o` u la somme est ´ etendue ` a tous les outils qui exercent une influence sur la cellule

Les diff´erents coefficients kl de la combinaison, repr´esentant l’influence de chacun des

outils sur la cellule ´etudi´ee, s’exprimeront quant `a eux par :

k_l = ¹

2⁻

d_l−d_l

0

2dl l

0

(4.2)

o`u l<sup>0</sup> correspond `a l’outil le plus proche de la cellule, l except´e (c’est-`a-dire l’outil l⁰

cor-respondant `a la plus petite pseudo-distance d_l

0

). `A travers cette formule, le mat´eriau est en

quelque sorte “d´ecoup´e” et partag´e entre les outils, et les mouvements varient continuement

(au premier ordre) `a l’int´erieur de celui-ci.

Le r´esultat de la d´eformation d’une barre d’argile sous l’action conjointe de quatre outils

aux mouvements ind´ependants est pr´esent´e sur la figure 4.1. La d´eformation obtenue est `a

nouveau un peu plus heurt´ee et anguleuse que ce que l’on obtiendrait avec un mat´eriau r´eel.

C’est un d´efaut que l’on retrouve r´eguli`erement. Dans la r´ealit´e, la r´eponse du mat´eriau n’est

pas lin´eaire, et il apparaˆıt des d´eplacements dans des directions diff´erentes des outils, que notre

mod`ele (bas´e sur une combinaison lin´eaire des d´eplacements des outils) n’est pas en mesure

de reproduire. La mati`ere r´eelle, un peu moins fluide que notre mat´eriau, fait parfois montre

de r´eponses un peu plus riches `a certaines contraintes, conduisant `a de tels d´eplacements

lat´eraux. Les courbures obtenues au niveau d’un pli avec un mat´eriau r´eel sont ainsi un peu

plus adoucies.

Fig. 4.1 – D´eformation d’une barre d’argile sous l’action de quatre outils.

4.2.2 Rotation des outils pour une interaction plus riche

Pour l’instant, nous avons examin´e uniquement le cas d’outils en translation dans

l’es-pace de travail. Cela permet d’obtenir une assez large gamme d’effets, mais nous aimerions

´egalement pouvoir tourner les outils. La rotation des outils devrait permettre d’obtenir plus

facilement des plis dans l’objet sculpt´e, ou bien des effets plus sp´ecifiques, de torsion par

exemple.

Le mouvement d’un solide, quel qu’il soit, peut ˆetre d´efini en un pointO quelconque par

la donn´ee de la vitesse de ce point,u_O, et du mouvement de rotation du solide ω. A partir

de ces informations, il est possible d’en d´eduire le mouvement δA d’un point A quelconque

rigidement li´e au solide :

u_A=u₀+AO×ω. (4.3)

Ce type de relation d´efinit un champ de vissage, c’est-`a-dire la combinaison d’une rotation

suivant un axe et d’une translation le long de ce mˆeme axe. Une illustration en est donn´ee

sur la figure 4.2. Pour tenir compte de la rotation des outils, nous allons simplement utiliser

ces champs de d´eplacement en lieu et place de la seule translation des diff´erents outils dans

l’´equation 4.1. Nous sommes alors en mesure de d´eformer l’objet sculpt´e simplement par

rota-tion des diff´erents outils. Une barre prise entre deux outils en rotation pourra donc ais´ement

ˆetre pli´ee, sous l’action conjointe des deux outils.

Comme ´evoqu´e pr´ec´edemment, les d´eformations que l’on peut obtenir grˆace `a cet ajout

sont nombreuses et vari´ees. En particulier, il est alors possible d’obtenir des effets de torsion

qu’il aurait ´et´e difficile de simuler avec de simples outils en translation. Si l’on prend le

cas d’une barre, par exemple, et que l’on tourne ses extr´emit´es dans des sens oppos´es, on

obtient un tel effet de torsion du mat´eriau. Si la section de la barre est carr´ee, la torsion est

alors bien visible. La figure 4.3 montre que les r´esultats obtenus avec notre simulation sont

raisonnablement proches de ce que l’on peut effectivement obtenir avec de la pˆate `a modeler.

Dans la r´ealit´e, on s’attend parfois `a une rupture de la barre en son milieu apr`es une

torsion importante. En fait, pour peu que le mat´eriau soit suffisamment fluide, cette rupture

n’aura pas lieu. Elle est en fait provoqu´ee par un ´eloignement inconscient des deux mains

de l’utilisateur qui ´etire la barre en mˆeme temps qu’il la tord (la conservation du volume

empˆecherait tout amincissement de la barre en son centre, n’eˆut ´et´e l’´eloignement des deux

extr´emit´es).

