Exemple 2. Calculer la limite de la suite dénie sur N^∗ par u_n = 1 +_n¹n

(que l'on n'avait pas su étudier dans le chapitre sur les suites).

On ne peut pas utiliser(1 +un)^α−1∼αuncarαne peut pas dépendre den. On passe alors sous forme exponentielle :

∀n>1,

1 + 1n

= exp

nln

1 + 1 .

On est donc ramenés à étudier la limite de nln(1 + _n¹). Comme _n¹ converge vers 0, ln 1 +_n¹

∼ _n¹ et on trouve par produit avecn:

nln

1 + 1 n

∼n1 n = 1.

Donc lim

n→+∞nln

1 + 1 n

= 1 et par composition de limite avec l'exponentielle (continue en1), lim

n→+∞u_n=e¹=e. Exemple 3. Calculer la limite de la suite dénie pourn>3parun=

1− 2

n

3n

. Comme pour l'exemple précédent, on passe sous forme exponentielle :

∀n>3,

1− 2 n

3n

= exp

3nln

1− 2 n

.

On est donc ramenés à étudier la limite de3nln(1− ²_n). Comme −²_n converge vers0 et par produit d'équivalents : 3nln

1− 2

n

∼3n

−2

n

=−6.

Donc lim

n→+∞3nln

1− 2 n

=−6 et par composition de limite avec l'exponentielle (continue en−6), lim

n→+∞un=e⁻⁶.

Soit k∈N. Alors

n

k

∼ n^k k!.

Proposition (Équivalent des coecients binomiaux).

Remarque. Attention, cette relation est vraie pour un entierkxé, donc kne peut pas dépendre den. Démonstration. On écrit :

∀n>k,

n

k

= 1

k!n(n−1)(n−2). . .(n−k+ 1).

Orn∼n−1, n∼n−2, . . .,n∼n−k+ 1. Donc par produit d'équivalents, n(n−1)(n−2). . .(n−k+ 1)∼n^k. Il sut alors de diviser park!pour obtenir le résultat annoncé.

Exemple 4. Soitp∈]0,1[. Soit(X_n)n∈N^∗ une suite de variables aléatoires réelles, avec ∀n∈N^∗,X_n,→ B n,^p_n . Soit k∈N, calculer lim

n→+∞P(Xn=k).

∀n>k, P(Xn=k) =

n

k

p

n

k

1− p n

n−k

∼ n^k k!

p^k n^k

1−p

n

n−k

= p^k k!exp

(n−k) ln

1− p n

. Or _n^p converge vers0, donc(n−k) ln 1−_n^p

∼(n−k) −^p_n

∼ −p. Donc lim

n→+∞(n−k) ln 1− p

n

=−p et on trouve en composant par l'exponentielle (continue en−p) puis par produit :

n→+∞lim P(X_n=k) = p^ke^−p k! .

2 Suites négligeables

2.1 Dénition

Soient u etv deux suites. On dit que u est négligeable devantv lorsqu'il existe une suiteε et un entier n0 tels que∀n>n0,un=vnεn et que lim

n→∞εn= 0. On note alorsun=o(vn).

Dénition (Suites négligeables).

Remarque. On prononce "u_n est un petit o dev_n".

Soit uetv deux suites. On suppose que v ne s'annule pas à partir d'un certain rang. Alors :

u est négligeable devantv⇐⇒ lim

n→∞

un

vn

= 0.

Proposition.

Démonstration. Par hypothèse, il existe un entier n₁ tel que ∀n>n₁,v_n6= 0.

Siuest négligeable devantv, il existe un entiern0 et une suiteεqui converge vers0tels que pour toutn>n0, u_n=v_nε_n. Donc pour n>max(n₀, n₁), on obtient ^u_vⁿ_n =ε_n, ce qui donne :

n→∞lim u_n

v_n = lim

n→∞ε_n= 0.

Réciproquement, silimn→∞un

vn = 0, on pose pour n>n₁ :ε_n= ^u_vⁿ

n. Par construction,∀n>n₁,u_n=v_nε_n, et

n→∞lim ε_n= lim

n→∞

u_n vn

= 0.

Donc uest négligeable devantv.

2.2 Relation entre équivalence et négligeabilité Soit uetv deux suites. Alors u_n∼v_n⇐⇒u_n−v_n=o(v_n).

Proposition.

Démonstration. (démonstration à connaître)

Supposons que un ∼ vn. Alors il existe une suite ϕ qui converge vers 1 et un entier n0 tels que ∀n > n0, u_n=v_nϕ_n. Et donc∀n>n₀,

u_n−v_n=v_n(ϕ_n−1), où (ϕn−1)converge vers0. D'où la négligeabilité.

