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déformables. Application au modelage réel d’une argile virtuelle
Guillaume Dewaele
To cite this version:
Guillaume Dewaele. Modélisation, suivi et simulation d’objets articulés et déformables. Application
au modelage réel d’une argile virtuelle. Interface homme-machine [cs.HC]. Institut National Polytech-
nique de Grenoble - INPG, 2005. Français. �tel-00584946�
pour obtenir le grade de DOCTEUR DE L’I.N.P.G.
Sp´ ecialit´ e “Imagerie, Vision et Robotique”
Mod´ elisation, suivi et simulation d’objets articul´ es et d´ eformables.
Application au modelage r´ eel d’une argile virtuelle.
pr´ esent´ ee et soutenue publiquement par Guillaume Dewaele
le 7 d´ ecembre 2005
pr´ epar´ ee au laboratoire GRAVIR-IMAG, ` a l’INRIA Rhˆ one-Alpes, au sein des ´ equipes Perception et ´ Evasion,
sous la direction de Radu Horaud et Marie-Paule Cani
Jury :
Val´ erie Perrier Pr´ esidente propos´ ee Christophe Chaillou Rapporteur
Pascal Fua Rapporteur Radu Horaud Directeur de th` ese Marie-Paule Cani Co-directrice de th` ese Andr´ e Crosnier Examinateur
Fr´ ed´ eric Devernay Examinateur
Sommaire
Introduction 1
I Sculpture 5
1 Mod´ elisation g´ eom´ etrique : ´ etat de l’art 7
2 Mod` eles de mat´ eriau pour la sculpture 39
3 Un mod` ele d’argile virtuelle 57
4 Enrichissement du mod` ele 105
II Capture de gestes par vid´ eo 125
5 La capture de gestes 127
6 Mod` ele articul´ e et d´ eformable de la main 143
7 Suivi robuste d’objets rigides 169
8 Suivi d’objets articul´ es et d´ eformables 213
Conclusion 231
Annexes 235
A ´ El´ ements d’analyse vectorielle 235
B Pseudo-distance 241
I
Bibliographie 243
Table des figures 257
Table des mati` eres 263
Introduction
Contexte
Encourag´ ee, entre autres choses, par les progr` es r´ ealis´ es dans les domaines des images de synth` ese et de la vision, la r´ ealit´ e virtuelle a pris une importance croissante ces derni` eres ann´ ees. L’interaction entre les mondes r´ eel et virtuel est un domaine d’´ etude prometteur, les moyens le permettant, notamment, restant encore, pour une large part, ` a inventer. C’est dans ce cadre qu’ont ´ et´ e men´ es ces travaux de th` ese.
Notre propos ´ etait d’´ etudier et de d´ evelopper quelques outils qui permettraient, par exemple, ` a un sculpteur de travailler une argile virtuelle. Nous souhaiterions qu’il fˆ ut possible,
`
a l’aide de mouvements parfaitement naturels de la main, ex´ ecut´ es face ` a des cam´ eras vid´ eo, d’agir sur un mat´ eriau virtuel de la mˆ eme fa¸ con que l’on pourrait le faire avec son pendant r´ eel.
Motivation et difficult´ es
Pour parvenir ` a ce r´ esultat, il nous faut r´ esoudre plusieurs probl` emes. Le premier tient
`
a l’interaction proprement dite. Une interface bas´ ee sur la vision pr´ esente des avantages ind´ eniables. D’une part, elle est particuli` erement riche. Le mouvement de la main fait inter- venir une trentaine de degr´ es de libert´ e, bien plus que n’en mesurent la plupart des interfaces de r´ ealit´ e virtuelle. Elle ne gˆ ene aucunement l’utilisateur, au contraire, par exemple, de gants haptiques. D’autre part, elle est parfaitement naturelle, puisque l’on peut directement utiliser ces mouvements pour agir sur le monde virtuel.
Pour qu’une telle interface soit utilisable, elle doit cependant ˆ etre robuste. La position de la main doit ˆ etre estim´ ee avec autant de pr´ ecision que possible, on doit pouvoir corriger d’´ eventuelles erreurs. Le suivi d’un grand nombre de degr´ es de libert´ e n’est pas une tˆ ache facile, en particulier lorsqu’il faut tenir compte d’in´ evitables occlusions. Le suivi de la main a g´ en´ eralement ´ et´ e envisag´ e au moyen d’une unique cam´ era, ce qui a rendu les choses encore plus difficiles. Peu de travaux ont tent´ e de profiter d’informations tridimensionnelles obtenues par l’utilisation de plusieurs cam´ eras.
Le second probl` eme r´ eside quant ` a lui dans le monde virtuel. Une argile virtuelle que l’on puisse manipuler comme on le ferait dans la r´ ealit´ e repr´ esenterait un outil de mod´ elisation
1
3D simple et intuitif, qui demanderait peu d’apprentissage ` a l’artiste. Les possibilit´ es offertes par une argile en mesure de se d´ eformer ` a petite et ` a grande ´ echelle, de changer naturellement de topologie, en feraient, dans le monde virtuel, un moyen simple d’´ ebaucher des objets de forme quelconque.
Il n’existe cependant pas ` a cette heure de mod` ele permettant de simuler le comportement d’un tel mat´ eriau, et d’interagir avec celui-ci en temps r´ eel. L’argile est, on le verra, un mat´ eriau dit viscoplastique, situ´ e entre les fluides visqueux et les solides plastiques. On dispose de nombreux mod` eles, correspondant ` a une large gamme de mat´ eriaux, mais aucun n’est en mesure pour le moment, comme nous le verrons, de reproduire l’ensemble du comportement d’une argile.
Contributions
Dans cette th` ese, nous pr´ esentons un mod` ele d’argile virtuelle, offrant l’essentiel des ca- ract´ eristiques que l’on attend : empreintes, d´ eformations, changements de topologie, etc. L’uti- lisateur peut interagir avec ce mat´ eriau virtuel au moyen d’un nombre quelconque d’outils, de la forme qu’il souhaite. Pour ce faire, nous avons associ´ e plusieurs couches de simulation, qui collaborent pour reproduire les diff´ erents comportements attendus.
Nous proposons ´ egalement une m´ ethode de suivi des mouvements d’un objet d´ eformable, que nous appliquons au cas particulier de la main. Cette m´ ethode utilise plusieurs cam´ eras fil- mant les mains de l’utilisateur, et combine diff´ erentes approches pour fournir un suivi robuste du mouvement. Une observation du d´ eplacement des points d’int´ erˆ et, localis´ es ` a la surface de la main, permet d’obtenir une premi` ere estimation, qui est ensuite corrig´ ee lors d’une ´ etape d’ajustement du mod` ele sur les donn´ ees extraites des s´ equences vid´ eo.
Organisation de ce document
Dans une premi` ere partie, ce m´ emoire traite des travaux que nous avons men´ es dans le dessein de cr´ eer un mat´ eriau virtuel, semblable ` a une argile, qui puisse ˆ etre manipul´ e en temps r´ eel par un utilisateur.
– Le chapitre 1 pr´ esente un tour d’horizon des diff´ erentes approches qui ont ´ et´ e sugg´ er´ ees, par le pass´ e, dans le cadre de la mod´ elisation g´ eom´ etrique de formes tridimensionnelles.
– Dans le chapitre 2, nous nous penchons sur les avantages d’un travail sur une argile r´ eelle par rapport aux outils de mod´ elisation pr´ ec´ edents, et nous essayons de cerner les diff´ erents aspects du comportement d’une argile qu’il nous semble important de conserver, dans le cadre d’une argile virtuelle destin´ ee ` a la sculpture. Nous examinons
´
egalement les mod` eles existants permettant la simulation de mat´ eriaux susceptibles de nous sugg´ erer des pistes pour notre mod` ele d’argile virtuelle.
– Le chapitre 3 d´ etaille le mod` ele d’argile virtuelle que nous avons d´ evelopp´ e, un mod` ele
compos´ e de trois couches de simulation distinctes afin de permettre d’obtenir l’essentiel
des comportements de l’argile que nous cherchions ` a mettre en ´ evidence.
– Le chapitre 4 enrichit ce mod` ele de diverses fa¸ cons, en introduisant, entre autres choses, des mat´ eriaux non homog` enes, en couleur, et en proposant une int´ eraction plus riche entre l’argile et les outils. Il s’attarde ´ egalement sur quelques questions d’impl´ ementation et de rendu.
