Nous allons donc introduire un premier param` etre suppl´ ementaire pour le mat´ eriau, not´ e

a leurs importances respectives, on constate qu’elle est gouvern´ee par la pr´esence d’un terme

de viscosit´e cin´ematique,ν : lorsque cette viscosit´e est grande, le mat´eriau aura un

compor-tement plus ´elastique, moins fluide. Cette viscosit´e nous a d´ej`a permis tantˆot de pond´erer les

contributions des deux premi`eres couches de notre mod`ele.

Dans le cas de l’argile, la viscosit´e est essentiellement une question de teneur en eau. Plus

le mat´eriau est riche en eau, plus sa viscosit´e cin´ematique tend `a ˆetre faible, et plus le mat´eriau

est fluide. Le sculpteur exploite naturellement cette possibilit´e en ajoutant de l’eau, ou en

faisant s´echer son argile pour l’amener au degr´e de fluidit´e qu’il souhaite. Notre but, encore

une fois, n’est pas ici de reproduire fid`element et de fa¸con quantitative le comportement d’une

argile. Nous ne chercherons donc pas `a lier pr´ecis´ement la teneur en eau et la viscosit´e du

mat´eriau. Ce qui nous semble utile, c’est que l’artiste puisse jouer sur ces param`etres, et que

le comportement du mat´eriau, d’un point de vue qualitatif, soit suffisamment convaincant.

Nous allons donc introduire un premier param`etre suppl´ementaire pour le mat´eriau, not´e

η, qui repr´esentera la fluidit´e du mat´eriau (cette fluidit´e trouvant son origine dans la teneur en

eau du mat´eriau, sa temp´erature, etc). Pour plus de simplicit´e, on imposera que ce param`etre

varie entre 0 (le mat´eriau est essentiellement d´epourvu de tout comportement fluide, et se

pr´esente comme tr`es ´elastique) et 1 (le mat´eriau ´etant alors pratiquement un fluide d´epourvu

de viscosit´e). Cette fois, ce n’est plus un param`etre global, mais bien une grandeur d´efinie de

fa¸con ind´ependante en tout point du mat´eriau.

La principale difficult´e `a r´esoudre lorsque l’on souhaite simuler une grandeur suppl´ementaire

r´esidera dans la fa¸con dont nous traiterons le m´elange de deux quantit´es de mat´eriaux dont les

caract´eristiques sont diff´erentes. Par exemple, lorsque l’on a une cellule comportant une

quan-tit´e n₁ de mati`ere, dont la teneur en eau vautη₁ et que l’on souhaite y ajouter une quantit´e

n₂ de mati`ere de teneur en eauη<sub>2</sub>. La quantit´e totale de mati`ere obtenue vaut naturellement

n1 +n2, et la quantit´e d’eau pr´esente dans le m´elange correspond alors `a n1η1 +n2η2. La

teneur en eau de l’ensemble s’exprime donc comme le barycentre des teneurs en eau des deux

´echantillons initiaux, dont les poids sont les quantit´es de mati`ere respectivement apport´ees

par ces deux ´echantillons.

La plupart des grandeurs physiques se comporteront, vis-`a-vis des m´elanges, de fa¸con

identique, et il est g´en´eralement possible d’utiliser un calcul barycentrique similaire pour

obtenir les caract´eristiques du m´elange. Si l’on souhaitait s’int´eresser `a la temp´erature, il

faudrait estimer les quantit´es de chaleur apport´ees par chacun des deux ´echantillons, qui

font intervenir leurs temp´eratures et leurs capacit´es thermiques respectives. G´en´eralement,

les capacit´es thermiques des deux ´echantillons sont identiques (dans la mesure o`u le mat´eriau

est homog`ene et o`u les temp´eratures varient suffisamment peu pour que l’on puisse n´egliger

toute variation de la capacit´e thermique), et on peut consid´erer T_{f inale} = n₁T₁ +n₂T₂.

Le m´elange de quantit´es ´egales d’argile respectivement `a vingt et quarante degr´es permettra

d’obtenir un m´elange `a une temp´erature avoisinant les trente degr´es.

