Exercices sur le calcul asymptotique

(1)

Calcul asymptotique

Comparaison de suites numériques

Exercice 1 [ 02280 ][correction]

Classer les suites, dont les termes généraux sont les suivants, par ordre de négligeabilité :

a) 1 n, 1

n²,lnn n ,lnn

n² , 1

nlnn b)n, n², nlnn,√

nlnn, n² lnn

Trouver un équivalent simple aux suites (u_n) suivantes et donner leur limite : a)un = (n+ 3 lnn)e⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ b)un=ln(n²+ 1)

n+ 1 c)un=

√n²+n+ 1

√3

n²−n+ 1

Trouver un équivalent simple aux suites (un) suivantes et donner leur limite : a)un= n³−√

n²+ 1

lnn−2n² b)un= 2n³−lnn+ 1

n²+ 1 c)un= n! + eⁿ 2ⁿ+ 3ⁿ

Trouver un équivalent simple aux suites (un) suivantes :

a)un= 1

n−1− 1

n+ 1 b)un =√

n+ 1−√

n−1 c)un=p

ln(n+ 1)−ln(n)

Trouver un équivalent simple aux suites (un) suivantes : a)un= sin 1

√n+ 1 b)un = ln

sin 1 n

c)un= 1−cos1 n

Déterminer un équivalent simple de la suite dont le terme général est : a) 2√

n−√

n+ 1−√

n−1 b) ln(n+ 1)−lnn

√n+ 1−√

n c) ⁿ⁺¹√

n+ 1−√ⁿ n

Soit (u_n) une suite décroissante de réels telle que un+un+1∼ 1

n a) Montrer que (un) converge vers 0⁺.

b) Donner un équivalent simple de (un).

Soient (un),(vn),(wn),(tn) des suites de réels strictement positifs telles que u_n∼v_n et w_n∼t_n

Montrer que

un+wn∼vn+tn

Pourn∈N, on pose

u_n= 0! + 1! + 2! +· · ·+n! =

n

X

k=0

k!

Montrer queun ∼n!.

On pose

Sn=

n

X

k=1

√1 k a) Justifier que

√ 1

n+ 1 62 √

n+ 1−√ n

6 1

√n b) Déterminer la limite de (S_n).

c) On poseun =Sn−2√

n. Montrer que (un) converge.

d) Donner un équivalent simple de (Sn).

(2)

On étudie ici la suite (Sn) de terme général S_n=

n

X

k=1

1 k

a) Etablir que pour toutt >−1, ln(1 +t)6t et en déduire ln(1 +t)> t

t+ 1 b) Observer que

ln(n+ 1)6Sn6lnn+ 1 et en déduire un équivalent simple deSn.

c) Montrer que la suiteun =Sn−lnnest convergente. Sa limite est appelée constante d’Euler et est usuellement notéeγ.

Montrer que, au voisinage de +∞, u_n =

Z n³ n²

dt 1 +t² ∼ 1

n²

Calcul de limites de suites numériques

Déterminer la limite des suites (un) suivantes :

a) un=n s

ln

1 + 1 n²+ 1

b)un =

1 + sin 1 n

n

c)un= n

√n+1

(n+ 1)^√ⁿ

Déterminer les limites suivantes : a) lim

n→∞nsin1

n b) lim

n→∞

nsin 1

n n²

c) lim

n→∞n²

(n+ 1)^1/n−n^1/n

Soient des réels positifsaetb. Trouver la limite de a^1/n+b^1/n

2

ⁿ

Soientaetb deux réels strictement positifs. Déterminer

n→+∞lim

√n

a+ √ⁿ b 2

!ⁿ

Déterminer

n→+∞lim

3√ⁿ 2−2√ⁿ

3ⁿ

Calcul de développements asymptotiques de suites

Réaliser un développement asymptotique de la suite considérée à la précision demandée :

a)un= ln(n+ 1) à la précision 1/n² b)un=√

n+ 1−√

n−1 à la précision 1/n² c)u_n=p

n+√ n−√

nà la précision 1/n d)u_n= 1 +_n¹ⁿ

à la précision 1/n².

Développement asymptotique à trois termes de : u_n=

n

X

k=1

sin k n²

Former le développement asymptotique, en +∞, à la précision 1/n²de un= 1

n!

n

X

k=0

k!