Supposons queu_n−v_n=o(v_n). Alors il existe une suite εqui converge vers0et un entiern₀ tels que∀n>n₀, u_n−v_n=ε_nv_n. Et donc ∀n>n₀,

un=vn(1 +εn), où converge vers . D'où l'équivalence.

2.3 Propriétés

Soit u,v etwtrois suites et λun réel. Alors :

Siu_n=o(w_n) etv_n=o(w_n)alorsλu_n+v_n=o(w_n). Siu_n=o(w_n) alorsu_nv_n=o(w_nv_n).

Proposition (Somme et produit de suites négligeables).

Démonstration.

On suppose queun=o(wn)etvn=o(wn). Il existe donc deux suitesϕetψconvergeant vers0et un entier n0

tels que ∀n>n₀,u_n=ϕ_nw_n etv_n=ψ_nw_n. On a donc ∀n>n₀, λun+vn= (λϕn+ψn)wn, avec λϕ+ψ qui converge vers 0. Doncλun+vn=o(wn).

On suppose que u_n =o(w_n). Il existe donc une suite ϕ convergeant vers 0 et un entier n₀ tels que ∀n >n₀, u_n=ϕ_nw_n. D'où ∀n>n₀,

unvn=ϕnwnvn, avec ϕqui converge toujours vers 0. Doncunvn=o(wnvn).

Soit uetv deux suites et α >0. Siu_n=o(v_n) et siu^α_n etv^α_n sont bien dénis, alors u^α_n =o(v_n^α). Proposition (Suites négligeables et passage à la puissance).

Remarque. Ce résultat est en particulier vrai pour toutes les suites siα ∈ N^∗ et pour toutes les suites strictement positives siα∈R^∗₊.

Soit u,v etwtrois suites. Si un=o(vn) et sivn∼wn, alors un=o(wn).

Proposition (Suites négligeables et équivalents).

Soit u,v etwtrois suites. Si un=o(vn) et sivn=o(wn), alors un=o(wn). Proposition (Transitivité des suites négligeables).

Soit uune suite. Si u_n=o(1) alors lim

n→+∞u_n= 0. Proposition (Suite négligeable devant 1).

Démonstration. Tous ces résultats se démontrent simplement en revenant à la dénition de la négligeabilité.

Exemple 5. Soit(u_n) une suite qui vérie :

u_n=−2 + 3 n+ 4

nlnn +o

1

n²

. Déterminer les limites de(u_n),((u_n+ 2)n) et u_n+ 2−_n³

n² . On sait queo _n¹2

converge vers0, donc par somme de limitesu converge vers−2. De même, (un+ 2)n= 3 + 4

lnn +o

1

n

→3.

Et par croissances comparées :

un+ 2− 3 n

n² = 4n

lnn +o(1)→+∞.

Exemple 6. On suppose queu_n= 2 +_n¹ +o _n¹2

+o(1). Simplier au maximum cette expression.

On commence par gérer les petits o : ⁿ¹²

1 converge vers0, donc _n¹2 =o(1)etu_n= 2 +_n¹ +o(1). On remarque ensuite que ¹_n =o(1), donc u_n= 2 +o(1).

2.4 Exemples de référence

On a :

n^α =o(n^β) lorsque α < β,

(lnn)^β =o(n^α) lorsque α >0 etβ >0, n^α =o(aⁿ) lorsque α >0 eta >1,

aⁿ =o(bⁿ) lorsque |a|<|b|, aⁿ =o(n!) lorsque a∈R.

Proposition.

De manière générale, on peut se servir de toutes les croissances comparées pour l'étude asymptotique d'une suite. On les rappelle ci-dessous (dans un produit, le comportement de la colonne de plus faible numéro l'emporte) :

1 2 3 4

n→+∞lim n! = +∞ q >1, lim

n→+∞qⁿ= +∞ a >0, lim

n→+∞n^a= +∞ b >0, lim

n→+∞(lnn)^b = +∞

0< q <1, lim

n→+∞

1

qⁿ = +∞

n→+∞lim 1

n! = 0 |q|>1, lim

n→+∞

1

qⁿ = 0 a <0, lim

n→+∞n^a= 0 b <0, lim

n→+∞(lnn)^b = 0

|q|<1, lim

n→+∞qⁿ= 0

Le corollaire suivant est en particulier très utile :

Pour tout réel α >0 et pour tout réelq ∈]−1,1[,qⁿ=o _n¹α

. Corollaire.

Démonstration. lim qⁿ

= lim qⁿn^α= 0 par croissances comparées, d'où le résultat.