4.3.3 Utilisation de la fluidit´e dans la simulation

Nous avons d´ej`a vu, dans le chapitre pr´ec´edent, que la fluidit´eη est utile pour d´eterminer

l’efficacit´e de la transmission de la quantit´e de mouvement de l’outil au mat´eriau. Si un outil

tente d’exercer un effort sur une zone tr`es fluide du mat´eriau, il s’y enfoncera quelque peu

avant de parvenir `a le d´eplacer.

Le param`etreηqui intervient dans l’expression 3.23 est donc celui caract´erisant le mat´eriau

au niveau du contact avec l’outil. A condition toutefois de pouvoir supposer que l’outil en

question soit d’une taille suffisamment petite pour que ladite fluidit´e ne varie pas dans des

proportions importantes sur l’ensemble de la surface de contact. On pourra en prendre la

valeur m´ediane, ou plus simplement la valeur maximale

Ce n’est cependant pas le seul avantage que l’on peut tirer de l’introduction d’un terme

local de fluidit´e `a notre mat´eriau. Nous pouvons en effet envisager de tenir compte des effets

d’une viscosit´e non-homog`ene `a l’interieur du mat´eriau dans la transmission du mouvement `a

l’int´erieur de celui-ci. Dans les zones peu visqueuses, par exemple l`a o`u la glaise contient une

importante quantit´e d’eau, le mouvement est en effet transmis moins efficacement de proche

en proche. L’influence d’un outil se fera donc moins sentir si elle est vue `a travers une zone

de l’objet plus fluide.

Cet effet peut ˆetre traduit au travers du calcul de la pseudo-distance `a un outil, qui

cor-respond directement `a son influence. La pseudo distance `a un outil augmente plus rapidement

dans les zones o`u le mat´eriau est tr`es fluide (traduisant un affaiblissement plus rapide de son

influence). L’expression 3.20 est, pour ce faire, remplac´ee par :

d_i

0

,j

0

,k

0

=d_i,j,k+ ¹

n_i,j,k(1−η_i,j,k)^{. (4.4)}

La figure 4.4 illustre les effets induits par une fluidit´e non-homog`ene dans le mat´eriau.

La barre de droite, plus fluide au niveau de son extr´emit´e droite, ne s’est pas d´eform´ee de la

mˆeme fa¸con que la barre homog`ene, sur la gauche. Les parties les plus fluides du mat´eriau se

d´eforment plus facilement que les autres, ce qui permet d’obtenir divers effets int´eressants.

Pr´ecisons que, dans cet exemple, afin de mieux illustrer les effets de non-homog´en´eit´e du

mat´eriaux, la transmission du mouvement de l’outil au mat´eriau a ´et´e suppos´ee parfaite

(comme si le mat´eriau avait une fluidit´e nulle au niveau du contact). C’est par ailleurs un

autre avantage du travail avec une argile virtuelle : mˆeme si le mat´eriau est fluide, il est

possible d’´eviter `a l’outil, si petit soit-t-il, de s’enfoncer dans le mat´eriau si on ne le souhaite

pas.

Fig. 4.4 – `A gauche, la barre d´eform´ee par les outils est homog`ene. `A droite, sa fluidit´e

est plus grande au niveau des zones plus claires, ce qui permet de la rendre localement plus

flexibles (les zones plus fonc´ees ´etant quant `a elles plus rigides).

4.3.4 Evolution des param`^´ etres

Il peut arriver que dans le cas d’un objet auquel on ne touche pas, on observe n´eanmoins

une ´evolution locale des grandeurs physiques du mat´eriau. L’exemple le plus simple que l’on

puisse citer est bien ´evidemment la temp´erature : par simple conduction, celle-ci va s’´ecouler

depuis les parties les plus chaudes de l’objet en direction des parties les plus froides. Il est

possible d’ajoindre au mod`ele n’importe quel type de loi d’´evolution qui peut sembler utile.

La description en grille de la mati`ere rend g´en´eralement cette op´eration relativement simple.