Dans une seconde partie, nous discutons de la possibilit´ e de suivre le mouvement de la main d’un sculpteur face ` a un jeu de cam´ eras vid´ eo, afin de permettre une interaction plus riche entre l’artiste et la machine que ne le permettent la plupart des interfaces conventionnelles.
– Le chapitre 5 r´ esume les travaux ayant d´ ej` a ´ et´ e men´ es dans le domaine du suivi de mouvements par vid´ eo, en s’attardant tout sp´ ecialement sur les m´ ethodes de suivi des mouvements de la main sans marqueur ni dispositif particulier.
– Le chapitre 6 est l’occasion pour nous de pr´ esenter un mod` ele de main, utilis´ e ensuite pour le suivi. Ce mod` ele comprend une description cin´ ematique, sur laquelle nous avons greff´ e une repr´ esentation volumique d´ eformable ainsi qu’une description des mouve- ments de la peau ` a la surface de la main. Nous introduisons au cours de ce chapitre plusieurs outils qui nous sont utiles par la suite.
– Au cours du chapitre 7, nous d´ etaillons notre approche du suivi de mouvement, mettant en œuvre tout ` a la fois une mise en correspondance de points 3D entre deux instants successifs (afin d’estimer le d´ eplacement entre ces deux instants) et un ajustement du mod` ele sur les donn´ ees acquises par les cam´ eras. Nous appliquons cette strat´ egie au cas particulier d’un solide ind´ eformable, et nous comparons nos r´ esultats avec les m´ ethodes couramment utilis´ ees, afin de voir dans quelle mesure notre approche mixte nous permet de gagner en pr´ ecision et en robustesse.
– Le chapitre 8, qui clˆ ot cette seconde partie, voit l’application de notre sch´ ema de suivi ` a un objet ind´ eformable, et plus particuli` erement ` a la main humaine au moyen du mod` ele d´ evelopp´ e plus tˆ ot. Quelques exemples de gestes, synth´ etiques et r´ eels, nous permettent enfin de discuter des forces et faiblesses de notre approche.
Ce m´ emoire s’ach` evera par un bref inventaire des difficult´ es qui restent ` a surmonter afin
de proposer un outil de mod´ elisation 3D contrˆ ol´ e par gestes, et des pistes qui nous ont sembl´ e
prometteuses.
Sculpture
5
Mod´ elisation g´ eom´ etrique et
sculpture virtuelle : ´ etat de l’art
1.1 Introduction
De par l’importance que revˆ et la cr´ eation de formes 3D dans le domaine de l’imagerie de synth` ese, les outils de mod´ elisation sont nombreux et vari´ es. Afin d’en cerner les ca- ract´ eristiques et les limitations, nous allons parcourir les diverses m´ ethodes qui ont ´ et´ e pro- pos´ ees pour l’´ elaboration d’objets tridimensionnels, depuis les m´ ethodes les plus simples et les plus anciennes ´ editant directement le maillage des mod` eles jusqu’aux approches plus r´ ecentes que l’on qualifie parfois de sculpture virtuelle.
Nombre de travaux ont ´ et´ e propos´ es sur le sujet, et il ne nous sera pas possible, dans le pr´ esent document, de nous pencher sur l’ensemble de ces derniers. Nous nous efforcerons donc de pr´ esenter quelques-uns des articles parmi les plus marquants, illustrant la grande vari´ et´ e des approches ´ etudi´ ees.
Nous nous int´ eresserons principalement aux probl` emes de “mod´ elisation”, c’est-` a-dire aux moyens de repr´ esenter, de r´ ealiser et de d´ eformer une forme tridimensionnelle. Les m´ ethodes pr´ esent´ ees dans ce chapitre ont essentiellement un caract` ere g´ eom´ etrique. Nous aborderons dans le chapitre suivant le cas de quelques mod` eles physiques qui peuvent servir
`
a la mod´ elisation d’un objet.
Nous regarderons, pour ces diff´ erentes m´ ethodes, dans quelle mesure il est possible de r´ ealiser des objets de forme quelconque. Toutes les m´ ethodes pr´ esent´ ees ici ne sont en effet pas adapt´ ees ` a la r´ ealisation de n’importe quel volume. En particulier, certaines approches permettent plus ou moins facilement des changements de topologie de l’objet. D’autres, au contraire, sont limit´ ees ` a des corrections de faible amplitude. L’intuitivit´ e est un autre aspect sur lequel nous nous attarderons, il n’est en effet pas rare qu’une certaine comp´ etence soit requise de la part de l’utilisateur.
7
1.2 Les d´ ebuts
1.2.1 Manipulation de volumes simples
Les premi` eres formes tridimensionnelles qui ont pu ˆ etre manipul´ ees par ordinateur furent naturellement les objets math´ ematiques les plus simples : cubes, sph` eres, cylindres et autres cˆ ones. En assemblant ces diverses primitives, il est possible d’obtenir des objets de forme plus complexe. Afin d’enrichir la gamme de formes que l’on pouvait obtenir de cette fa¸ con, une d´ emarche s’est rapidement impos´ ee : la Constructive Solid Geometry, plus connue sous son acronyme, CSG.
Le principe mis en œuvre est simple : il utilise des op´ erations ensemblistes sur les primitives pr´ ec´ edemment cit´ ees (prismes, sph` eres, cylindres). Les principales op´ erations utilis´ ees sont l’union, la soustraction, et l’intersection. Une forme complexe peut ˆ etre d´ ecrite comme un arbre, dont chaque nœud est l’une des op´ erations ensemblistes pr´ ecit´ ees, et chaque feuille est une primitive simple. On pourra par exemple r´ ealiser un trou circulaire dans un objet en lui soustrayant un cylindre, ou obtenir un chanfrein de fa¸ con similaire. L’intersection permet quant ` a elle d’obtenir un objet ` a partir de plusieurs de ses profils, par exemple.
Fig. 1.1 – Les trois op´ erations combinatoires de la Constructive Solid Geometry : union, diff´ erence et intersection.
Bien que tr` es simpliste, cette m´ ethode permet d’obtenir une gamme assez large d’objets, de fa¸ con relativement simple et syst´ ematique. Elle reste encore la m´ ethode la plus utilis´ ee aujourd’hui dans de nombreux domaines. On pourra citer par exemple l’architecture, qui se prˆ ete g´ en´ eralement bien ` a une description au moyen de formes simples, ou encore la concep- tion industrielle. De nombreux logiciels dits de CAD (Computer Assisted Design) reposent essentiellement sur ce principe, d’autant que bien souvent la r´ ealisation de la pi` ece elle-mˆ eme repose g´ en´ eralement sur les mˆ emes principes techniques, partant d’un bloc sur lequel on va g´ en´ eralement retirer de la mati` ere jusqu’` a obtenir la pi` ece d´ esir´ ee. En outre, les id´ ees in- troduites par cette m´ ethode (r´ ealisation d’un objet tridimensionnel en ajoutant ou retirant des ´ el´ ements), certes simples et naturelles, sont rest´ ees au cœur de bien des m´ ethodes de mod´ elisation 3D, ainsi que nous allons le voir.
Une autre m´ ethode importante et tr` es usit´ ee pour cr´ eer un volume tridimensionnel consiste
`
a transformer une courbe planaire en une surface en la d´ eplacant dans l’espace. La surface correspond au lieu g´ eom´ etrique occup´ e par les points de la courbe lors de son d´ eplacement.
Cette m´ ethode dite de sweeping est particuli` erement utile car on dispose d’une gamme relati-
vement importante d’outils math´ ematiques permettant d’obtenir une large gamme de courbes
planes. Parmi les d´ eplacements les plus employ´ es, on dispose ´ evidemment de la translation
rectiligne (ainsi, un simple cercle permet d’obtenir un cylindre, un polygone conduisant ` a un prisme droit) et de la rotation autour d’un axe, qui correspond en quelque sorte au travail du tourneur : ` a partir d’un contour on forme un volume de r´ evolution. Nous verrons plus tard que ces id´ ees sont reprises et ´ etendues par les surfaces d’optimisation.
1.2.2 Vers des maillages polygonaux
La r´ ealisation d’un volume 3D, par exemple avec les m´ ethodes pr´ ec´ edentes, n’aurait gu` ere d’applications s’il n’´ etait possible de le visualiser. Pour ce faire, il s’est d´ evelopp´ e de tr` es nombreuses techniques. Par exemple, on peut utiliser des m´ ethodes dites de lancer de rayon, ou raytracing. L’´ ecran (ou le dispositif d’affichage) va se comporter comme une cam´ era qui filmerait la sc` ene virtuelle. A chacun des pixels constituant l’image, on peut associer une direction dans l’espace virtuel o` u se trouve la sc` ene ` a afficher. Les algorithmes de lancer de rayon cherchent ` a d´ eterminer si ces directions croisent la surface d’un des objets de la sc` ene.
