Asymptotique des nombres de Betti des variétés arithmétiques

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Preprint submitted on 25 Jun 2008

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arithmétiques

Mathieu Cossutta

To cite this version:

Mathieu Cossutta. Asymptotique des nombres de Betti des variétés arithmétiques. 2008. �hal-

00290583�

par

Mathieu Cossutta

Résumé. NousétudionslaquestiondelaroissanedesnombresdeBettideertaines

variétés arithmétiquesdansdes revêtementsdeongruene.Pluspréisementnos résultats

portentsurlesvariétésdeSiegeletlesvariétésassoiéesàdesgroupesorthogonaux.Noux

expliquons omment un théorème de Waldspurger permet de majorer et de minorer es

nombres.LesrésultatsobtenusvontdanslesensdeonjeturesdeSarnaketXue[SX℄.

Abstrat. WestudythequestionofthegrowthofBettinumbersofertainarithmeti

varietiesintowerofongrueneoverings.Infat,ourresultsareaboutSiegelvarietiesand

varietiesassoiatedtoorthogonalgroups.WeexplainhowatheoremofWaldspurgeranbe

usedtoobtainlowerandupperbound.Ourresultsareinthediretionofonjeturesmade

bySarnakandXue[SX℄.

0. Introdution

Soit

G

^{0 un groupe algébriqueonnexe} semi-simple sur

Q

^{. Soitégalement}

K

∞

⊂ G

⁰

(R)

un ompat maximal,

X = G

⁰

(R)/K

∞ ^{est un espae} symétrique. Soit

Γ

^un sous-groupe arithmétique de

G

⁰

(Q)

^{. On onstruit ainsi une variété} arithmétique

S(Γ) = Γ\X

^{. Soit}

Γ(n)

^{la suite des} sous-groupes de ongruene de

Γ

^{, nous sommes intéressés par le om-}

portement asymptotique desnombres de Betti

L

^{2 des variétés}

S(Γ(n))

^{.Plus préisement}

nousherhonsdesnombres

α

_i ^et

β

_i ^{tels quepour tout}

ǫ > 0

^:

vol

(S(Γ(n)))

^αi−ǫ

≪

ǫ

dim H

ⁱ

(S(Γ(n)), C) ≪

ǫ^vol

(S(Γ(n)))

^βi+ǫ

(1)

la notation

A

_n

≪

_ǫ

B

_n ^{veut dire qu'il existe une onstante}

C > 0

^{ne dépendant que de}

ǫ

telle que

A

_n

≤ CB

_n ^{pour tout}

n

^{. Préisons les groupes que nous allons étudier. Soit}

F

un orps de nombres totalement réel. Soit

(E, •)

^{une extension de orps de}

F

^{ave une}

involutionde l'un destypessuivants:

E =

F

^{as 1}

une extension quadratique de

F

^{as 2,}

• =

id as 1

l'involution deGalois de

E

^{as 2.}

Soit

η ∈ {−1, 1}

^{. Soit}

V

^un

E

^{-espae vetoriel de dimension nie muni d'une forme}

sesquilinéaire

(, ) η

-hermitienne. Nous faisons l'hypothèse suivante, dans le as

(1)

^nous

supposeronsqueladimension de

V

^estpairesi

η = 1

^.Soit

G = U (V )

^(resp.

G

⁰

= SU (V )

⁾

le groupe des isométries de

V

^{(resp. de} déterminant

1

^{), on peut voir es groupes omme}

étantdénissur

Q

^{parréstritiondessalaires.Onsedonne}

L

^{unréseauentiermaximalde}

V

^{.Alors pour tout idéal}

c

^de

E

^le sous-groupe de ongruene

Γ(c)

^{est bien déni.Fixons}

un tel idéal

c

^et

P

^{un idéal premier inerte et non ramié. Notre résultat prinipal est le}

théorème 2.16. Par exemple, laohomologie holomorphe fortement primitive des variétés

de Siegelde rang

n

^{n'apparaît qu'enles degrés}

p(2n − p)

^ave

p ≤ n

^{,onobtient alors :}

Théorème 0.1. Si

p <

ⁿ⁻¹₂ ^:

(2) vol

(S(Γ(cP

^k

)))

p n+ 12

(1−_2n¹ )−ǫ

≪

_ǫ

dim H

₂^p(2n−p),0

(S(Γ(cP

^k

), C) ≪

ǫ

vol

(S(Γ(cP

^k

)))

p n+ 12

(1+^p−_n¹²)+ǫ

La formule deMatsushima montre que:

(3)

H

ⁱ

(Γ(cP

^k

)\X) = ⊕

_A

m

A, Γ(cP

^k

)

H

ⁱ

(

^Lie

(G

⁰

), K

_∞

, A)

où

A

^déritles représentations unitaires de

G

⁰

(R)

^et

m(A, Γ(cP

^k

))

^{est la multipliité de}

A

^dans

L

²

(Γ(cP

^k

\G

⁰

)

^.Lesreprésentations vériant

H

^∗

(

^Lie

(G

⁰

), K

_∞

, A) 6= 0

sontappeléeslesreprésentationsohomologiques,ellesontétédéterminéesdans[VZ ℄.Ces

représentations sont onstruites à partir d'unealgèbre parabolique

θ

^-stable

q

^{de Lie}

(G

⁰

)

^.

Onnote

A

q^lareprésentation assoiéeà unealgèbre

q

^.Onnote

R(q)

^{lepluspetitdegrétel}

que

H

ⁱ

(

^Lie

(G

⁰

), K

_∞

, A

_q

)

^{estnon nul,on a:}

dim H

^R(q)

(

^Lie

(G

⁰

), K

∞

, A) = 1.

Soit

p(q)

^{la limite inférieure sur les réels}

p ≥ 2

^{tels que les oeients}

K

∞^{-nis de}

A

q

soient dans

L

^p

(G

⁰

)

^.Posons

d(q) =

_p(q)^{2 .Dans[SX℄ lesauteurs onjeturent quepour tout}

ǫ > 0

^:

(4)

m

A

_q

, Γ(cP

^k

)

≪

_ǫ

[Γ : Γ(cP

^k

)]

^d(q)+ǫ

généralisantainsisousformeonjeturalelethéorèmede[DGW℄.Laformule(3)ombinée

à ette onjeture donne don une prédition sur le nombre

β

_i ^{souhaité dans la formule}

(1). Donnons troisexemplessupposons quelapartie nonompate de

G

⁰

(R)

^{soit :}

SU (p, q)

^ave

p > q

^{, alors pour la ohomologie holomorphe de degré}

q

^{, on trouve}

β

_q

=

_p+q−1^{1 .}

SO(n, 1)

^{,alors pour le}

i

^{ièmenombrede Betti, on trouve}

β

_i

=

_n−1^{2i .}

Sp

2n^{alorspourlaohomologieholomorphe}

L

^2dedegré

p(2n−p)

^,ontrouve

β

_p(2n−p)

=

p n

.

Signalons que dans [Li4 ℄, l'auteur donne des formules exates dans le as

p = 2

^{. On}

remarquequelestermesd'erreurparrapportàl'exposant

p

2n−1 ^{danslaformule(2)tendent}

vers zeroquand

n ≫ p

^{.En général, on donne seulement une majoration de la partie}

θ

^de

laohomologie.Nousallonsmaintenant dénirette partie etexpliquerleshémade notre

preuve. Notre méthode est adélique, dans une première partie nous rappelons quelques

faits lesvariétésarithmétiques danse adre.Soit

K

_f ^un sous-groupe ompat ouvertdes adèles nies de

G

^{.Onintroduitlavariété}arithmétique:

S(K

_f

) = G(Q)\G(A)/(K × K

_f

).

La formule deMatsushima adélique (on supposeque

K

_f

= Q

v∤∞

K

_v^{) estlasuivante:}

dim H

_q^R

(S(K

_f

), C) = ⊕

_A=⊗Av

Y

v∤∞

dim A

^K_v^v

.