(3)

Donner un développement asymptotique de

1 n!

n

P

k=0

k!

n∈N

à la précisiono(n⁻³).

Etude asymptotique de suites de solutions d’une équation

Soitnun entier naturel etEn l’équation x+ lnx=nd’inconnuex∈R^+?. a) Montrer que l’équationEn possède une solution unique notéexn. b) Montrer que la suite (xn) diverge vers +∞.

c) Donner un équivalent simple de la suite (xn).

Soitf : ]0,+∞[→Rla fonction définie par f(x) = lnx+x

a) Montrer que pour tout entiern∈N, il existe un uniquexn tel que f(xn) =n.

b) Former le développement asymptotique de la suite (xn) à la précision (lnn)/n.

Pourn∈N, on considère l’équation x+√³

x=n d’inconnuex∈R.

a) Montrer que cette équation possède une unique solutionxn. b) Déterminer la limite dexn puis un équivalent simple de (xn).

c) Donner un développement asymptotique à trois termes de (xn).

a) Pour toutn∈N, justifier que l’équation x+ e^x=n possède une unique solutionx_n ∈R.

b) Déterminer la limite de (xn) puis un équivalent dexn.

c) Former un développement asymptotique à trois termes dexn quand n→+∞.

Montrer que l’équation tanx=√

xpossède une unique solutionxn dans chaque intervalleIn = ]−π/2, π/2[ +nπ (avecn∈N^?).

Réaliser un développement asymptotique à trois termes dexn.

Soientn∈N^? et l’équation

(En) :xⁿ+x−1 = 0

a) Montrer qu’il existe une unique solution positive de (E_n) notéex_n et que

n→+∞lim x_n = 1.

b) On poseyn= 1−xn. Montrer que, pournassez grand, lnn

2n 6yn 62lnn n (on poserafn(y) =nln(1−y)−ln(y)).

c) Montrer que ln(y_n)∼ −lnnpuis que xn= 1−lnn

n +o lnn

n

Montrer que l’équationxⁿ+x²−1 = 0 admet une unique racine réelle strictement positive pourn>1. On la notexn. Déterminer la limite`de la suite (xn) puis un équivalent dexn−`.

Pour tout entiern>2, on considère l’équation (E_n) :xⁿ=x+ 1 dont l’inconnue estx>0.

a) Montrer l’existence et l’unicité dexn solution de (En).

b) Montrer que (xn) tend vers 1.

c) Montrer que (xn) admet un développement limité à tout ordre. Donner les trois premiers termes de ce développement limité.

Pourn>2, on considère le polynôme

Pn=Xⁿ−nX+ 1

(4)

a) Montrer quePn admet exactement une racine réelle entre 0 et 1, notéexn. b) Déterminer la limite dexn lorsque n→+∞.

c) Donner un équivalent de (xn) puis le deuxième terme du développement asymptotiquexn.

a) Soitn∈N. Montrer que l’équationxⁿ+ lnx= 0 possède une unique solution x_n>0.

b) Déterminer la limite dex_n.

c) On poseu_n= 1−x_n. Justifier quenu_n∼ −lnu_n puis déterminer un équivalent deun.

Pourn∈N^? on introduit le polynôme

Pn(X) =X(X−1). . .(X−n)

a) Montrer que le polynômeP_n⁰ possède une unique racine dans l’intervalle ]0,1[ ; celle-ci sera notéx_n.

b) Etudier la monotonie de la suite (xn)n>1.

c) Former la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle F= P_n⁰

Pn

d) En déduire un équivalent de la suite (x_n)_n_>₁.

Soitf(x) = (cosx)^1/x et (C) le graphe def. a) Montrer l’existence d’une suite (xn) vérifiant : i) (xn) est croissante positive.

ii) la tangente à (C) en (xn, f(xn)) passe parO.

b) Déterminer un développement asymptotique à 2 termes de (x_n).

Etude asymptotique de suites récurrentes

On considère la suite (un) définie pourn>1 par u_n =

s n+

r

(n−1) +· · ·+ q

2 +√ 1

a) Montrer que (un) diverge vers +∞.

b) Exprimerun+1 en fonction deun. c) Montrer queun6npuis queun=o(n).

d) Donner un équivalent simple de (un).

e) Déterminer lim

n→+∞un−√ n.