Cette m´ ethode permet de travailler avec des objets math´ ematiques tels que ceux d´ ej` a pr´ esent´ es. Mais la recherche d’une intersection est un probl` eme d´ elicat d’un point de vue math´ ematique, coˆ uteux en terme de temps de calcul, et ce d’autant plus que la sc` ene est com- plexe. Il s’est rapidement av´ er´ e que pour afficher rapidement un volume, il faudrait proc´ eder diff´ eremment. Le probl` eme s’est r´ ev´ el´ e ˆ etre essentiellement une question de projection d’objets 3D dans un plan. Le triangle est un objet dont la projection est simple, puisqu’il suffit de pro- jeter ses trois sommets. On a donc trouv´ e utile de transformer toute surface en un ensemble de triangles. Il ´ etait ainsi bien plus ais´ e de les projeter et de les afficher. Ces diff´ erents triangles sont g´ en´ eralement jointifs, de fa¸ con ` a recr´ eer une surface continue ; on parlera g´ en´ eralement de maillage.
Bien ´ evidemment, dans la plupart des cas, ce n’est qu’une approximation, puisque les objets sont alors compos´ es d’une multitude de facettes planes, et qu’il n’est plus possible d’obtenir de v´ eritables surfaces courbes. Cependant, dans la mesure o` u les triangles sont de taille suffisamment petite (et moyennant quelques pr´ ecautions sur l’´ eclairage que nous ne d´ etaillerons pas ici), l’illusion est amplement suffisante. Ainsi, pour des raisons tech- niques, la repr´ esentation des surfaces et volumes sous la forme d’un ensemble de triangles (´ eventuellement de polygones) est devenue peu ou prou un standard, et l’est encore aujour- d’hui. La plupart des outils travaillent donc avec cette repr´ esentation des surfaces, bien qu’elle ne soit pas la seule employ´ ee, ainsi que nous allons le voir.
B. Naylor a montr´ e que les op´ erations de CSG pouvaient tr` es bien ˆ etre men´ ees sur des mod` eles polygonaux [Nay90]. ` A partir de huit formes simples, pouvant comporter des attributs de couleur ou de texture, et des op´ erations de base pr´ esent´ ees pr´ ec´ edemment, il propose un outil de mod´ elisation 3D baptis´ e SCULPT permettant la cr´ eation de formes raisonnablement complexes. Dans cet environnement, on parle de sculpture et d’outils. L’outil est l’une des huit formes de base propos´ ees ` a l’utilisateur. Celui-ci va pouvoir le positionner, puis selon son choix r´ ealiser une soustraction ou une addition du volume de l’outil ` a l’objet sculpt´ e. Il lui est ´ egalement donn´ e la possibilit´ e de r´ ealiser ces mˆ emes op´ erations en permanence durant le d´ eplacement de l’outil.
L’article reprend et ´ etend des id´ ees plus anciennes, et s’attarde particuli` erement sur des
questions d’interface, tel le contrˆ ole de l’outil dans l’espace au moyen d’une simple souris 2D, de mˆ eme que les questions techniques que pose la d´ etection des collisions entre deux objets, n´ ecessaire au calcul des diff´ erentes op´ erations d’´ edition. Proposition est faite d’utiliser ` a cette fin des arbres de partitionnement binaire (ou BSP-trees) qui permettent une localisation rapide des objets les uns par rapport aux autres, et facilitent les calculs de collision.
1.3 Edition de maillages polygonaux ´
1.3.1 Manipulation explicite du maillage
Puisque la plupart des volumes sont repr´ esent´ es sous la forme de maillages polygonaux, il est naturel d’envisager toutes sortes d’outils permettant l’´ edition ou la modification de ces derniers. On peut ainsi esp´ erer alt´ erer leur forme, et obtenir des objets qu’il est difficile, voire impossible d’obtenir avec les d´ emarches pr´ ec´ edentes. On imagine ais´ ement, par exemple, pouvoir obtenir la forme irr´ eguli` ere d’un fruit en partant du maillage d’une sph` ere, que l’on d´ eformerait et modifierait ` a souhait.
La solution imm´ ediate au probl` eme de l’´ edition d’une surface constitu´ ee par un ensemble de triangles consiste ` a d´ eplacer chacun des sommets desdits triangles. En pratique, cette solution ne saurait ˆ etre vraiment satisfaisante, d’autant qu’il n’est pas rare, aujourd’hui, qu’un objet soit compos´ e de dizaines de milliers, voire de plusieurs millions de sommets, afin que la surface obtenue soit suffisamment lisse. Le d´ eplacement des sommets un ` a un demandera bien ´ evidemment beaucoup de travail ` a l’artiste, qui de plus aura beaucoup de difficult´ es s’il souhaite que la surface obtenue conserve son caract` ere lisse et ses ´ eventuels d´ etails.
Plutˆ ot que de d´ eplacer les sommets isol´ ement, on pr´ ef´ erera donc les manipuler par groupes.
La s´ election d’un ensemble de sommets que l’on manipulera de fa¸ con rigide ne r´ esout pas la plupart des probl` emes soulev´ es pr´ ec´ edemment, il a donc ´ et´ e propos´ e d’utiliser des fonctions d’influence : lorsqu’un sommet est manipul´ e par l’utilisateur, les sommets voisins du maillage seront ´ egalement d´ eplac´ es, sans que l’utilisateur ait sp´ ecifiquement besoin de les s´ electionner.
La fonction d’influence permet d’amortir le d´ eplacement des diff´ erents sommets avec la dis- tance au sommet ´ edit´ e, de sorte que la surface ne change pas lorsque l’on s’´ eloigne de la zone d’´ edition.
L’id´ ee d’utiliser de telles fonctions a bri` evement ´ et´ e introduite par R. Parent [Par77] dans un syst` eme de cr´ eation d’objets tridimensionnels qui introduit bien des id´ ees, qui, nous le verrons, seront reprises par la suite. Les travaux de L. Moccozet et P. Kalra [MK93] reprennent et d´ eveloppent cette id´ ee de fonctions d’influence permettant le contrˆ ole d’un ensemble de sommets d’un maillage polygonal.
1.3.2 Vers une abstraction du maillage
Les approches pr´ ec´ edentes ne sont pas pleinement satisfaisantes pour l’utilisateur. Il n’est
pas possible d’oublier le maillage sous-jacent au mod` ele, et l’artiste doit sp´ ecifiquement aller
choisir l’un des sommets dudit maillage. J.R. Bill et S.K. Lodha proposent dans [BL95] un
Goo Bell Cusp Cone Flat
Fig. 1.2 – Quelques exemples de fonctions d’influence propos´ ees par J. R. Bill dans [BL95]
moyen d’abstraire cette s´ election, en r´ eintroduisant le concept d’outil. Ces derniers sont des solides (plus pr´ ecis´ ement des hyperquadriques, pour des raisons d’efficacit´ e tant pour l’affi- chage que pour la d´ etection des collisions) qui vont r´ ealiser ce travail de s´ election ` a la place de l’utilisateur.
Fig. 1.3 – Deux courbes contrˆ olent les d´ eformations du maillage dans [KCVS98]. ‘A droite, diff´ erents exemples de d´ eformations obtenues avec cette approche.
Celui-ci se voit proposer de pousser ou de tirer les points du maillage au contact de l’outil.
Dans le premier cas par exemple, on recherche d’´ eventuels points du maillage se trouvant ` a l’int´ erieur du volume de l’outil apr` es un d´ eplacement de ce dernier. Si c’est le cas, ces derniers sont repouss´ es jusqu’` a se retrouver ` a l’ext´ erieur de l’outil. Bien ´ evidemment, il est possible d’employer les fonctions d’influence pr´ ec´ edemment cit´ ees afin de transmettre une partie de ce mouvement aux points voisins dans le maillage. Plus l’influence se fera sentir ` a longue distance, plus la surface semblera ´ elastique et caoutchouteuse.