La somme portant sur les représentations automorphes

A ⊂ L

²

(G(F )\G(A))

^{de om-}

posante arhimédienne

A

q^{. Dans [Li1 ℄ l'auteur assoie à toute algèbre}

θ

^-stable

q

^dont

le Levi n'a qu'un seul fateur non ompat, un ouple

(W

_q

, π

_q

)

^{formé d'un espae}

−η

^-

hermitien

W

_q^sur

E ⊗

_F

R

^{etd'unesériedisrètede}

U (W

_q

)

^{.Leouplevériantlapropriété}

suivante :

Θ

_χ

(π

_q

) = A

_q

Θ

χ ^{désigne la} orrespondane theta entre la paire de groupes

U (W ) × U (V )

^{. Soit}

W

^un

espae hermitiendénisur

E

^{de signature}

W

q^{alors on peutdénir :}

H

_q,W^R

(S(K

_f

), C) = ⊕

_π,α

dim(α ⊗ Θ(π

_f

))

^Kf

H

_θ^R

(S(K

_f

), C) = ⊕

W,α

⊕

π

dim(α ⊗ Θ(π

_f

))

^Kf

(5)

La sommeétantindéxéepar lesreprésentationsautomorphesuspidales de

U (W )

^{de type}

π

_q ^{à l'inni etles aratères} automorphes

α

^de

U (1)

^{de omposante}arhimédienne nulle.

Nousexpliquonsesformules danslapartie2 et4.Danslapartie7on démontrequepour

la suite

K(cP

^k

)

^{, les espaes}

W

apparaissant dans la somme (5) sont en nombre nis. Il sut don desavoirbornerpourtoute plaenie

v

^de

F

^:

dim Θ(π

_v

)

^Kv

.

Les parties3 et 5sont onsarées à ladémonstration desthéorèmes 2.10et2.14. Il s'agit

de démontrer quesi

P|p

^{est inerteetimpaire :}

(6)

dim π

^K(P_p ^k)

N P

^k2(n−2m)

≤ dim Θ(π

_p

)

^K(Pk)

≤ dim π

_p^K(Pk+1)

N P

^{k+12 nm}

où

n = dim V

^et

m = dim W

^{. La preuve de la majoration est basée sur des résultats de}

Waldspurger([Wald1 ℄et[Wald2℄).Lapreuvedelaminorationsuruneversionloaledela

formuleduproduitsalairede Rallis.Lapartie 8démontreunemajorationpourlesplaes

divisant

2

^.Globalement ononlut en faisantle produit surlesplaes nies desinégalités (6)etenutilisant lethéorèmede [Clo℄surlamultipliitédesséries disrètesdanslespe-

tre uspidal. Ces résultats peuvent se généraliser à de nombreuses autres représentations

ohomologiques. Nousespérons pouvoiryrevenirpar lasuite.

Mes plus sinères remeriements vont à mon direteur de thèse Niolas Bergeron. Ces

m'avoir expliqué ave beauoup de gentillesse lapreuve de la partie 8. Enn je voudrais

remerier BenjaminShraenpourde nombreusesreletures.

1. Variété arithmétique.

1.1. Dénition. Soit

F

^{unorpsdenombretotalementréel.Onnote}

F

∞

= F ⊗

Q

R ≃ R

^{[F:Q]. On note}

P

^{l'ensemble des plaes de}

F

^{et pour}

v ∈ P

^,

F

_v ^{laomplétion de}

F

^par

rapport à

v

^{. Onnote}

F

_∞

= Q

v|∞

F

_v^{.On note}

A

^{les adèles de}

F

^et

A

^{f les adèles nis de}

F

^{. Plus} généralement si

T

^{est un ensemble ni de plaes, on note}

A

T

= Q

v∈T

F

v ^et

A

^T

le produit restreint des

F

_v ^pour

v 6∈ T

^{.On a}

A = A

_T

× A

^{T,en partiulier}

A = F

_∞

× A

^f.

Rappelons que l'on a xé dans l'introdution un ouple

(E, •)

^{formé d'une extension de}

orps de

F

^{etd'uneinvolutionde l'un destypessuivants:}

E =

F

^{as 1}

une extension quadratique de

F

^{as 2,}

• =

id as 1

l'involution deGalois de

E

^{as 2.}

Dansleas

(2)

^,onnote

ǫ

_E/F ^learatèrede

A

^×_F

/F

^×assoiéàl'extensionquadratique

E/F

parlathéorieduorpsdelasse(onpeutledérireexpliitementaumoyendudisriminant

etdusymboledeHilbertde

E

^).Soit

η ∈ {−1, 1}

^.Soit

V

^un

E

^{-espaevetorieldedimension}

niemunid'uneformesesquilinéaire

(, ) η

-hermitienne. Nousfaisonsl'hypothèsesuivante, dansleas

(1)

^noussupposeronsqueladimension de

V

^{est paire si}

η = 1

^,dansleas

(2)

onpeutsupposersanspertedegénéralité que

η = 1

^{,nouslefaisons. Onnote}

n = dim

_E

V

et

r

^{la dimension d'un sous-espae isotrope maximal déni sur}

E

^de

V

^{. Soit}

G = U (V )

le groupe des isométries de

V

^{. Le groupe}

G

^{est de rang déployé}

r

^{. Soit}

K

_∞ ^{un sous-}

groupe ompat maximal de

G(F

_∞

)

^{. Soit}

K

_f ^un sous-groupe ompat ouvert de

G(A

^f

)

^.