Comparaison de fonctions numériques

Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quandx→+∞

a)

√ x³+ 2

√3

x²+ 3 b)p

x²+ 1 +p

x²−1 c)p

x²+ 1−p x²−1

Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quandx→+∞

a) ln(x+ 1)

lnx −1 b)p

ln(x+ 1)−p

ln(x−1) c) xln(x+ 1)−(x+ 1) lnx

Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quandx→0 a)p

1 +x²−p

1−x² b) tanx−sinx c) e^x+x−1

Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quandx→0 a) ln(1 + sinx) b) ln(ln(1 +x)) c) (ln(1 +x))²−(ln(1−x))²

Déterminer un équivalent de ln(cosx) quandx→(π/2)⁻

Déterminer un équivalent simple des fonctions proposées au voisinage de 0 : a)x(2 + cosx)−3 sinx b)x^x−(sinx)^x c) arctan(2x)−2 arctan(x)

(5)

Soitf :R→Rune fonction décroissante telle que f(x) +f(x+ 1) ∼

+∞

1 x

a) Etudier la limite def en +∞.

b) Donner un équivalent def en +∞.

Calcul de limites de fonctions numériques

x→+∞

xe^−x+x²

x−lnx b) lim

x→+∞

xlnx−x

x+ cosx c) lim

x→+∞

√

xe^x−x² e^x+ e^−x

x→0⁺

x+ sinx

xlnx b) lim

x→0⁺

lnx+x²

ln(x+x²) c) lim

x→1

lnx x²−1

x→+∞

x^ln^x

lnx b) lim

x→+∞

x lnx

^lnx_x

c) lim

x→+∞

ln(x+√ x²+ 1) lnx

x→0

1 sin²x− 1

x² b) lim

x→0

1

x− 1

ln(1 +x) c) lim

x→0

(1 +x)^1/x−e x

Déterminer les limites suivantes :

a) lim

x→2

2^x+ 3^x 2^x+1+ 5^x/2

1/(2−x)

b) lim

x→+∞

ln(1 +x) lnx

^x^ln^x

c) lim

x→a

x^a−a^x

arctanx−arctana aveca >0

Déterminer

lim

x→1⁻ln(x) ln(1−x)

Calcul de développements limités

Déterminer les développements limités suivants : a)DL3(π/4) de sinx

b)DL4(1) de ^ln_x2^x

c)DL₅(0) de shxch(2x)−chx.

Déterminer les développements limités suivants : a)DL₃(0) de ln

x²+1 x+1

b)DL3(0) de ln(1 + sinx) c)DL3(1) de cos(ln(x))

Déterminer les développements limités suivants : a)DL3(0) de ln(1 + e^x)

b)DL3(0) de ln(2 + sinx) c)DL₃(0) de√

3 + cosx

Déterminer les développements limités suivants : a)DL3(0) de e

√1+x

b)DL₃(0) de ln(1 +√ 1 +x) c)DL₃(0) de ln(3e^x+ e^−x)

(6)

Déterminer les développements limités suivants : a)DL2(0) de (1 +x)^1/x

b)DL4(0) de ln ^sin_x^x c)DL₄(0) de ln ^shx_x

Déterminer les développements limités suivants : a)DL₃(0) de ^ln(1+x)_e_x₋₁

b)DL2(0) de ^arctan_tan_x^x c)DL₂(1) de ^x−1_ln_x

Déterminer les développements limités suivants : a)DL3(0) de ^x−sin_1−cos^x_x

b)DL2(0) de _exp(x)−1^sin(x) c)DL3(0) de ^xchx−sh_ch_x−1^x

Déterminer les développements limités suivants : a)DL3(0) de ln

x²+1 x+1

b)DL3(0) de√

3 + cosx c)DL2(0) de (1 +x)^1/x d)DL₃(0) de ^ln(1+x)_e_x₋₁

Former leDL3(1) de arctanx

Former le développement limité à l’ordre 3 quandx→0 de arctan(e^x).

Quelle à l’allure de cette fonction autour de ce point ?

Déterminer les développements limités suivants : a)DL10(0) deRx²

x

√dt 1+t⁴

b)DL1000(0) de ln ₉₉₉

P

k=0 x^k k!

Exprimer le développement limité à l’ordrenen 0 de ^√_1−x¹ à l’aide de nombres factoriels.

Pourα=−1/2 etk∈N, exprimer

α(α−1). . .(α−k+ 1) k!

à l’aide de nombres factoriels.