Plutˆ ot que d’utiliser un outil, la m´ ethode propos´ ee par L. Kobbelt et al dans [KCVS98]
propose ` a l’utilisateur de d´ elimiter la zone qui devra ˆ etre d´ eform´ ee par une courbe ferm´ ee, dessin´ ee directement sur la surface. Les modifications du maillage seront donc restreintes
`
a l’int´ erieur de ce maillage. La d´ eformation proprement dite sera dirig´ ee par le d´ eplacement d’une seconde courbe, ferm´ ee ou non, trac´ ee au sein de la premi` ere. L’influence du d´ eplacement varie ensuite continˆ ument entre la courbe servant de contrˆ ole et celle d´ elimitant la zone de d´ eformation.
Afin de pr´ eserver les d´ etails les plus fins de la surface, il est ´ egalement propos´ e un sch´ ema
de simplification pour le maillage. L’algorithme construit une s´ erie de maillages de plus en plus
simples, en supprimant it´ erativement arˆ etes et sommets. La position des points supprim´ es est
stock´ ee sous la forme de ses coordonn´ ees dans un rep` ere local du maillage correspondant ` a
l’it´ eration suivante. Les d´ eformations sont alors appliqu´ ees au maillage le plus grossier, puis
r´ epercut´ ees ensuite sur les maillages les plus fins.
1.3.3 Autres m´ ethodes de manipulation
De nombreuses autres m´ ethodes de manipulation et de d´ eformation du maillage ont ´ et´ e sugg´ er´ ees. Plutˆ ot que d’explicitement tirer ou pousser certains des sommets du maillage, on peut par exemple le laisser ´ evoluer selon diverses ´ equations. Les sommets du maillage peuvent ˆ etre soumis ` a des forces qui provoqueront leur d´ eplacement. On peut par exemple imaginer une surface qui se dilate ou se contracte localement, en fonction de sa courbure, de ses normales, ou d’autres crit` eres.
J. Lawrence et T. Funkhouser proposent ainsi un syst` eme de mod´ elisation dans lequel l’utilisateur peint l’objet [LF03]. Les zones peintes vont alors se dilater ou se contracter, dans une direction donn´ ee ou selon leurs normales, ´ eventuellement en fonction de la courbure de la surface au point consid´ er´ e. On peut ainsi d´ eformer assez librement les maillages, ainsi que le montre la figure 1.4. Ce genre de d´ eformation ne g` ere cependant pas les ´ eventuelles auto- collisions, et les changements de topologie auxquels ils conduisent. Ainsi que l’indiquent les auteurs, les surfaces levelset, plus g´ en´ eralement connues sous le nom de surfaces implicites dans le domaine de l’infographie, r´ esolvent cette limitation en autorisant les changements de topologie, mais au prix de la perte de l’interactivit´ e. Nous reviendrons ult´ erieurement plus en d´ etail sur ce type de repr´ esentation.
Fig. 1.4 – Une peinture de l’objet permet de contrˆ oler la d´ eformation de son maillage dans [LF03].
1.3.4 Rectification automatique du maillage
Bien que l’utilisateur soit notablement aid´ e dans les probl` emes de s´ election, il ne peut toutefois pas totalement oublier la repr´ esentation sous-jacente de l’objet. Par exemple, s’il
´ etire trop une zone de l’objet, il peut arriver que les triangles constituant le maillage soient
trop ´ etir´ es pour que l’objet reste lisse. Pour corriger ces effets, il est mis ` a sa disposition
diff´ erents outils permettant d’agir sur le maillage, l’affinant par l’adjonction de triangles
suppl´ ementaires, le lissant, etc. Lorsqu’il s’agira de percer un trou dans la surface, l` a encore,
ce sont les triangles qui seront retir´ es, ` a l’utilisateur de s’assurer que le maillage permet de le
faire dans de bonnes conditions.
Les mod` eles pr´ ec´ edent supposent que l’on travaille sur des maillages suffisamment d´ etaill´ es, et proposent g´ en´ eralement des techniques de subdivision des polygones lorsque ceux-ci sont trop d´ eform´ es. Il faut constamment cr´ eer de nouveaux sommets et r´ eordonner les arˆ etes si l’on veut que le maillage garde de bonnes propri´ et´ es, en particulier visuelles (de courbure no- tamment) apr` es la d´ eformation. Ce genre de probl` eme apparaˆıt tout particuli` erement lorsque l’on essaie de d´ eplacer lat´ eralement une partie du maillage, le long de la surface, par exemple pour changer l’emplacement d’un d´ etail. H. Suzuki it et al montrent dans [SSKK98] comment supprimer, modifier et cr´ eer des triangles de fa¸ con ` a rendre ces d´ eplacements possibles.
1.3.5 D´ eformations par squelette
Les approches pr´ esent´ ees ci-dessus avaient pour principal objectif de d´ eformer, plus ou moins localement, le maillage polygonal. Elles permettent ais´ ement l’adjonction de d´ etails ` a l’objet, ainsi que diverses corrections. Toutefois, il n’est pas toujours ais´ e de d´ eformer une partie compl` ete de l’objet (lorsque c’est n´ ecessaire, d’autres approches sont employ´ ees, par exemple des volumes dits FFD, sur lesquels nous reviendrons ult´ erieurement, dans les travaux de L. Moccozet et P. Kalra [MK93]).
Fig. 1.5 – D´ eformations d’un bras au moyen d’un squelette [Blo02].
Par exemple, on peut avoir besoin de d´ eformer un maillage repr´ esentant un personnage, pour replier un bras ou bien une jambe. A fortiori, dans le cas d’un travail d’animation, il n’est bien ´ evidemment pas question de repartir de z´ ero pour chacune des poses que devra prendre le mod` ele. Outre la quantit´ e importante de travail que ce serait, il serait difficile d’assurer pr´ ecis´ ement la coh´ erence temporelle des diff´ erents d´ etails du mod` ele, et le r´ esultat ne serait pas satisfaisant.
La d´ eformation d’une surface peut g´ en´ eralement ˆ etre consid´ er´ ee comme le probl` eme d’un d´ eplacement coh´ erent et intuitif d’un ensemble de points. Comme nous venons de le voir, il est souvent tr` es utile de proposer ` a l’utilisateur d’agir non pas directement sur le maillage, mais plutˆ ot sur un objet abstrait (un outil, une courbe...). On peut envisager par exemple que l’utilisateur d´ eforme une structure ind´ ependante de l’objet, et que cette d´ eformation est traduite, de fa¸con automatique et transparente, en un mouvement pour les diff´ erents points du maillage ou les points de contrˆ ole de l’objet ´ edit´ e.
C’est pr´ ecis´ ement cette m´ ethode qui est souvent utilis´ ee par les animateurs : plutˆ ot que
de d´ eformer leurs mod` eles 3D, ils agissent sur un squelette sous-jacent. Chacun des points du
mod` ele est fix´ e ` a un ou plus g´ en´ eralement plusieurs ´ el´ ements du squelette, et sont d´ eplac´ es
en mˆ eme temps que ce dernier. Cette id´ ee n’est pas r´ ecente puisqu’on la trouve d´ ej` a dans les travaux de R. Parent [Par77], et a b´ en´ efici´ e entre-temps de nombreux d´ eveloppements [AMH02] [LCJ94] [LCN00].
Fig. 1.6 – Diff´ erentes fonctions de pond´ eration pour une d´ eformation par squelette. ` A gauche, seul l’´ el´ ement le plus proche contribue au d´ eplacement ; au centre, les poids sont fonction de l’inverse du carr´ e de la distance ; ` a droite, la solution propos´ ee dans [Blo02].
Le mouvement des points de l’objet est g´ en´ eralement choisi comme une combinaison lin´ eaire du mouvement des ´ el´ ements sous-jacents du squelette. Cette solution est particuli` ere- ment populaire ` a l’heure actuelle, notamment grˆ ace au support, sur les cartes graphiques r´ ecentes, de fonctions permettant la combinaison du mouvement de plusieurs points appel´ ees vertex blends, partie importante des op´ erations permises par les vertex shaders dans les cartes vid´ eo grand public actuelles [AMH02].
La principale difficult´ e concerne le choix, pour chacun des points, des poids respectifs de chacun des ´ el´ ements du squelette. Il arrive (g´ en´ eralement dans le cadre de l’animation) que ces poids soient sp´ ecifiquement d´ efinis par l’utilisateur. C’est bien ´ evidemment malais´ e, surtout lorsque les objets poss` edent des maillages tr` es d´ etaill´ es. les poids sont donc g´ en´ eralement calcul´ es de fa¸ con automatique, principalement sur des crit` eres de distance aux diff´ erentes parties du squelette. De nombreuses solutions ont ´ et´ e envisag´ ees, les poids ´ etant g´ en´ eralement choisis selon une fonction de l’inverse de la distance ` a chacune des parties du squelette. Il arrive g´ en´ eralement cependant que ces poids conduisent ` a des d´ eformations maladroites, et qu’il faille les corriger ` a la main. Cet inconv´ enient, longtemps consid´ er´ e comme in´ evitable, a
´ et´ e corrig´ e par J. Bloomenthal, ` a partir de m´ ethodes bas´ ees sur la convolution [Blo02].