Noussommesintéresséspar leomportementasymptotiquedesnombresde Betti

L

^{2 dela}

variétéarithmétiquesuivante :

SKf

(V ) = G(F)\G(A)/(K

_∞

× K

_f

)

quandlevolumede

K

_f ^tendvers

0

^.Noussupposeronsqu'ilexisteuneuniqueplaearhimé- dienne

v

_∞ ^{telle que}

G(F

_v∞

)

^{soit non ompat, on a alors trois familles possibles pour}

G(F

_∞

)

ⁿ

= G(F

_v∞

)

^:

Dansleas1 si

η = 1

^,

O(p, q)

^ave

pq 6= 0

^et

p + q = n

Dansleas1 si

η = −1

^,Sp_2k ^ave

2k = n

^{(on a alors} néessairement

F = Q

⁾

Dansleas2,

U (p, q)

^ave

pq 6= 0

^et

p + q = n

^.

1.2. Composantes onnexes. En général, par manque d'approximation forte les

variétés préédentes ne sont pas onnexes. Une des omposantes onnexes est toujours

donnéepar :

G(F ) ∩ K

_f

\X

_G

.

L'ensembledesomposantesonnexes estdéritpar les doubleslasses suivantes :

Cl

(G, K

_f

) = G(F )\G(A

^f

)/K

_f

.

Plus préisement si

(γ

_i

)

^{estun systèmede} représentant deCl

(G, K

_f

)

^{,ona :}

SKf

(V ) = ∪

_i

G(F ) ∩ γ

_i

K

_f

γ

_i⁻¹

\X

_G

.

Lesensembles Cl

(G, K

_f

)

^{vérient les propriétés suivantes :}

Dansleas1si

η = −1

^legroupe

G

^vérie l'approximationforte,onadonpourtout ompat Cl

(G, K

_f

) = {1}

^etsi

K

_f^′

⊂ K

_f ^:

[G(F ) ∩ K

_f

: G(F ) ∩ K

_f^′

] = [K

_f

: K

_f^′

],

onposera

G

⁰

= G

^.

Dans leas 1 si

η = 1

^{le groupe algébrique}

G

^{n'est pas onnexe, notons}

G

^{0 saom-}

posanteonnexe, ona une suite exate:

1 → G

⁰

→ G

^det

→ {±1} → 1.

Soit

K(1)

^{un ompat maximal de}

G(A

^f

)

^{. On vérie aisément que}

det K(1) = {±1}(A

^f

)

^{. On suppose que}

K

_f

= Q

v

K

_v ^{est distingué dans}

K

^{. Posons}

K

_f⁰

= K

_f

∩ G

⁰

(A

^f

)

^{. Notons}

S

^{l'ensemble des plaes où}

det K

_v

= 1

^{. En utilisant le}

déterminant on vérie que:

ard

(

^Cl

(G, K

_f

)) =

^{ard Cl}

(G

⁰

, K

_f⁰

)

2

^ardS−1

.

Dansleas2. Soit

G

^{0 le groupedérivéde}

G

^{.Onaune suite exate:}

1 → G

⁰

→ G

^det

→ U (1) → 1.

Enutilisant que

G

^{0 estsimplement onnexe on vérie que:}

Cl

(G, K

_f

) =

^Cl

(U (1), det K

_f

).

