() () () LES FONCTIONS SINUS ET COSINUS.

LES FONCTIONS SINUS ET COSINUS.

Pour bien comprendre ce chapitre, vous devez connaître la partie Trigonométrie du document : "A retenir de l

année de 1èreS".

I. Fonctions sinus et cosinus.

Soit M un point du cercle trigonométrique associée au réel t La fonction qui à tout réel x associe l’abscisse de M dans le repère

( ^{O; Å i ; Å j} ) est la fonction cosinus. Elle est définie sur Ë par f (x)=cos( x) La fonction qui à tout réel x associe l’ordonnée de M dans le repère

( ^{O; Å i ; Å j} ) est la fonction sinus. Elle est définie sur Ë par f (x )=sin(x)

II. Propriétés des fonctions sinus et cosinus.

Pour tout réel x, cos(-x )=... On dit que la fonction cosinus est ...

Interprétation graphique : .

Pour tout réel x, sin(- x)=... .On dit que la fonction sinus est ...

Interprétation graphique

Pour tout réel x, cos( x +2π)=... et sin( x+2π )=... On dit que les fonctions sinus et cosinus sont ...

Interprétation graphique :

Dans un repère ( O; Å i ; Å j ) , les courbes des fonctions sinus et cosinus sont invariantes par la translation de vecteur 2π Å i .

Remarque : les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2kπ, pour tout entier k.

Conséquence : on étudie les fonctions sinus et cosinus sur l ’intervalle [0 ; 2π] puis on trace la courbe par translation de vecteur 2π Å i .

III. Etude des fonctions sinus et cosinus.

Théorème (admis) :

La fonction cosinus est dérivable sur Ë et, pour tout réel x, ...

La fonction sinus est dérivable sur Ë et, pour tout réel x, ...

Variations sur ]­ π ; π] :

x -π π x -

cos

(x) sin

(x)

cos(x) sin(x)

1 On peut alors représenter graphiquement les fonctions :

 On trace la courbe sur [0 ; π]

 On trace la courbe sur [­ π ; 0] par symétrie (par rapport à l

’axe des ordonnées pour a fonction cosinus et par rapport à l’origine pour la fonction sinus.

 On trace la courbe sur Ë par translations de vecteurs 2π

Å i .

Représentation graphique de la fonction cosinus :

Représentation graphique de la fonction sinus : Ces courbes sont des ...

Remarque : pour tout réel x, on a cos







x

2

= ... donc la courbe de la fonction sinus est l’image de la courbe de la fonction cosinus par la translation de vecteur

2 Å i . IV. Compléments sur les dérivées.

Théorème (admis) : Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors les fonctions sin( u ) et cos(u ) sont dérivables sur I et on a :... ... ... ... ...

Conséquence : Pour tous réels a et b :

La fonction x→cos( ax +b ) est dérivable sur Ë de dérivée x

a x+b ) La fonction x→sin( ax +b ) est dérivable sur Ë de dérivée x

cosax +b )

Exemples : soient f et g les fonctions définies sur Ë par f( x)=cos(2x

(x )=sin(-3x +5).

Déterminer f

x) et g

).

Théorème :

Démonstration (à retenir) :

V. Equations trigonométriques.

Exemple 1 :

1. Résoudre dans Ë l’équation co s( x) =­ 2 2 . 2. Résoudre dans [0 ; 2π[ l’équation précédente.

Exemple 2 :

1. Résoudre dans Ë l’équation 2sin²(2 x)

x)=2.

2. Résoudre dans ]­ π ; π] l’équation précédente.

VI. Inéquations trigonométriques.

Résoudre dans [0 ; 2π[ l’inéquation cos







3 x­

6

< ­ 3

2