Le squelette peut enfin ˆ etre sp´ ecifiquement construit par l’utilisateur, mais il peut ˆ etre
´ egalement construit de fa¸ con automatique ` a partir d’un mod` ele tridimensionnel, ainsi que le
montrent J. Bloomenthal et C. Lim dans [BL99]. La forme du squelette est constitu´ ee des
diff´ erents axes m´ edians du volume (c’est-` a-dire le lieu g´ eom´ etrique des points correspondant
aux centres des sph` eres inscrites dans le volume, illustr´ e sur la figure 1.7), et les articulations
sont d´ eduites des changements d’orientation de ces courbes m´ edianes. Une fois le squelette
construit, il est possible de d´ eformer l’objet en agissant sur le squelette lui-mˆ eme, et obtenir
diverses d´ eformations, torsions et ´ elongations de l’objet.
Fig. 1.7 – L’axe m´ edian d’un volume correspond au lieu g´ eom´ etrique constitu´ e des centres des sph` eres inscrites dans le volume.
1.3.6 Bilan
Les diff´ erentes approches pr´ esent´ ees au cours de ce chapitre se prˆ etent bien ` a des cor- rections de la forme d’un objet. En revanche, elles ne permettent pas la r´ ealisation ais´ ee d’un objet de forme quelconque. Par exemple, tout changement de topologie va supposer un remaillage de l’objet, qui doit ˆ etre g´ er´ e par l’utilisateur lui-mˆ eme.
Il est de fa¸con g´ en´ erale difficile de s’affranchir de la repr´ esentation sous-jacente du mat´ eriau.
Ainsi, des d´ eformations excessives peuvent conduire ` a un maillage tr` es ´ etir´ e, ce qui peut se r´ ev´ eler gˆ enant, tant pour l’affichage que pour la pr´ ecision des modifications ult´ erieures. Il faut en outre que le maillage soit suffisamment fin pour que les d´ eformations soient de bonne qualit´ e. Pour contourner ces ´ ecueils, diverses m´ ethodes mettent en place un remaillage auto- matique de la surface.
La manipulation directe des ´ el´ ements d’un maillage a cependant conduit ` a l’introduction, particuli` erement importante dans le cadre de la sculpture virtuelle, du concept d’“outil”.
L’outil permet g´ en´ eralement d’oublier partiellement, pour un temps, le maillage proprement dit, pour travailler ` a un niveau d’abstraction sup´ erieure. Diverses r` egles vont retraduire les mouvements de l’outil en changements au niveau du maillage. Un outil qui pousse ou tire une partie du maillage, le restant ´ etant g´ er´ e comme un mat´ eriau ´ elastique, par exemple, permet de mieux comprendre quels effets nos actions auront sur l’objet.
1.4 Surfaces lisses de forme libre
Les surfaces polygonales ont toutefois un grave d´ efaut. Constitu´ ees de morceaux de plans, elles sont incapables de mod´ eliser des surfaces lisses et courbes. Lorsque la mod´ elisation a pour but l’affichage, on peut contourner ce probl` eme en utilisant une grande quantit´ e de triangles de petite taille pour approcher au mieux la surface courbe. Ce n’est toutefois pas acceptable si l’on souhaite une d´ efinition pr´ ecise de la surface, et par ailleurs, manipuler une grande quantit´ e de polygones peut se r´ ev´ eler d´ elicat.
On pourrait songer ` a utiliser des morceaux de cˆ one, de cylindre ou des calottes sph´ eriques
pour compenser le manque des surfaces polygonales. Ce n’est h´ elas pas suffisant pour s’adapter
`
a n’importe quelle situation. La courbure est en effet uniforme ou varie lin´ eairement sur ces
´ el´ ements, et certaines surfaces, en particulier les surfaces organiques, peuvent montrer des courbures variant de fa¸ con complexe. De nombreuses suggestions ont ´ et´ e faites pour remplacer les polygones dans le cas de surfaces courbes, nous allons en voir quelques-unes, ainsi que les m´ ethodes qui permettent d’agir sur la forme de ces surfaces.
1.4.1 Les surfaces Splines param´ etriques
Pr´ esentation
Une premi` ere suggestion a ´ et´ e faite par l’ing´ enieur Pierre Bezier en 1972. Celui-ci, tra- vaillant chez Renault, avait besoin de descriptions de surfaces courbes pr´ ecises, exactes, et faciles ` a manipuler, dans le but de cr´ eer des pi` eces automobiles, puis de commander les ma- chines qui les fabriqueraient. Son id´ ee repose sur le principe des splines. Les splines sont des courbes qui s’efforcent d’interpoler un ensemble de points, dits points de contrˆ ole. Il existe plusieurs vari´ et´ es de splines, celles auxquelles nous nous int´ eresserons plus particuli` erement sont qualifi´ ees de B-splines.
Les B-splines sont des courbes d´ efinies et construites r´ ecursivement, ` a partir du principe du barycentre. Par exemple, dans le cas d’une B-spline de degr´ e 3, qui comporte 4 points de contrˆ ole, on construit pour chaque valeur d’un param` etre k variant entre 0 et 1 les deux segments dont les extr´ emit´ es correspondent aux barycentres de chaque paire de points de contrˆ ole affect´ es des coefficients k et 1 − k, puis un segment suppl´ ementaire de la mˆ eme fa¸ con, et enfin un point de la B-spline, toujours de fa¸ con barycentrique. Cette construction est illustr´ ee sur la figure 1.8 pour des valeurs de k ´ egales ` a 1/3 et 2/3.
Fig. 1.8 – Construction d’une B-spline d’ordre 3.
On obtient ainsi une courbe ferm´ ee, lisse, dont on peut choisir la forme en pla¸ cant conve- nablement les points de contrˆ ole. Les extr´ emit´ es de la B-spline passent pr´ ecis´ ement par les points de contrˆ ole, et leurs tangentes co¨ıncident avec les segments terminaux. Les surfaces de B´ ezier sont la traduction surfacique de cette id´ ee, avec cette fois-ci une grille n × n de points de contrˆ ole. Il existe d’autres variantes, que nous n’aborderons pas ici, qui sont notamment d´ ecrites dans [BFK84]. Ce type de courbe est fr´ equemment utilis´ e dans la plupart des logiciels de CAO, dont unisurf, le logiciel de mod´ elisation 3D cr´ e´ e par Pierre Bezier lui-mˆ eme.
Notons au passage que beaucoup d’outils parmi ceux d´ efinis pr´ ec´ edemment dans le cas de
surfaces polygonales peuvent ´ egalement convenir aux surfaces de Bezier, il suffira en effet de les appliquer aux points de contrˆ ole plutˆ ot qu’aux points du maillage.
Des points de contrˆ ole ` a la surface
L’un des inconv´ enients que pr´ esentent les surfaces de Bezier est que l’utilisateur contrˆ ole la surface par le biais de points de contrˆ ole, et non directement par des points de la surface proprement dite. Il faut donc un peu d’habitude lorsque l’on souhaite cr´ eer une forme pr´ ecise.
L’une des premi` eres tentatives visant ` a r´ esoudre cette difficult´ e est ` a mettre au cr´ edit de D. Forsey et R. Bartels, qui introduisent dans [FB88] les H-Splines. Celles-ci permettent une manipulation plus directe de la surface, en rempla¸ cant les points de contrˆ ole par d’autres points, certes toujours pr´ ed´ efinis, mais situ´ es sur la surface proprement dite. Ces points sont choisis de fa¸ con ` a correspondre ` a un maximum d’influence sur l’un des points de contrˆ ole, et sont ceux que l’utilisateur emploiera pour d´ eformer la surface.
