fin si fin pour

pourchaque cellule (i, j, k) dans la file de traitement:

calculer la distance d←d_i,j,k+ 1/(n_i,j,k))

pourchaque cellule voisine (i⁰, j⁰, k⁰) v´erifiant n_i

0

,j

0

,k

0

> n_min :

sile drapeauzi

0

,j

0

,k

0

est baiss´e, ou s’il est lev´e et di

0

,j

0

,k

0

> dalors

fixer d_i

0

,j

0

,k

0

←d

lever le drapeau z_i

0

,j

0

,k

0

placer la cellule (i⁰, j⁰, k⁰) dans la file de traitement

fin si

fin pour

fin pour

de la sculpture, sur lesquelles nous reviendrons ult´erieurement. Un seuil de l’ordre de 0.1 `a

0.2 semble ˆetre un bon compromis.

La d´emarche pr´ec´edente est `a r´ep´eter pour chaque outil. Chaque cellule disposera alors,

pour chaque outil l, d’un drapeau zl indiquant que le d´eplacement de l’outil en question

va avoir une influence sur le mouvement de la mati`ere dans la cellule (c’est-`a-dire si l’outil

est en contact avec l’objet auquel correspond la cellule consid´er´ee), et le cas ´ech´eant de la

pseudo-distance `a cet outil, dl. A partir de ces informations, nous allons pouvoir estimer le

mouvement du fluide contenu dans la cellule.

3.7.2 Influence d’un seul outil

Lorsqu’une cellule n’est sous l’influence d’aucun outil, il ne se pose pas de probl`eme

par-ticulier : la mati`ere ne bouge pas. Nous nous sommes en effet affranchis de tout effet inertiel.

Avec un seul outil, le probl`eme est plus d´elicat. On peut soit attribuer directement la vitesse

de l’outil au fluide pr´esent dans la cellule, soit seulement une fraction de cette vitesse, en

se basant sur la pseudo-distance que nous venons de calculer. La vitesse du fluide pourra

s’´ecrire :

u_i,j,k=ku_l (3.21)

o`uk vaudra simplement 1 ou correspondra `a une expression de la formee^−d

l(i,j,k)

.

Dans la pratique, ce probl`eme n’en est pas vraiment un. Lorsque l’on veut d´eformer un

objet, on ne travaille jamais avec un seul outil. Dans le plus simple des cas, le support

lui-mˆeme joue le rˆole de second outil. Ce n’est qu’un cas particulier d’outil immobile, qui impose

le mˆeme genre de contraintes que les outils proprement dits. Sans support, par exemple dans

l’espace, on peut penser que pousser l’objet avec un seul outil aura pour seule cons´equence

notable de le d´eplacer. Nous avons donc choisi la premi`ere solution, en gardant `a l’esprit que

ce choix n’aura aucune cons´equence notable dans des conditions r´eelles de sculpture.

3.7.3 Champ de d´eplacement dans le cas de deux outils

Le probl`eme devient plus int´eressant lorsque des cellules sont sous l’influence de plusieurs

outils, dont nous allons essayer d’interpoler le mouvement, selon notre id´ee initiale. Nous

allons d’abord examiner le cas d’une cellule sous l’influence de deux outils seulement,l etl⁰,

que nous num´eroterons 1 et 2 dans la suite pour plus de simplicit´e. On s’int´eressera au cas

d’une cellule (i, j, k) dont les pseudo-distances aux deux outils seront respectivement not´ees

d1 et d2. Les deux outils peuvent ˆetre indiff´eremment des outils en mouvement, ou bien des

points d’appui immobiles pour permettre les d´eformations, comme par exemple un support

permettant de tenir l’objet pendant qu’un outil travaille dessus.

Nous allons ´ecrire le mouvement du fluide dans la cellule consid´er´e comme une simple

combinaison lin´eaire du mouvement des deux outils, soitu=k₁u₁+k₂u₂. Reste donc

seule-ment `a ´evaluer les poids respectifs des deux coefficientsk<sub>1</sub> etk<sub>2</sub> `a partir des pseudo-distances

aux outils d1 etd2.

Fig.3.19 – Erreur commise avec la premi`ere formulation : Le mouvement de l’outil de droite

est ´egalement transmis au mat´eriau de l’autre cˆot´e du point d’appui central.