Fig.4.2 – En haut `a gauche, le champ de d´eplacement associ´e `a un outil en rotation. En haut

`

a droite, la combinaison de deux outils permet la flexion d’une barre d’argile. En dessous, les

r´esultats obtenus par notre simulation.

4.3 Des param`etres intrins`eques suppl´ementaires

4.3.1 Introduction

La seule r´epartition des masses ne d´ecrit bien ´evidemment pas compl`etement la mati`ere

simul´ee. Elle d´epend d’une grande quantit´e d’autres param`etres parmi lesquels on peut citer

la temp´erature, la viscosit´e, la composition, et de nombreuses autres grandeurs

thermodyna-miques. Pour notre application, nous n’avons pas besoin d’introduire toutes ces grandeurs,

mais l’adjonction de certaines de ces derni`eres nous permettrait d’enrichir notre mod`ele de

glaise.

Les grandeurs physiques peuvent g´en´eralement ˆetre class´ees parmi deux ensembles : les

param`etres qualifi´es d’extrins`eques et ceux que l’on appelle intrins`eques. Dans le premier cas,

les grandeurs sont directement proportionnelles `a la quantit´e de mati`ere consid´er´ee. C’est le

cas par exemple de la masse ou du volume. Dans le second cas, la grandeur ne d´epend pas

de la quantit´e de mati`ere. C’est par exemple le cas de la temp´erature, de la teneur en eau du

mat´eriau, ou bien encore de la composition du mat´eriau.

On s’int´eressera essentiellement dans la suite aux seules grandeurs intrins`eques. Il est

de toute fa¸con ais´e de passer de grandeurs extrins`eques `a des grandeurs intrins`eques en les

rapportant `a la quantit´e de mati`ere consid´er´ee. On supposera que les grandeurs ´etudi´ees sont

homog`enes `a l’´echelle d’une cellule de notre grille (en fonction de la pr´ecision que l’on souhaite

vis-`a-vis de ces param`etres, il faudra donc ´eventuellement affiner ladite grille pour que cette

Fig.4.3 – L’effet de torsion illustr´e sur une barre d’argile de section carr´ee. Le comportement

de la simulation, en bas `a gauche, est similaire `a celui d’un mat´eriau r´eel.

hypoth`ese puisse ˆetre v´erifi´ee). Pour chaque grandeur intrins`eque introduite, les cellules de la

grille s’enrichiront donc d’un nouveau param`etre, qui d´ecrira la grandeur en question pour le

fluide contenu dans chacune de ces cellules.

4.3.2 Fluidit´e du mat´eriau

De l’´equation 3.2, nous avions retenu deux termes pour notre mod`ele. Chacun de ces deux

termes est `a l’origine d’une des couches de simulation. Nous avons vu que si l’on s’int´eresse

`

a leurs importances respectives, on constate qu’elle est gouvern´ee par la pr´esence d’un terme

de viscosit´e cin´ematique,ν : lorsque cette viscosit´e est grande, le mat´eriau aura un

compor-tement plus ´elastique, moins fluide. Cette viscosit´e nous a d´ej`a permis tantˆot de pond´erer les

contributions des deux premi`eres couches de notre mod`ele.

Dans le cas de l’argile, la viscosit´e est essentiellement une question de teneur en eau. Plus

le mat´eriau est riche en eau, plus sa viscosit´e cin´ematique tend `a ˆetre faible, et plus le mat´eriau

est fluide. Le sculpteur exploite naturellement cette possibilit´e en ajoutant de l’eau, ou en

faisant s´echer son argile pour l’amener au degr´e de fluidit´e qu’il souhaite. Notre but, encore

une fois, n’est pas ici de reproduire fid`element et de fa¸con quantitative le comportement d’une

argile. Nous ne chercherons donc pas `a lier pr´ecis´ement la teneur en eau et la viscosit´e du

mat´eriau. Ce qui nous semble utile, c’est que l’artiste puisse jouer sur ces param`etres, et que

le comportement du mat´eriau, d’un point de vue qualitatif, soit suffisamment convaincant.

Dans le document Modélisation, suivi et simulation d'objets articulés et déformables. Application au modelage réel d'une argile virtuelle (Page 111-114)