Cette approche est d´ evelopp´ ee et ´ etendue par B. Fowler dans [Fow92]. Il est alors possible d’utiliser n’importe quel point de la surface comme point de contrˆ ole, la d´ eformation de la surface ´ etant ensuite d´ eduite automatiquement du mouvement du point choisi. Il est en outre permis de librement modifier les tangentes en ce point. Elles sont mod´ elis´ ees par un ´ el´ ement carr´ e tangent ` a la surface en ce point. En inclinant ce carr´ e, il est possible de fixer la direction des tangentes en ce point, et mˆ eme d’obtenir des effets de torsion en le faisant tourner autour de sa normale. La modification de la taille du carr´ e permet ´ egalement de jouer sur la courbure de la surface au point s´ electionn´ e. Ces divers effets sont illustr´ es sur la figure 1.9.
Fig. 1.9 – La d´ eformation de la surface B-Spline dans [Fow92] se fait ` a partir d’un polygone tangent ` a la surface, permettant, en plus du positionnement, diff´ erents effets de d´ eformation et de torsion.
Probl` emes de connexit´ e
Lorsque l’on utilise des carreaux param´ etriques pour repr´ esenter une surface, on peut
parfois rencontrer ´ egalement des probl` emes de continuit´ e entre les diff´ erents patchs (continuit´ e
de la surface, mais aussi de ses d´ eriv´ ees si l’on veut une surface lisse). Pour que la surface
puisse ˆ etre continue, il faut en principe que deux patchs adjacents partagent leurs points
de contrˆ ole. Raffiner localement un objet conduit alors souvent ` a une explosion du nombre
de points de contrˆ ole sur l’ensemble de l’objet. Si en outre l’on veut des tangentes, voire
des courbures continues au niveau de la jointure, il faudra introduire des points de contrˆ ole suppl´ ementaires, rendant la manipulation de la surface encore plus malais´ ee.
Un autre apport des H-splines de [FB88] est l’introduction d’overlays. Ce sont des B- Splines de petite taille, pos´ ees sur la surface, qui seront interpr´ et´ ees comme des corrections qui viendront pr´ eciser localement la forme de la surface. Cela permet d’introduire des d´ etails suppl´ ementaires sans avoir ` a raffiner davantage les ´ el´ ements initiaux. On peut combiner un nombre quelconque de ces surfaces suppl´ ementaires, pour cr´ eer des d´ etails aussi fins que n´ ecessaires. Cette approche a cependant quelques d´ efauts, elle n’est en particulier pas d´ efinie de mani` ere unique, et peut devenir assez d´ elicate ` a manipuler lorsque les raffinements se sont multipli´ es.
C. Gonzales-Ochoa et J. Peters trouvent d’autres d´ efauts ` a cette repr´ esentation, citant entre autres l’impossibilit´ e de g´ erer autre chose que des surfaces en “damier”. Ils proposent dans [GOP99] d’utiliser directement un maillage comme polygone de contrˆ ole, la surface elle- mˆ eme ´ etant construite ` a partir de triangles de Bezier construits sur les polygones du maillage.
Il est par ailleurs possible, lorsque l’on veut introduire localement des d´ etails suppl´ ementaires, de raffiner localement le maillage de la surface. Cette m´ ethode pr´ esente en outre l’avantage de pouvoir travailler avec n’importe quel type de maillage, que l’on peut ´ editer au besoin.
Ainsi, il est possible, en corrigeant manuellement le maillage, d’obtenir des changements de topologie, ainsi que le montre la figure 1.10.
Fig. 1.10 – Les changements de topologie sont possibles dans [GOP99], mais g´ er´ es par l’uti- lisateur lui-mˆ eme qui doit rectifier le maillage.
1.4.2 Les surfaces d’optimisation
Principe
Les surfaces d’optimisation sont une extension naturelle des surfaces de forme libre, comme les surfaces splines. Pour cr´ eer ces surfaces, l’utilisateur d´ efinit d’abord un ensemble de contraintes qu’elles devront v´ erifier. Ces contraintes peuvent par exemple ˆ etre des courbes spatiales sur lesquelles la surface devra prendre appui, des tangentes, etc. L’id´ ee consiste ` a pr´ eciser les endroits les plus int´ eressants de la surface, comme des bords, des singularit´ es, des arˆ etes ou bien encore des sommets. Le reste de la surface sera calcul´ ee de fa¸ con ` a minimiser un crit` ere, une ´ energie, qui prend g´ en´ eralement en compte l’´ elongation (on cherche une surface qui joint les contraintes de la fa¸ con la plus directe possible) et la courbure (on recherche avant tout des surfaces lisses).
H. P. Moreton et C. H. Sequin arguent dans [MS92] qu’il conviendrait plutˆ ot de minimiser
la variation de la courbure, de pr´ ef´ erence ` a la courbure proprement dite, afin de pouvoir librement obtenir des formes simples comme des cylindres, des cˆ ones ou des tores dont la courbure n’est pas nulle. Leur modeleur travaille par ailleurs plutˆ ot sur un maillage que sur des contraintes discr` etes.
D´ eformation de la surface
Si la surface ne r´ epond pas exactement aux attentes, il est ´ eventuellement possible de jouer sur les diff´ erents termes pr´ esents dans la fonctionnelle ` a minimiser. Afin de rendre cette modification suffisamment intuitive pour l’utilisateur, G. Celniker propose d’ajouter des poids et des forces suppl´ ementaires [CG91, CW92] qui feront ´ evoluer la surface. Dans ces articles sont introduits plusieurs outils de sculpture, qui permettent d’agir librement et directement sur la surface.
La difficult´ e, dans ces approches, tient parfois ` a la description choisie pour la surface.
Dans [CG91], la solution est calcul´ ee ` a partir d’´ el´ ements finis sur un maillage triangulaire.
Dans [CW92], c’est au contraire une surface B-spline qui est utilis´ ee. Afin de pouvoir g´ en´ erer des d´ eformations de toutes tailles sans difficult´ e, un sch´ ema de raffinement adaptatif similaire
`
a celui des overlay de [FB88] est sugg´ er´ e dans [WW92]. Dans ce dernier article, ce sont directement les contraintes (points et courbes) qui sont d´ eplac´ ees par l’utilisateur lorsqu’il souhaite d´ eformer sa surface.
1.4.3 Les surfaces de subdivision
Difficile de ne pas dire ´ egalement un mot des surfaces de subdivision, qui, en raison de leur souplesse et de leur capacit´ e ` a construire des formes complexes et n´ eanmoins lisses, connaissent un succ` es certain ces derni` eres ann´ ees. Les surfaces de subdivision reposent sur un principe simple : on part d’un maillage polygonal d’un objet, de topologie et de connectivit´ e quelconques, et on va le raffiner de fa¸ con it´ erative jusqu’` a obtenir une forme lisse.
De nombreux sch´ emas de subdivision ont ´ et´ e propos´ es, r´ epertori´ es pour la plupart par D. Zorin et al dans [ZSD + 00]. Le sch´ ema le plus utilis´ e est peut-ˆ etre celui de Catmull-Clark, d´ etaill´ e par exemple dans [HKD93]. La subdivision est r´ ealis´ ee en trois ´ etapes. Dans un premier temps, de nouveaux sommets sont cr´ e´ es au centre de chacune des faces du maillage polygonal. Puis, chacune des arˆ etes est coup´ ee en deux via l’adjonction d’un nouveau sommet.
La position des sommets originaux, enfin, est mise ` a jour en fonction de ces nouveaux points.
Le processus est ensuite r´ eit´ er´ e, et converge vers une surface lisse.
Tr` es heureusement, l’´ evaluation directe de la surface est possible, et il n’est pas indis- pensable de proc´ eder, en pratique, ` a la subdivision r´ ecursive de la surface. Dans le cas d’un mod` ele form´ e de polygˆ ones ` a quatre cˆ ot´ es, on retrouve en fait une surface correspondant ` a une B-spline cubique. J. Stam a montr´ e dans [Sta98] que les surfaces de subdivision de Catmull- Clark pouvaient ˆ etre directement ´ evalu´ ees mˆ eme en pr´ esence de sommets extraordinaires de valence diff´ erente de 4.
Le sch´ ema usuel des surfaces de subdivision tend ` a former des objets tr` es lisses, et il est
Fig. 1.11 – Subdivisions successives d’un maillage polygonal, pr´ esent´ ees dans [DKT98].
quasi impossible d’obtenir des plis marqu´ es sur la surface. Pour contourner cette difficult´ e, T.
DeRose introduit dans [DKT98] des r` egles sp´ eciales de subdivision, et associe une grandeur ` a chaque arˆ ete une valeur n. Durant les n premi` eres ´ etapes de subdivision, cette arˆ ete appliquera les r` egles sp´ eciales de subdivision, plutˆ ot que les r` egles habituelles, ce qui conduira ` a un plis d’autant plus marqu´ e que n est grand, tout en conservant une surface parfaitement lisse (except´ e dans le cas particulier o` u n est choisi infini). Les r´ esultats sont pr´ esent´ es sur la figure 1.12.