En déduire une expression duDL_2n+1(0) de ^√ ¹

1−x² puis duDL_2n+2(0) de arcsin(x).

Exprimer le développement limité général en 0 de arcsinx.

Pourn∈N, déterminer le développement limité à l’ordre 2n+ 2 dex7→ ¹₂ln^1+x_1−x. On pourra commencer par calculer la dérivée de cette fonction.

Montrer que l’applicationf :R→Rdéfinie parf(x) =xe^x² admet une application réciproque définie surRet former leDL₅(0) def⁻¹.

En calculant de deux façons le développement limité à l’ordrende (e^x−1)ⁿ, établir que pour tout 06`6n

n

X

k=0

n k

!(−1)^n−kk^`

`! =

0 si` < n 1 si`=n

(7)

Soientn∈N,n>2 etf l’application de RdansRdéfinie par f(x) =xⁿsin

1 x

six6= 0 etf(0) = 0 a) Montrer quef est dérivable surR.

b)f admet-elle un développement limité en 0 ? si oui à quel ordre maximal ?

Applications à l’étude locale de fonctions

Soitf : ]−1,0[∪]0,+∞[→Rdéfinie par

f(x) = ln(1 +x)−x x²

Montrer quef peut être prolongée par continuité en 0 et que ce prolongement est alors dérivable en 0.

Quelle est alors la position relative de la courbe def par rapport à sa tangente en ce point ?

Soientaun réel non nul etf la fonction définie au voisinage de 0 par f(x) =ln(1 +ax)

1 +x

Déterminer les éventuelles valeurs deapour lesquellesf présente un point d’inflexion en 0.

Montrer que la fonction

f :x7→ x e^x−1 peut être prolongée en une fonction de classeC¹ surR.

Soitf :R→Rdéfinie par

f(x) =

e^−1/x² six6= 0

0 sinon

Montrer quef est de classeC^∞ et que pour toutn∈N,f⁽ⁿ⁾(0) = 0.

C’est ici un exemple de fonction non nulle dont tous lesDLn(0) sont nuls.

Soitf : ]0,1[∪]1,+∞[→Rl’application définie par f(x) =

Z x² x

dt lnt a) Montrer quef est convexe sur ]0,1[ et ]1,+∞[.

b) Montrer que, pour toutx >1 on a : Z x²

x

xdt tlnt 6

Z x² x

dt lnt 6

Z x² x

x²dt tlnt En déduire que lim

x→1+f(x) = ln 2. De même, établir : lim

x→1−f(x) = ln 2.

c) On prolongef par continuité en 1, en posantf(1) = ln 2.

Montrer quef ainsi prolongée est de classeC²sur ]0,+∞[.

Etablir la convexité def sur ]0,+∞[.

Calcul de développements asymptotiques de fonc- tions

Former le développement asymptotique en 0 de l’expression considérée à la précision demandée :

a) ^ln(1+x)^√_x à la précisionx^5/2 b)x^xà la précision (xlnx)² Exercice 72 [ 01458 ][correction]

Former le développement asymptotique en +∞de l’expression considérée à la précision demandée :

a)√

x+ 1 à la précision 1/x^3/2.

b)xln(x+ 1)−(x+ 1) lnxà la précision 1/x². c) ^x+1_x ^x

à la précision 1/x².

(8)

Former le développement asymptotique quandx→+∞de arctanxà la précision 1/x³.

(9)

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]

a)

1

n² lnn n² 1

nlnn 1

n lnn n b)

√nlnnnnlnn n² lnn n²

a)u_n= ^ne_e⁻ⁿ →0 b)u_n∼ ^{2 ln}_nⁿ →0 c)u_n∼n^1/3→+∞.

a)un∼ −¹₂n→ −∞

b)un∼2n→+∞

c)un∼ ₃^n!n →+∞

a)

u_n= 2

n²−1 ∼ 2 n² b)

un= 2

√n+ 1 +√

n−1 = 2

√n+o(√ n) +√

n+o(√

n) = 1

√n+o(p

n) ∼ 1

√n

c)

un = s

ln

1 + 1 n

∼ r1

n = 1

√n car ln 1 +_n¹

∼_n¹ puisque ¹_n →0.

a)un= sin^√_n+1¹ ∼^√_n+1¹ ∼^√¹_n car ^√_n+1¹ →0.

b) sin¹_n ∼ ¹_n →06= 1 doncun∼ln_n¹ =−lnn.