Par exemple, dans le cas de la temp´erature, on dispose de nombreux mod`eles permettant

de d´ecrire les ´echanges thermiques dus `a la conduction `a l’int´erieur d’un objet. G´en´eralement,

deux cellules voisines peuvent s’´echanger une certaine quantit´e de chaleur, proportionnelle

`

a la diff´erence de temp´erature, et on calcule ces diff´erents ´echanges sur l’ensemble du

vo-lume de l’objet. Les ´equations de diffusion mises en jeu sont similaires `a celles pr´esent´ees

pr´ec´edemment, `a la diff´erence pr`es que la mati`ere cette fois-ci ne bouge pas. Seuls les

pa-ram`etres suppl´ementaires du mod`ele ´evoluent.

En g´en´eral, l’´echelle des temps sur laquelle interviennent ces ph´enom`enes diff`ere

no-tablement de celle associ´ee `a la sculpture de l’objet. Les ´echanges de temp´erature, par

exemple, se font beaucoup plus lentement que les d´eformations en r´eponse `a l’action d’un

outil sur le mat´eriau. On peut donc appliquer ces mod`eles de fa¸con asynchrone avec la

simu-lation des d´eformations. Par exemple, `a chaque pas de temps, on calculera compl`etement les

d´eformations issues du mouvement des outils (jusqu’`a la convergence, ces effets apparaissant

instantan´es pour l’utilisateur), et ensuite une ou plusieurs it´erations du mod`ele d´ecrivant la

diffusion de la chaleur dans le mat´eriau (cette fois-ci, on ne cherche pas `a atteindre une

quel-conque convergence, les temps pour la diffusion de la chaleur se comptant en minutes. Cette

diffusion se fera progressivement, `a chaque pas de temps de la simulation).

Dans le cadre de la sculpture virtuelle, la plupart de ces ´evolutions ne sont pas utiles, voire

peuvent ˆetre gˆenantes. Ce sont g´en´eralement des diffusions qui conduisent `a une uniformisation

des propri´et´es du mat´eriau. Si ces propri´et´es ne sont pas homog`enes, c’esta prioriun souhait

de la part de l’utilisateur qui pr´ef`ere qu’une zone donn´ee de l’objet ait un comportement

diff´erent. On pourra envisager une uniformisation de ces param`etres sur une demande explicite

de l’artiste, mais nous n’avons pas vu d’usage utile `a l’adjonction d’un mod`ele de ce genre `a

notre mod`ele, mˆeme si nous avons pu constater qu’ils donnaient les r´esultats attendus.

4.4 Un mat´eriau en couleurs

4.4.1 De l’origine des couleurs

La couleur ne fait a priori pas partie des principaux attraits de l’argile, mais il n’en est

pas de mˆeme avec des mat´eriaux comme la pˆate `a modeler. La possibilit´e de jouer avec les

couleurs, de les mˆeler, est un aspect important de cette derni`ere. Nous allons voir que la

couleur n’est qu’un param`etre physique un peu particulier, et qu’une d´emarche similaire `a

celle men´ee pr´ec´edemment nous permet d’introduire ce concept de couleur `a notre mod`ele.

La couleur d’un mat´eriau n’est en fait qu’une capacit´e de ce dernier `a absorber certaines des

longueurs d’onde composant le spectre visible, tandis qu’il en renvoie d’autres.

La vision humaine des couleurs n’est pas encore pleinement comprise. Elle r´eside dans

la pr´esence, au niveau de la r´etine de l’œil, de cellules appel´ees cˆones sensibles `a certaines

longueurs d’onde sp´ecifique du rayonnement. En simplifiant les choses, il y aurait

essentiel-lement deux types de cˆones : le premier mesurerait la diff´erence de rayonnement dans les

longueurs d’onde verte et rouge, le second travaillant de la mˆeme fa¸con avec le vert et le bleu.

En fonction de la stimulation de ces cellules par la lumi`ere entrant dans l’oeil, on verra un

objet plutˆot dans les tons verts, ou bien dans les tons rouges.

Pratiquement, cela signifie que nous ne sommes pas sensibles `a la forme compl`ete du

Dans le document Modélisation, suivi et simulation d'objets articulés et déformables. Application au modelage réel d'une argile virtuelle (Page 114-117)