Fig. 1.12 – ` A gauche, le r´ esultat usuel obtenu par la m´ ethode de Catmull-Clark appliqu´ ee ` a un cube. A droite, les ar` etes du haut et du bas se sont vues affecter des poids croissants selon [DKT98].
Les surfaces de subdivision pr´ esentent des avantages incontournables lorsque l’on souhaite
cr´ eer des surfaces lisses et courbes. Elles se prˆ etent par ailleurs particuli` erement bien ` a des
sch´ emas d’´ edition multi-r´ esolution. A. Khodakovsky propose par exemple dans [KS99] une
m´ ethode permettant d’ajouter des d´ etails fins, sous la forme d’extrusion de courbes trac´ ees
sur la surface de subdivision. Les surfaces de subdivision reposent toutefois toujours sur la
manipulation d’un polygˆ one de contrˆ ole, et c’est ` a l’utilisateur de comprendre comment les
modifications apport´ ees ` a ces polygˆ ones vont se traduire sur la surface. Pour cette raison,
les surfaces de subdivision ne correspondent pas ` a ce que nous recherchons, et nous ne nous
pencherons pas plus avant sur les nombreux d´ eveloppement auxquels elles ont donn´ e lieu.
1.4.4 Bilan
Les surfaces de forme libre et les surfaces de subdivision permettent donc de d´ epasser les limitations intrins` eques aux mod` eles polygonaux : il est possible, sans avoir besoin de mul- tiplier la complexit´ e des mod` eles, d’obtenir des surfaces parfaitement lisses et courbes. Plus coˆ uteuses ` a utiliser dans un cadre temps r´ eel, elles ne remplaceront pas de sitˆ ot les mod` eles po- lygonaux pour tous les usages. Cependant, dans les domaines o` u le rendu n’a pas besoin d’ˆ etre tr` es rapide, comme par exemple le cin´ ema, elles sont devenues incontournables. Les splines ont ´ egalement r´ epondu ` a un besoin de l’industrie de conception qui avait besoin de pouvoir d´ efinir ais´ ement des surfaces courbes avec un nombre limit´ e de param` etres. Cependant, ces surfaces d´ ependent directement d’un polygˆ one de contrˆ ole, qu’on ne peut ignorer au moment de l’´ edition. De sorte qu’il n’est pas possible de modifier directement la forme d’une surface.
Les ´ eventuels changements de topologie, notamment, doivent ˆ etre g´ er´ es manuellement, et si possible pr´ evus d` es le d´ ebut.
Les surfaces d’optimisation sont un peu plus souples de ce cˆ ot´ e, puisque l’on ne manipule pas des points de contrˆ ole, mais des ´ el´ ements directement plac´ es sur la surface : courbes, plans tangents, etc. On peut ainsi modifier assez simplement la forme de la surface en d´ epla¸ cant ces ´ el´ ements de contrˆ ole. Cependant, la forme de la surface entre ces ´ el´ ements est d´ efinie automatiquement, et on ne peut agir dessus que de fa¸ con indirecte. Certes, il est possible d’ajouter des contraintes pour d´ eplacer un point pr´ ecis de la surface, mais les modifications ainsi occasionn´ ees ne sont pas n´ ecessairement intuitives, dans la mesure o` u la surface corres- pond ` a une optimisation globale d’un crit` ere. L’ajout de contraintes suppl´ ementaire rend cette optimisation plus difficile, mais peut aussi avoir des cons´ equences inattendues sur la forme de la surface ` a d’autres endroits plus ´ eloign´ es. Cela demande donc un minimum d’habitude pour obtenir exactement la forme souhait´ ee.
1.5 Mod´ elisation par surfaces implicites
1.5.1 Pr´ esentation des surfaces implicites
Il existe, dans le domaine des math´ ematiques, essentiellement deux moyens de d´ ecrire une surface (et par extension un volume). On peut employer une description param´ etrique de la surface, dans laquelle un groupe d’´ equation permet d’obtenir l’ensemble des points constituant la surface en faisant varier deux param` etres. Les surfaces compos´ ees d’un ensemble de triangles, ou bien d’´ el´ ements de surface de Bezier, correspondent ` a cette description. Mais on peut aussi choisir, en math´ ematiques, d’employer une description alg´ ebrique d’une surface.
Dans cette description, la surface correspond au lieu g´ eom´ etrique des points v´ erifiant une certaine ´ equation, de type f (x, y, z) = constante.
Bien que courante et tr` es usit´ ee dans le domaine des math´ ematiques, cette description n’a
´ et´ e adopt´ ee qu’assez tardivement dans le domaine de l’informatique graphique. Elle pr´ esente
en effet un d´ efaut important : la surface n’´ etant pas d´ efinie explicitement, son affichage pose
quelques difficult´ es techniques. Quelques m´ ethodes de rendu sont cependant venues ` a bout
de ce probl` eme, ce qui a permis aux surfaces implicites de devenir populaires. Nous revien-
drons ult´ erieurement sur ces m´ ethodes de rendu, nous nous int´ eresserons ici uniquement aux questions de mod´ elisation.
1.5.2 Expressions possibles du champ scalaire
Les surfaces (qui d´ elimitent un volume ferm´ e) sont d´ ecrites dans ce type de repr´ esentation comme une iso-surface d’une fonction scalaire f d´ efinie sur l’ensemble de l’espace. Reste ` a d´ efinir cette fonction f, ce qui peut ˆ etre fait de plusieurs fa¸ cons distinctes.
– La premi` ere est d’utiliser une forme explicite pour f , utilisant des fonctions de bases (nurbs, etc). Si le calcul de f est simple, il est en revanche plus d´ elicat de manipu- ler directement la surface, puisque les modifications locales de la forme de la surface ne peuvent que rarement ˆ etre exprim´ ees simplement en fonction des param` etres des fonctions de base.
– Une seconde approche possible reprend et ´ etend le concept de CSG. L’inconv´ enient des op´ erations de CSG est leur manque de continuit´ e. On souhaiterait pouvoir assembler deux ´ el´ ements en ayant une jointure avec de bonnes propri´ et´ es de continuit´ e. Sous certaines conditions, il est possible d’op´ erer une sorte de “fusion” de deux volumes implicites i et j simplement en sommant leurs fonctions f i et f j . On peut donc construire simplement des surfaces complexes en fusionnant (ou bien en soustrayant) des formes de base, tels des ellipso¨ıdes ou des sph` eres. Cette approche permet tr` es ais´ ement de modifier la topologie d’un objet.
– Une derni` ere approche consiste ` a ´ echantillonner la fonction f en divers points d’une grille r´ eguli` ere (le plus souvent sous la forme d’un maillage rectangulaire ou d’un oc- tree), et d’interpoler les valeurs de f entre ces divers points d’´ echantillonnage. Cette repr´ esentation pr´ esente l’avantage de se prˆ eter tr` es bien aux modifications locales de la forme de la surface, de mˆ eme qu’aux changements de topologie sans conduire ` a une augmentation du coˆ ut d’´ evaluation de f, comme c’est le cas de la fusion progressive de primitives.
1.5.3 Isovolumes exprim´ es directement
L’utilisation d’une expression explicite pour le champ f est a priori difficilement utilisable.
On peut ais´ ement obtenir quelques formes simples, comme des hyperquadriques, ou plus complexes, dont on peut librement choisir les param` etres. R´ ealiser un objet de forme complexe se r´ ev` ele cependant beaucoup plus difficile, la base de fonctions ` a utiliser et les param` etres ad´ equats ´ etant difficiles ` a ´ etablir.
On trouve cependant quelques outils de mod´ elisation qui s’efforcent de proc´ eder de cette fa¸ con. A. Raviv et G. Elber proposent par exemple de mod´ eliser des objets d´ ecrits dont le champ scalaire est d´ ecrit par une somme de patchs constitu´ es de fonctions B-splines ` a trois variables [RE99], d´ ecrites par une ´ equation de type :
q(u, v, w) =
l
X
i=0 m
X
j=0 n
X
k=0
P i,j,k B i (u)B j (v)B k (w) (1.1)
Un outil, de forme quelconque, peut venir ajouter ou retirer de la mati` ere en agissant sur les diff´ erents coefficients P i,j,k pond´ erant chacune des fonctions B-spline. On peut ainsi librement cr´ eer un objet de forme et de topologie quelconques. C’est toutefois ` a l’utilisateur que revient la tˆ ache d´ elicate de cr´ eer et placer les diff´ erents patchs, ce qui n’est pas toujours facile. C’est ´ egalement ` a lui que revient la tˆ ache de s´ electionner le patch dont les coefficients seront mis ` a jour par l’action des outils.