c)un= 2 sin^{2 1}_2n ∼_2n¹2.

a)

2√ n−√

n+ 1−√

n−1∼ 1 4n√

n

b)

ln(n+ 1)−lnn

√n+ 1−√

n = ln(1 + 1/n)

√n(p

1 + 1/n−1) ∼ 1/n

1/2n^3/2 = 2

√n

c) ⁿ⁺¹√

n+ 1−√ⁿ

n= e^ln(n+1)ⁿ⁺¹ −e^lnⁿⁿ or e^ln(n+1)ⁿ⁺¹ = 1 + ln(n+ 1)

n+ 1 +1 2

ln(n+ 1) (n+ 1)

2

+1 6

ln(n+ 1) (n+ 1)

3

+o

(lnn)³ n³

et

e^lnnⁿ = 1 + lnn n +1

2 lnn

n 2

+1 6

lnn n

3

+o

(lnn)³ n³

donc

n+1√

n+ 1− √ⁿ

n=−lnn n² +o

lnn n²

∼ −lnn n²

a) (u_n) est décroissante donc admet une limite`∈R∪ {−∞}.

Puisqueu_n+u_n+1∼ ¹_n →0⁺, on a`+`= 0 donc`= 0.

De plus, à partir d’un certain rang : 2u_n>u_n+u_n+1>0 b) Par monotonie

u_n+1+u_n62u_n 6u_n−1+u_n

avecun+1+un ∼_n¹ et u_n−1+un∼_n−1¹ ∼ ¹_n donc 2un ∼_n¹ puis un∼ 1

2n

(10)

Supposonsun∼vn etwn∼tn. On a

un+wn

vn+tn

−1

=

(un−vn) + (wn−tn) vn+tn

donc

un+wn

vn+tn

−1

6|un−vn| vn

+|wn−tn| tn

=

un

vn

−1

+

wn

tn

−1

→0

On a

un =n! + (n−1)! +

n−2

X

k=0

k!

Or

(n−1)!

n! = 1 n →0 et

06

n−2

P

k=0

k!

n! =

n−2

X

k=0

k!

n! 6

n−2

X

k=0

(n−2)!

n! =

n−2

X

k=0

1

n(n−1) 6 1 n →0 donc

u_n=n! + (n−1)! +

n−2

X

k=0

k! =n! +o(n!)∼n!

a)

2 √

n+ 1−√ n

= 2

√n+ 1 +√ n

donc 1

√n+ 1 62 √

n+ 1−√ n

6 1

√n b)

Sn>

n

X

k=1

2√

k+ 1−√ k

= 2√

n+ 1−2 puisSn→+∞.

c)un+1−un= ^√_n+1¹ −2 √

n+ 1−√ n

60 donc (un) est décroissante.

Oru_n=S_n−2√ n>2√

n+ 1−2−2√

n>−2 donc (u_n) est aussi minorée. Par suite (u_n) converge.

d)

S_n = 2√

n+u_n= 2√

n+o(√

n)∼2√ n

a) On étudie la fonctiont7→t−ln(1 +t) pour établir la première inégalité. On en déduit

ln(1− t

1 +t)6− t 1 +t donc

ln 1

1 +t

6− t 1 +t puis l’inégalité voulue.

b)

Sn=

n

X

k=1

1 k >ln

n

Y

k=1

1 + 1

k !

= ln(n+ 1) et

Sn = 1 +

n−1

X

k=1

1/k

1 + 1/k 61 + ln

n−1

Y

k=1

1 +1

k !

= 1 + lnn On en déduit

Sn ∼lnn c)

un+1−un= 1/n 1 + 1/n −ln

1 + 1

n

60

donc (un) est décroissante. De plusun >ln(n+ 1)−lnn>0 donc (un) est minorée et par suite convergente.