1.3. Multipliité des sériesdisrètes. Soit

K

_f,n ^{une suite de}sous-groupeompat ouvert de

G(A

^f

)

^etposons

K

_f,n⁰

= K

_f,n

∩ G

⁰

(A

^f

)

^.Soit

S

^{unensemblenideplaes de}

F

^,

onsupposeque

K

_f,n

→

^S

1

^{danslesensde[Clo℄.Soit}

π

⁰_∞^{unesériedisrète de}

G

⁰

(F

_∞

)

^.On

a alors [Clo℄:

vol

(K

_f,n⁰

) ≪ m π

_∞⁰

, L

²₀

(G

⁰

(F )\G

⁰

(A)/K

_f,n⁰

)

≪

^vol

(K

_f,n⁰

)

L

²₀ ^{désignelespetreuspidal. Soit}

π

_∞^{une extensionde}

π

⁰_∞^à

G(F

_∞

)

^{.Onremarqueque:}

Cas1

η = 1

^,

G

⁰

= G

^.

Cas1

η = −1

^,

m(π

_∞

, L

²₀

(G(F)\G(A)/K

f,n

)) = 2

^α

m(π

⁰_∞

, L

²₀

(G

⁰

(F )\G

⁰

(A)/K

_f,n⁰

))

(7)

pour un ertain

α

^.

Cas2,

(8)

m(π

∞

, L

²₀

(G(F )\G(A)/K

_f,n

)) =

ard

(

^Cl

(U (1), det K

_f,n

) m(π

_∞⁰

, L

²_c

(G

⁰

(F) ∩ K

_f,n

\X

_G

).

1.4. Formesharmoniques. Nousallonsdansettesetiondériredupointdevuede

lathéoriedesreprésentationslesformesdiérentiellessuresvariétés.Selonuneonvention

usuelle nous noterons les algèbres de Lie réelles ave un indie

0

^{etleur omplexié sans}

indie.Onnote

Ω

^{l'élémentdeCasimirduentredel'algèbredeLiede}

G(F

_∞

)

^.Soit

k

₀

⊂ g

₀^,

l'algèbre de Liede

K

_∞^.Notons

p

₀ ^le supplémentaire orthogonal pour la forme de Killing de

k

₀ ^dans

g

₀^.Alors

p

^{s'identieauomplexiéduplantangentdeS}_Kf

(V )

^enl'identité.La forme de Killing s'identiant à la métrique surle plan tangent. Les formes diérentielles

L

^{2 dedegré}

i

^surS_Kf

(V )

^{sont don :}

hom

_K∞

(

^

i

p, L

²

(G(Q)\G(A)/K

f

))

On remarque que le entre de l'algèbre de Lie de

G(F

_∞

)

^{agit (à droite) sur et espae,}

don en partiulierl'élément deCasimir

Ω

^{.Le lemmede Kugaarme quel'ensembledes}

formesdiérentielles harmoniques

L

^{2 de degré}

i

^{estégal à:}

H

₂ⁱ

(

^SKf

(V )) = hom

K∞

(

^

i

p, L

²

(G(Q)\G(A)/K

_f

)))

^Ω=0

.

Onen déduitdon que :

H

₂ⁱ

(

^S_K^f

(V ), C) = ⊕

_{π=π∞⊗πf}

hom

_K∞

(

^

i

p, π

_∞

) ⊗ π

^K_f^f

,

lasommeétantindexéeparlessous-représentationsirrédutiblessousl'ationde

G(A)

^de:

L

²

(G(F )\G(A))

^Ω=0

.

Lesreprésentations

π

_∞ ^{vériant les deuxpropriétés :}

hom

_K∞

( V

∗

p, π

_∞

) 6= 0

l'ation duCasimir (une onstante notée

π

_∞

(Ω)

^{) esttriviale,}

sont appelées les représentations ohomologiques. Elles ont été lassiées par Vogan et

Zukermanndans[VZ ℄.Nousnousxons maintenant unesous-algèbredeCartan

t

₀ ^de

k

₀^.

Les raines

∆(t

₀

, g)

^{sont des éléments de}

it

^∗₀^{.On onsidère les} sous-algèbres paraboliques

q = l ⊕ u

^,où

l

^{est le}entralisateur d'unélément

X ∈ it

₀ ^et

u

^{est lesous-espae engendré}

par les raines positives de

X

^dans

g

^{. Alors}

u

^{eststable sous}l'involution de Cartan, on a don unedéomposition

u = u ∩ k ⊕ u ∩ p

^.Soit

R(q)

^{ladimension de}

u ∩ p

^.Le sous-module engendré sous l'ation de

K

_∞ ^{par la droite}

V

R(q)

u ∩ p

^dans

V

R(q)

p

^{est un sous-espae}

irrédutiblenoté

V (q)

^{quiapparaît ave}multipliité

1

^dans

V

R(q)

p

^{.VoganetZukermann}

démontrent qu'ilexiste une unique représentation unitaire irrédutible

π

_∞ ^{vériant :}

hom(V (q), π

_∞

) 6= 0

π

_∞

(Ω) = 0

^.

