Compléments sur le calcul des différences finies
Les puissances modifiées ou peuvent aussi être définies pour les entiers négatifs. L'idée est d'écrire
ce qui est vrai pour , et de continuer pour , ce qui conduit à
On a alors
comme pour la dérivée de .
Ce résultat encourageant nous incite à compléter notre collection de fonction discrètes. Toutes nos ont une primitive , sauf pour , comme dans le cas classique. L'analogue de dans notre contexte sera donc
Les nombres sont appelés nombres harmoniques (https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_harmonique). Ce sont les sommes partielles de la série harmonique, qui, comme on sait, est divergente :
On montre facilement, en encadrant l'intégrale par des rectangles de bases , etc. puis , etc. que , et même que
où est la constante d'Euler.
Maintenant qu'on a une sorte de logarithme, on peut rechercher un analogue de l'exponentielle. Elle ne risque pas d'être la fonction réciproque de (qui envoie des entiers sur des non entiers), on lui demandera donc de vérifier un analogue de , ce qui amène à résoudre
On prend naturellement , et notre exponentielle discrète est donc . C'est donc une vraie exponentielle, mais de base 2 plutôt que . Nous avons donc à ce stade des analogues des fonctions élémentaires du cours de terminale (sauf les fonctions trigonométriques mais on n'en a pas l'usage ici). L'idée suivante est d'adapter aux calculs de sommes tout ce qu'on sait faire avec les intégrales.
Enfin, pas tout, car on n'aura pas d'analogue du changement de variables : notre variable prend des valeurs entières, mais pas forcément les fonctions (exemple, ).
Par contre, on peut trouver une version de l'ontégration par parties, qui n'est qu'une manière de reformuler la dérivée d'un produit. Calculaons donc En introduisant l'opérateur de décalage , cela s'écrit
En intégrant, on obtient
On peut alors imiter des calculs comme
pour obtenir qui donne pour
comme on l'a déjà montré autrement.
(t)n (t)n
(t)n= (t)n+1
t−n n= ⋯ , 3, 2, 1, 0 n= −1, −2, −3, …
(t)−1= 1 , (t = , … , (t = .
t+ 1 )−2 1
(t+ 1)(t+ 2) )−n 1
(t+ 1)(t+ 2) ⋯ (t+n)
Δ(t)−n= 1 − = = −n(t ,
(t+ 2)(t+ 2) ⋯ (t+n+ 1)
1
(t+ 1)(t+ 2) ⋯ (t+n)
(t+ 1) − (t+n+ 1)
(t+ 1)(t+ 2) ⋯ (t+n)(t+n+ 1) )−n−1
t−n
(t)n
(t)n+1
n+1 n= −1
lnt
:= (t δt= .
Hn Σn1 )−1 ∑
k=1 n 1
k Hn
∑ = ∞.
n≥1
1 n
lnx=∫1x1tdt [1, 2], [2, 3] [0, 1], [1, 2] Hn∼+∞lnn
− lnn→γ≃ 0, 5772156649015328606 … Hn
γ
t↦Ht
(ex)′=ex
Δf(t) =f(t+ 1) −f(t) =f(t), et doncf(t+ 1) = 2f(t), d'oùf(t) =2tf(0).
f(0) = 1 f(t) = 2t e
t Ht
Δ(u(t)v(t)) =u(t+ 1)v(t+ 1) −u(t)v(t) =u(t+ 1)v(t+ 1) −u(t)v(t+ 1) +u(t)v(t+ 1) −u(t)v(t) = Δu(t) ⋅v(t+ 1) +u(t)Δv(t) Ef(t) =f(t+ 1)
Δuv= ΔuEv+uΔv.
u(t)Δv(t)δt= [u(t)v(t) − Ev(t)Δu(t)δt
Σba ]ba Σba
x dx= xd = [x − dx= [x( − 1)
∫ b
a
ex ∫ b
a
ex ex]ba ∫ b
a
ex ex ]ba
t δt= [t − 1 ⋯ δt= [t − Σba 2t 2t]ba Σba 2t+1 2t 2t+1]ba
a= 0,b=n
k =n − + 2 = (n− 2) + 2,
∑
k=0 n−1
2k 2n 2n+1 2n
differences_finies http://www-igm.univ-mlv.fr/~jyt/L3_MPI4/differ...
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Exercices
En imitant le calcul de par parties, trouver une formule pour la somme
et vérifiez la avec un programme.
1.
Même questions pour la somme 2.
Calculer la somme
en imitant le calcul de . 3.
In [ ]:
lnxdx
∫ab
A(n) =∑
k=0 n−1
Hk
B(n) =∑k .
k=0 n−1
Hk
C(n) =∑
k=0
n−1 Hk
(k+ 1)(k+ 2) ln(x)
∫ab dxx2