On peut calculer l’intégrale

u_n= arctann³−arctann² Or pourx >0,

arctanx+ arctan1 x= π

2

(11)

donc

un= arctan 1

n² −arctan 1 n³ = 1

n² +o 1

n²

∼ 1 n²

a) ln

1 + _n₂¹₊₁

∼ _n2¹+1 ∼_n¹2 car _n₂¹₊₁ →0. Par suiteu_n∼1→1.

b)un= eⁿ^ln(^1+sinn¹), ln 1 + sin¹_n

∼sin_n¹ ∼_n¹ doncnln 1 + sin_n¹

→1 puis un→e.

c)un= e

√n+1 lnn−√

nln(n+1),

√n+ 1 lnn−√

nln(n+ 1) = √

n+ 1−√ n

lnn−√

nln 1 +_n¹ . Or √

n+ 1−√ n

lnn=^√_n+1+^lnⁿ^√_n =₂^√_n+o(^lnⁿ^√_n)∼ ₂^ln^√ⁿ_n et

√nln 1 +_n¹

∼^√¹_n =o

lnn 2√

n

donc

√n+ 1 lnn−√

nln(n+ 1) =₂^ln^√ⁿ_n +o

lnn 2√

n

→0 doncu_n→1.

a)nsin_n¹ ∼ⁿ_n = 1 donc lim

n→∞nsin¹_n = 1 b) nsin_n¹ⁿ²

= eⁿ²^ln(ⁿ^sin¹_n) = e⁻¹⁶^+o(1) donc lim

n→∞ nsin_n¹ⁿ²

= √6¹

e. c)n² (n+ 1)^1/n−n^1/n

= e^lnnⁿ n²(e^ln(1+1/n)ⁿ −1)∼e^lnⁿⁿ donc

n→∞lim n² (n+ 1)^1/n−n^1/n

= 1

Sia= 0 oub= 0 alors la suite converge évidemment vers 0. On suppose désormaisa, b >0.

Puisque

a^1/n= eⁿ¹^ln^a avec 1

nlna→0 on peut écrire

a^1/n= 1 + 1

nlna+o 1

n

On procède de même pourb^1/net alors 1

2

a^1/n+b^1/n

= 1 + 1

2nln(ab) +o 1

n

puis

a^1/n+b^1/n 2

ⁿ

= exp

nln

1 + 1

2nln(ab) +o 1

n

donne

a^1/n+b^1/n 2

ⁿ

= exp 1

2ln(ab) +o(1)

Finalement

a^1/n+b^1/n 2

ⁿ

→√ ab

On a

√n

a+ √ⁿ b

2 = a^1/n+b^1/n

2 = e^lnaⁿ + e^lnⁿ^b

2 = 1 +lna+ lnb

2n +o(1/n) donc

√n

a+ √ⁿ b 2

!n

= e^n(ln(1+^lna+ln²ⁿ ^b^+o(1/n))= e^ln^a+ln² ^b^+o(1)→√ ab

On a

3√ⁿ 2−2√ⁿ

3 = 3eⁿ¹^{ln 2}−2eⁿ¹^{ln 3}= 1 +3 ln 2−2 ln 3

n +o

1 n

donc

3√ⁿ

2−2√ⁿ 3ⁿ

= eⁿ^ln(3ⁿ

√ 2+2√ⁿ

3)= eln(8/9)+o(1)→ 8 9

a) ln(n+ 1) = lnn+_n¹ −_2n¹2 +o _n¹2

. b)√

n+ 1−√

n−1 = ^√¹_n +¹₈_n5/2¹ +o _n5/2¹

. c)p

n+√ n−√

n=¹₂−₈^√¹_n+_16n¹ +o _n¹ . d) 1 +_n¹n

= e−_2n^e +_24n^11e2 +o _n¹2

.

(12)

Pourx∈[0,1],

sinx−x+1 6x³

6 1

120 On a donc

un=

n

X

k=1

k n² −1

6 k³ n⁶ +Mn

avec

|Mn|6 1 120

n

X

k=1

k⁵ n¹⁰ 6 1

120 1 n⁴

doncMn=o(1/n³).

Or

n

X

k=1

k

n² =n(n+ 1) 2n² =1

2 + 1 2n et

n

X

k=1

k³ n⁶ = 1

n⁶

n

X

k=1

k³∼ 1 4n² donc

un= 1 2+ 1

2n− 1 24n² +o

1 n²

On a

u_n= 1 n!

n

X

k=0

k! = 1 + 1

n+ 1

n(n−1)+ 1

n(n−1)(n−2) +

n−4

X

k=0

k!

n!

Or

06

n−4

X

k=0

k!

n! 6

n−4

X

k=0

(n−4)!

n! 6n 1

n(n−1)(n−2)(n−3) =o(1/n²) Donc

un= 1 + 1 n+ 1

n² +o 1

n²

On a 1 n!

n

X

k=0

k! = 1 + 1

n+ 1

n(n−1)+ 1

n(n−1)(n−2) +o 1

n³

+

n−5

X

k=0

k!

n!