Nousnotons

A

_q^ette représentation. Elle vériede plus:

hom

_K∞

( V

_j

p, A

q

) = 0

^si

j < R(q)

hom

K∞

( V

j

p, A

q

) = C

^si

j = R(q)

^.

Le sous-espae:

H

q^R(q)

(

^S_K^f

(V ), C) = ⊕

π=π∞⊗πf

π∞=Aq

hom(

R(q)

^

p, A

q

) ⊗ π

_f^Kf

≃ ⊕

π=π∞⊗πf

π∞=Aq

π

^K_f^f

estappelé lapartie fortement primitive detype

A

_q ^delaohomologie. La orrespondane theta nouspermetde réer deslasses de ohomologie dansla partie fortement primitive

assoiéeà ertaines algèbresparaboliques.

2. Utilisation de la orrespondane theta

2.1. Rappel. Onsedonneunaratèrenontrivial

ψ

^de

A

_F

/F

^{.Onsedonneégalement}

unaratère

χ

^de

A

^×_E

/E

^×vériant

χ

_|A×

F

= ǫ

_E/F^.Soit

W

^un

E

^{-espaevetorieldedimension}

nie muni d'uneforme sesquilinéaire

h, i

^{de sorte que}

W

^soit

−η

-hermitien. Nous faisons l'hypothèse suivante,dansle as

(1)

^noussupposeronsqueladimension de

W

^{estpaire si}

η = −1

^{. Onnote}

m = dim

E

W

^{.Onsupposera toujours que}

n > m

^{et dansle as (2)que}

n > m + 1

^.Le

F

^{-espaevetoriel}

W = W ⊗

_E

V

^{estmunide laforme} symplétique:

B(, ) =

^tr_E/F

(h, i ⊗ (, )

^ι

).

Soit Sp

( W )

^(resp.

U (W )

^{) le groupe des isométriesde}

W

(resp.

W

^{). La paire de groupes}

(U (W ), U (V ))

^{formeune paireduale danslesensde Howe[Howe ℄.Notons aussiMp}

( W )

lerevêtement métapletique deSp

( W )

^{qui estune extension :}

1 →

^S1

→

^Mp

( W ) →

^Sp

( W ) → 1.

D'après notamment Rao,Perrin etKudla[K℄, lehoix de

χ

^{détermine unsindage :}

i

_χ

: U (W )(A) × U (V )(A) → M p( W )(A).

Nousrappelonsdanslapartie6quelquespropriétésdeetteappliationainsiqu'unrésultat

de Pan [Pan1℄.Cehoix détermine une représentation

(ω

_χ

, S = ⊗

_v

S

_v

)

^de

U (W )(A) × U (V )(A)

^{parrestritiondela}représentationmétaplétique de

M p( W )(A)

^{. On se donne une plae}

v

^de

F

^et

π

_v ^une représentation irrédutible de

U (W )(F

_v

)

^{.Posons :}

Θ

_χ

(π

_v

, V ) = (π

_v

⊗ ω

_χ

)

_U(W)(Fv)

(La notation

Π

_G^{, si}

Π

^{est une} représentation d'un groupe

G

^{, désigne les} oinvariants de

Π

^{sous l'ation de}

G

^).

Θ

_χ

(π, V )

^{est une} représentation de

U (V )(F

_v

)

^{.Dans [Howe ℄,il est}

onjeturéque :

Conjeture 2.1 (Howe).

Θ

_χ

(π, V )

^{admet ununique quotient}irrédutible.

La proposition a été démontrée ([Howe ℄, [Wald1 ℄ et [Wald2 ℄) dans presque tout les

as:

Théorème 2.2 (Howe et Waldspurger). Laonjeture deHoweest vraiesilaplae

v

^{ne divise pas}

2

^.

Onnotera alors

θ

χ

(π

v

, V )

^{l'unique quotient}irrédutible de

Θ

χ

(π

v

, V )

^.