On souhaiterait que la vitesse ´evolue lin´eairement lorsque l’on se d´eplace `a l’int´erieur

du mat´eriau d’un outil vers l’autre. L’id´ee qui vient imm´ediatement `a l’esprit est de choisir

k₁ =d₂/(d₁+d₂), de mˆeme pour k₂. Cela r´epond `a cette condition d’´evolution lin´eaire des

vitesses entre les deux outils. Seulement ce choix donne un certain nombre de r´esultats assez

´etranges, comme celui pr´esent´e sur la figure 3.19. `A grande distance des outils, le mouvement

du mat´eriau a un mouvement qui correspond `a la moyenne des d´eplacements des deux outils.

Cet effet ind´esirable provient du fait que l’on a ´etendu la fonction pr´ec´edente loin de la

zone sise entre les deux outils, l`a o`u l’interpolation est effectivement correcte. Nous proposons

donc l’usage de deux fonctions un peu diff´erentes pour le calcul des poids :

(

k1 = ¹₂ +^d

2

−d

1

2d

1 2

k₂ = ¹₂ +^d

1

−d

2

2d

1 2

(3.22)

en consid´erant la plus petite distance `a l’outil 1 des cellules `a l’int´erieur du volume de l’outil

2. Le principe de l’in´egalit´e triangulaire nous assure que les coefficients k₁ etk₂ voient bien

leurs valeurs comprises entre 0 et 1, et on peut v´erifier ais´ement que leur somme fait 1.

Ce sont ces poids que nous allons utiliser dans le calcul du mouvement car ils donnent de

meilleurs r´esultats. En effet, le comportement anormal pr´esent´e ci-dessus n’est plus d’actualit´e.

Chaque outil fait en quelque sorte “´ecran”, et les cellules derri`ere l’outil en question subissent

essentiellement la seule influence de ce dernier.

d

_1,2

d

₂

d

₁

Fig.3.20 – Distances intervenant dans le calcul des coefficients ki :d1 etd2 entre l’objets et

chacun des outils, et di,2 s´eparant les deux outils.

3.7.4 R´esultats et limitations

Sur la figure 3.21, on peut voir le r´esultat de la d´eformation d’une barre d’argile sous

l’effet de deux outils, l’un (celui de gauche), immobile, servant de point d’appui, l’autre se

d´eplacant verticalement.

Fig. 3.21 – Le d´eplacement vertical de l’outil de droite a permi la d´eformation de la barre

d’argile.

Les d´eformations obtenues de cette fa¸con sont dans l’ensemble acceptables, mˆeme si elles

ne correspondent pas toujours `a la r´ealit´e. La principale diff´erence avec un mat´eriau r´eel,

lorsque l’on veut plier une partie de la sculpture, tient au fait que l’on ne peut pas compter

sur la rigidit´e du mat´eriau et exercer l’effort au milieu de la partie `a d´eformer. On est oblig´e

d’en prendre l’extr´emit´e si l’on souhaite que la d´eformation corresponde effectivement `a ce

que l’on souhaitait obtenir.

De fa¸con g´en´erale, les d´eformations sont de meilleure qualit´e dans la zone situ´ee entre

les outils. Ceci tient `a notre m´ethode, bas´ee sur l’interpolation des contraintes au niveau du

contact avec les outils, qui a des difficult´es `a proposer une solution valable hors de cette zone,

mˆeme si nous avons pu limiter les d´efauts les plus ´evidents par l’utilisation de coefficients

appropri´es.

`

A noter qu’il est relativement ais´e de limiter les d´eformations `a une partie du mat´eriau,

simplement en disposant des outils qui serviront de “point d’appui” et maintiendront la

mati`ere en place l`a o`u l’on souhaite que les d´eformations s’arrˆetent. Des outils servant de

simple “fixation” peuvent ainsi ˆetre utilis´es, par exemple pour contraindre `a l’immobilit´e

certaines parties du mat´eriau.

Les d´eformations obtenues ne sont toutefois pas toujours exactement celles auxquelles on

peut s’attendre. C’est en partie le cas lorsque le mat´eriau pr´esente des faiblesses, comme un

´etranglement, comme le montre la figure 3.22. Comme un fluide, les cellules “glissent” un peu

trop ais´ement les unes par rapport aux autres, et le mat´eriau n’a globalement qu’assez peu

de tenue.

Dans le document Modélisation, suivi et simulation d'objets articulés et déformables. Application au modelage réel d'une argile virtuelle (Page 99-102)