Or n−5

X

k=0

k!

n! 6(n−4)(n−5)!

n! =o 1

n³

donc

1 n!

n

X

k=0

k! = 1 + 1 n+ 1

n² + 2 n³ +o

1 n³

a) Le tableau de variation def :x7→x+ lnxpermet d’affirmer que cette fonction réalise une bijection croissante deR^+? versR. L’équationE_n possède alors pour solution uniquex_n=f⁻¹(n).

b) Le tableau de variation def⁻¹ donne lim

+∞f⁻¹= +∞. Par suitex_n→+∞.

c)xn→+∞donne lnxn =o(xn). La relationxn+ lnxn =ndonne alors xn+o(xn) =net doncxn∼n.

a) La fonctionf :x7→x+ lnxréalise une bijection de ]0,+∞[ surRd’où l’existence de (x_n).

b) Commen→+∞,x_n=f⁻¹(n)→+∞. Par suite lnx_n =o(x_n) et n=xn+ lnxn ∼xn.

Doncxn =n+o(n).

Soityn=xn−n. On a :

yn =−lnxn=−ln(n+o(n)) =−lnn+ ln(1 +o(1)) =−lnn+o(1) Donc

xn=n−lnn+o(1) Soitzn=yn+ lnn. On a :

zn=−ln(n−ln(n) +o(1)) + lnn=−ln

1−lnn n +o(1

n)

=lnn n +o

lnn n

Doncxn=n−lnn+lnn n +o

lnn n

(13)

a) La fonctionf :R⁺→Rdéfinie parf(x) =x+√³

xréalise une bijection deR⁺ versR⁺.

b) Puisquexn=f⁻¹(n) etf⁻¹ →

+∞+∞, on axn →+∞.

On en déduit √³

xn =o(xn) puis

xn∼n c) On peut écrirexn=n+yn avecyn=o(n).

Puisque

yn+√³

n+yn= 0 on a

yn∼ −√³ n On peut écrirey_n =−√³

n+z_n avecz_n=o(√³ n).

Puisque

−√³

n+zn+√³ n

1 + 1

3

−√³ n n +o

√₃ n n

= 0 on obtient

zn∼ 1 3√³ n Finalement

xn=n−√³ n+ 1

3√³ n+o

1

√3

n

a) Soitf :R→Rdéfinie parf(x) =x+ e^x.

x −∞ +∞

f(x) −∞ % +∞

b)f(xn) =n6n+ 1 =f(xn+1) doncxn 6xn+1 carf⁻¹ est croissante.

Si (xn) est majorée parM alorsf(xn) =n6f(M) ce qui est absurde.

La suite (xn) étant croissante et non majorée, elle diverge vers +∞.

xn=o( e^xⁿ) donc e^xⁿ∼n→+∞ 6= 1 puisxn ∼lnn.

c) Posonsyn=xn−lnn=o(lnn).

On ayn+ lnn+ne^yⁿ=ndonc

e^yⁿ = 1−y_n n +lnn

n →1 d’oùyn→0 et

e^yⁿ= 1 +yn+o(yn)

On a alorsyn+ lnn+n(1 +yn+o(yn)) =nd’où nyn+o(nyn) =−lnnet yn∼ −lnn

n

Par suite

x_n = lnn−lnn n +o

lnn n

On écrity_n=−^ln_nⁿ+z_n et e^yⁿ= 1−lnn

n +zn+1 2

lnn n

² +o

lnn n

²

donc

−lnn

n +z_n+nz_n+1 2

(lnn)² n +o

(lnn)² n

= 0 puis

z_n∼ −(lnn)² 2n² Finalement

xn= lnn−lnn

n −(lnn)² 2n² +o

lnn n

²!

SurI_n, la fonctionf :x7→tanx−√

xest continue, croît strictement de−∞vers +∞.

Cela assure l’existence et l’unité dex_n. On a

−π

2 +nπ < x_n< π 2 +nπ doncx_n∼nπ.