K. Mc Donnel reprend dans une s´ erie d’articles [MQ00, MQW01, MQ02] le concept des B-splines triparam´ etriques et des surfaces de subdivision pour d´ ecrire un objet implicite, et propose des moyens d’´ edition plus vari´ es pour d´ eformer la surface. Ainsi, il est possible d’utili- ser par exemple des outils physiques pour tirer ou repousser une partie de l’objet sculpt´ e : des ressorts, attach´ es ` a la grille d´ efinissant les B-Splines, permettent de mod´ eliser les d´ eformations lorsque l’on tire sur un point de la surface, qui ` a son tour d´ eplacera des sommets du maillage.
Il est par ailleurs propos´ e un retour haptique aux op´ erations de sculpture. Pour changer la raideur des ressorts, et ainsi jouer sur le comportement physique de l’objet virtuel, les auteurs proposent simplement ` a l’utilisateur de peindre la surface.
D’autres outils sont ´ egalement propos´ es : inflation locale de l’objet, peinture, etc. L’ex- trusion est rendue possible par l’ajout explicite de cellules, de mˆ eme que les changements de topologie. Les limitations de cette approche tiennent ` a la pr´ esence d’un polygone de contrˆ ole, mˆ eme s’il est autant que possible cach´ e ` a l’utilisateur. Ce dernier est cependant r´ eguli` erement amen´ e choisir des cellules ou des facettes, par exemple durant les op´ erations d’extrusion ou de changement de topologie. Cette op´ eration peut ˆ etre d´ elicate si le mod` ele n’a pas ´ et´ e con¸ cu au d´ epart pour pr´ esenter des ar` etes aux bons endroits, ou lorsque le r´ eseau a ´ et´ e tr` es d´ eform´ e.
Fig. 1.13 – En haut, des op´ erations d’extrusion (ajout de cellule) et d’´ erosion (suppres-
sion) propos´ ees par K. Mc Donnel et al dans [MQ02]. En bas ` a gauche, deux exemples de
d´ eformations d’un objet pr´ esent´ ees dans le mˆ eme article. En bas ` a droite, quelques r´ ealisations
obtenues au moyen du syst` eme propos´ e.
1.5.4 Fusion de volumes ´ el´ ementaires
L’une des capacit´ es int´ eressantes des surfaces implicites r´ eside, on l’a dit, dans leur capacit´ e
`
a fusionner de fa¸con lisse des volumes ´ el´ ementaires. J. Blinn a ´ et´ e le premier ` a utiliser cette possibilit´ e int´ eressante pour permettre le rendu de mol´ ecule complexes (en l’occurrence, des h´ elices d’ADN) [Bli82]. Son id´ ee consiste ` a fusionner des sph` eres (une pour chaque atome de la mol´ ecule), d´ ecrites de fa¸ con implicite par une ´ equation de la forme :
f i (r) = a e −b|r−r
i|
2(1.2)
o` u r i correspond au centre de l’atome consid´ er´ e.
En sommant ces diff´ erentes fonctions f i , on cr´ ee tr` es simplement une surface lisse consis- tant en la fusion de ces ´ el´ ements, comme le montre la figure 1.14. Les param` etres a et b permettent de jouer ` a la fois sur le rayon de la primitive et sur la distance ` a partir de laquelle deux primitives vont commencer ` a fusionner. Les volumes ainsi reconstruits ont ´ et´ e qualifi´ es de “blobby models” ou “blobs”. La d´ emarche a ´ et´ e rapidement adopt´ ee par de nombreux mo- deleurs, car elle permet de cr´ eer des volumes courbes et lisses de fa¸ con relativement simple, mˆ eme si d´ eterminer la position et les param` etres de chacun des ´ el´ ements pour obtenir une surface d´ etermin´ ee est loin d’ˆ etre quelque chose d’ais´ e.
Fig. 1.14 – Exemple de surface implicite (` a droite) obtenue par la fusion de trois ´ el´ ements de base (` a gauche).
Blobbies, Metaballs et Soft objects
Cette description pr´ esente dans de nombreux domaines l’inconv´ enient d’avoir une contri- bution non nulle de chacun des ´ el´ ements de l’objet ` a une distance quelconque, de sorte que lorsque le nombre de primitives utilis´ ees augmente, il en est de mˆ eme pour le temps de calcul.
Diverses variantes ont donc ´ et´ e propos´ ees. Une premi` ere am´ elioration de cette fonction f i combine deux morceaux de parabole afin de cr´ eer une fonction de forme similaire, mais qui s’annule au-del` a d’une certaine distance.
f i (r) =
a(1 − 3d b
22) si 0 ≤ d ≤ 3 b
3a
2 (1 − d b ) 2 si b 3 ≤ d ≤ b 0 si b ≤ r
o` u d = |r − r i |. (1.3)
L’id´ ee g´ en´ erale est similaire, et s’est vue baptis´ ee du nom de “Metaball”. Seule change en
fait la fa¸ con de d´ eduire f de la distance ` a la primitive. Une seconde suggestion a ´ et´ e faite
par les fr` eres Wyvill afin d’´ eviter le calcul de r qui n´ ecessite l’emploi d’une racine carr´ ee. On parle alors de “Soft objects” [WMW86, WW89] :
f i (r) =
a(1 − 4d 9b
66+ 17d 9b
44− 22d 9b
22) si d ≤ b
0 si b ≤ d avec toujours d = |r − r i |. (1.4)
Les possibilit´ es concernant les fonctions f i sont nombreuses, et ce genre de description est tr` es utile pour mod´ eliser des objets d´ eformables. Nous nous servirons ult´ erieurement de ce genre de description implicite pour cr´ eer un mod` ele volumique de main, avec des expres- sions un peu diff´ erentes pour les termes f i , permettant de contourner quelques difficult´ es sur lesquelles nous ne nous attarderons pas pour l’instant.
Surfaces implicites ` a squelette
Dans les mod` eles pr´ ec´ edents, les diff´ erentes expressions des termes f i utilisent la distance
`
a un point de l’espace. En fait, comme le sugg` erent J. Bloomenthal et B. Wyvill dans [BW90], il est possible de consid´ erer la distance ` a n’importe quel objet g´ eom´ etrique : un segment, une courbe, une surface... Le potentiel ainsi cr´ e´ e est simplement fonction de la distance entre le point P consid´ er´ e et cette primitive S : f i (r) = F(dist(P, S)). L’effet obtenu correspond simplement ` a un enrobage de la primitive. La forme de la fonction potentiel F joue un rˆ ole important dans le processus de fusion. Plus elle d´ ecroˆıt lentement avec la distance, plus la fusion des diff´ erents ´ el´ ements sera douce.
Plutˆ ot qu’une simple somme des diff´ erentes contributions f i , d’autres approches ont ´ et´ e propos´ ees. Si la somme de contributions fournit une fusion lisse d’un ensemble d’´ el´ ements, les fonction max et min permettent de retrouver les notions d’union et d’intersection propres aux CSG (´ evidemment, la jonction lorsque l’on utilise de telles fonctions est toujours continue, mais pr´ esente des discontinuit´ es des tangentes). Ces diff´ erentes approches sont unifi´ ees ` a travers les R-functions d´ efinies par A. Pasko et al dans [PASS95]. On pourra ´ egalement citer la technique de m´ elange proc´ edural introduite par J. Bloomenthal dans [BW90].
L’un des inconv´ enients de ces approches est que le r´ esultat obtenu d´ epend du d´ ecoupage du squelette. L’isosurface obtenue ` a partir d’un segment n’est pas la mˆ eme que celle qu’on obtiendrait en combinant les deux moiti´ es de ce mˆ eme segment. Pour obtenir cette propri´ et´ e, J. Bloomenthal sugg` ere de convoluer le squelette par la fonction potentiel F [BS91]. Dans l’article en question, cette fonction potentiel s’exprime par F(d) = exp(−d 2 /2), et le champ scalaire obtenu, qui v´ erifie alors ce principe de superposition, vaut alors :
f (r) = (F ∗ S)(r) = Z
S
e −
|s−r|2
2