Posonsy_n=x_n−nπ. On a tany_n=√

x_n et y_n∈

−^π₂,^π₂ donc yn= arctan√

xn→ π 2 Posons

zn =π

2 −yn= π

2 −arctan√

xn= arctan 1

√xn

= arctan 1

pnπ+^π₂ +o(1)

(14)

On a

1

pnπ+^π₂+o(1) = 1

√nπ

1 q

1 + _2n¹ +o ¹_n

= 1

√nπ −1 4

√1

πn³ +o 1

n^3/2

et

arctanx=x−1

3x³+o(x³) donc

zn = 1

√nπ −1 4

√1

πn³ −1 3

√ 1

π³n³ +o 1

n^3/2

Finalement

x_n=nπ+π 2 − 1

√nπ +3 + 4π π^3/2

1 n^3/2 +o

1 n^3/2

a) On introduitϕn(x) =xⁿ+x−1.ϕ⁰_n(x) =nxⁿ⁻¹+ 1>0,ϕn est continue strictement croissante et réalise une bijective et de [0,+∞[ vers [−1,+∞[ d’où l’existence et l’unicité dexn. On aϕn(1) = 1 doncxn ∈]0,1[. Sixn+1< xn alors xⁿ⁺¹_n+1< xⁿ_n puisxⁿ⁺¹_n+1+x_n+1−1< xⁿ_n+x_n−1 ce qui est absurde. On en déduit que (x_n) est croissante et étant majorée cette suite converge. Posons`sa limite,

`∈]0,1]. Si` <1 alorsxⁿ_n+x_n−1 = 0 donne à la limite `−1 = 0 ce qui est absurde. Il reste`= 1.

b)f_n est strictement décroissante sur ]0,1[,f_n(y_n) = 0,f_n ^ln_2nⁿ

∼ ^ln₂ⁿ >0 et fn 2 lnn

n

∼ −lnn <0 donc à partir d’un certain rang ^ln_2nⁿ 6yn62^ln_nⁿ. c) ln ^ln_2nⁿ

6lnyn 6ln 2^ln_nⁿ

donne ln(yn)∼ −lnnpuisnln(1−yn) = lnyn

donne−nyn∼ −lnnpuisyn∼ ^ln_nⁿ et finalementxn= 1−^ln_nⁿ +o ^ln_nⁿ .

Posonsfn(x) =xⁿ+x²−1. L’étude de la fonctionfn assure l’existence et l’unicité d’une solutionxn∈R⁺ à l’équation étudiée. De plus, on observe quexn ∈[0,1].

Puisque 0 =fn+1(xn+1)6fn(xn+1), on peut affirmerxn+1>xn. La suite (xn) est croissante et majorée donc converge vers un réel`.

Puisque pour toutn∈N,xn∈[0,1], à la limite `∈[0,1].

Si` <1 alors

06xⁿ_n6`ⁿ→0

et la relationxⁿ_n+x²_n−1 = 0 donne à la limite`²= 1 ce qui est absurde.

On conclut que`= 1.

Posonsun = 1−xn,

On a

(1−un)ⁿ=un(2−un) donc

nln(1−u_n) = lnu_n+ ln(2−u_n) d’où

−nu_n ∼lnu_n puis lnn+ lnu_n ∼ln(−lnu_n) or

ln(−lnun) =o(lnun) donc

lnun∼ −lnn puis

u_n∼ lnn n et enfin

xn−1∼ −lnn n

a) Il suffit d’étudierfn:x7→xⁿ−(x+ 1).

b)f_n(1)60 donc x_n>1. De plus

fn+1(xn) =xⁿ⁺¹_n −(xn+ 1) = (xn−1)(xn+ 1)>0 doncxn+1 6xn. La suite (xn) est décroissante et minorée par 1 donc elle converge vers`>1.

Si` >1 alors xⁿ_n >`ⁿ→+∞or xⁿ_n =x_n+ 1→`+ 1. Ce qui est impossible et il reste`= 1.

c) On a

xⁿ=x+ 1⇔nlnx= ln(x+ 1)⇔g(x) = 1 n avec

g(x) = lnx ln(x+ 1)

définie sur [1,+∞[. La fonctiong est de classeC^∞,g⁰(x)>0 doncg réalise une bijection de [1,+∞[ vers [0,1[, de plus (puisqueg⁰(x)6= 0)g⁻¹ est aussi de classe C^∞et doncg⁻¹ admet unDLn(0) pour toutn∈Net doncxn=g⁻¹(1/n) admet un développement limité à tout ordre.

Formons ses trois premiers termes

g⁻¹(x) =a+bx+cx²+o(x²)