Fig.3.16 – Ainsi qu’on peut le constater, les d´eformations obtenues d´ependent notablement
du nombre de noeuds “accroch´es” par les outils. `A gauche, la position initiale. Au centre, un
seul nœud a ´et´e d´eplac´e par chacun des outils, tandis qu’`a droite, les outils (de mˆeme taille,
mais l´eg`erement d´ecal´es) ont d´eplac´e deux nœuds chacun.
la meilleure solution. L’´etat d’´equilibre du r´eseau ne d´epend pas des masses des nœuds du
r´eseau, et assez peu des raideurs des diff´erents ressorts. Pour mieux prendre en compte les
effets dus aux variations de densit´e du mat´eriau, il pourrait ˆetre int´eressant de ne faire qu’un
nombre mod´er´e de pas en direction de la convergence (ainsi, les zones souples du mat´eriau, o`u
la raideur des ressorts est plus faible, seront moins d´eplac´ees que celles o`u la mati`ere est bien
compacte, et plus rigide). La difficult´e r´eside dans le fait que le nombre de pas `a effectuer est
tr`es difficile `a choisir, et ce choix d´epend par ailleurs largement de l’´echelle consid´er´ee. Nous
n’avons gu`ere de solution `a proposer `a ce probl`eme.
Une autre difficult´e que l’on peut rencontrer dans la simulation est l’apparition
d’oscil-lations. En l’absence d’amortissement, le r´eseau est prompt `a vibrer, selon diff´erents modes
d’oscillation difficilement contrˆolables. Pour peu que la simulation s’arrˆete au mauvais
mo-ment, le r´esultat peut ˆetre une r´eponse plus importante aux contraintes que les contraintes
elles-mˆemes ! Paradoxalement, les qualit´es de stabilit´e de la m´ethodeEuler implicitela rendent
particuli`erement sensible `a ces effets d’oscillation. Des m´ethodes plus simples (la m´ethode
clas-sique d’Euler, ou celle de Runge-Kutta) donnent de moins bons r´esultats, mais qui grˆace `a
leurs d´efauts se trouvent g´en´erer moins de situations de ce genre.
3.5.4 Limitations de cette approche
En d´efinitive, nous avons trouv´e tr`es difficile, pour ne pas dire impossible, d’obtenir
un champ de d´eformation satisfaisant avec cette m´ethode, qui pourtant nous avait sembl´e
int´eressante `a l’origine. La construction d’un nouveau r´eseau `a chaque instant est coˆuteuse,
et le r´eseau obtenu souvent imparfait, voire inadapt´e pour repr´esenter correctement le solide.
La relaxation pose quant `a elle nombre de probl`emes th´eoriques, et consomme beaucoup
de temps de calcul pour un r´esultat pas toujours convaincant. Si les oscillations du r´eseau sont
g´en´eralement recherch´ees, par exemple dans le cas de la simulation d’un mat´eriau ´elastique,
elles sont un r´eel probl`eme pour nous. Ces difficult´es pourraient ˆetre surmont´ees en cherchant
directement une solution statique au probl`eme : calculer directement la position d’´equilibre
du r´eseau masses-ressorts (ou bien d’´el´ements finis) compatible avec le mouvement des outils.
Les quelques essais que nous avons faits dans cette direction laissaient entrevoir des difficult´es
en termes de temps de calcul (la construction du r´eseau est d´ej`a coˆuteuse, la d´etermination
de la position d’´equilibre requiert quant `a elle des calculs matriciels importants). Par ailleurs,
nous avons d´ej`a signal´e qu’il n’´etait pas n´ecessairement pr´ef´erable d’aller jusqu’`a l’´equilibre
complet du r´eseau.
Peut-ˆetre peut-on esp´erer trouver une solution en employant plutˆot des particules
inter-agissantes, et utiliser certaines techniques de FFD pour en d´eduire le champ de d´eformation.
Il se posera cependant certains probl`emes, comme l’ensemencement du volume avec ces
parti-cules (qui pourrait vraisemblablement ˆetre r´ealis´e `a partir de la grille de densit´e du mat´eriau),
leur mise `a jour, et surtout leur fa¸con de r´eagir avec les outils. Nous n’avons pas poursuivi
dans cette voie, mais avons pr´ef´er´e envisager les choses sous un angle diff´erent.
3.6 Retour sur les mod`eles de fluides
3.6.1 Le second terme de l’´equation de Stokes
Nous allons `a pr´esent nous pencher plus avant sur l’action du second terme de l’´equation
de Navier-Stokes, dont nous avions dit qu’il r´egissait la diffusion des vitesses dans le mat´eriau.
En ne gardant que ce terme dans l’´equation deNavier-Stokes, on obtient :
∂u
∂t =ν∆u. (3.15)
Si l’on consid`ere une ligne de courant rapide entour´ee de couches plus lentes, le laplacien
du champ de vitesse n’est pas nul. Le terme qui nous int´eresse `a pr´esent aura pour effet de
freiner la ligne de courant rapide, tout en acc´el´ererant les couches adjacentes, plus lentes. Cet
effet trouve son origine dans l’´echange de particules entre les couches : certaines particules
rapides quittent la couche rapide pour les couche lentes, augmentant la vitesse moyenne de
ces derni`eres, et inversement.
C’est donc `a tous niveaux un probl`eme de diffusion des vitesses, ainsi que le laissait
sugg´erer la forme prise par l’´equation 3.15. Plus le mat´eriau est visqueux (se traduisant par un
νimportant), plus cette diffusion sera rapide. Les mat´eriaux avec lesquels nous travaillons ont
une viscosit´e cin´ematique tr`es importante, de sorte que cet effet est pratiquement instantan´e.
Un travail aux dimensions indique en effet que le temps n´ecessaire pour atteindre le r´egime
permanent est de l’ordre de3 :
[t] = [d]
2
ν . (3.16)
Les temps n´ecessaires `a l’´etablissement du r´egime permanent sont donc bien inf´erieurs aux
pas de la simulation (quelques dizaines de pas par seconde). Nous pouvons donc admettre que
3
Il est d’usage, dans le domaine de la m´ecanique des fluides, d’estimer par exemple les temps caract´eristiques
d’un ´ecoulement en estimant l’ordre de grandeur de chacune des quantit´es (voir par exemple [LL86]). Ici, dans
l’´equation 3.15, nous assimilerons par exemple la vitesse u `a un terme de la forme
[d][t]o`u [d] est une taille
caract´eristique de l’´ecoulement, et [t] un temps caract´eristique. ∆udevient quant `a lui
[t][d][d]2, et ainsi de suite.
Etant donn´e qu’on peut envisager plusieurs “distances caract´eristiques” (taille de l’objet, taille des d´etails,
taille d’une cellule), nous utiliserons dans l’´equation 3.16 le cas le plus d´efavorable, autrement dit la dimension
la plus grande, celle de l’objet tout entier. Mˆeme dans ce cas d´efavorable, le temps caract´eristique ainsi obtenu
reste bien inf´erieur de plusieurs ordres de grandeur au pas de simulation.
durant l’essentiel du temps que dure un pas de simulation, le champ de vitesse correspond
`
a celui que l’on obtient une fois que le r´egime permanent a ´et´e atteint. Dans ce r´egime
permanent, les vitesses n’´evoluent plus, et le champ de vitesse doit donc v´erifier :
∂u
∂t =0=ν∆u. (3.17)
Le champ de vitesse que nous recherchons devrait donc v´erifier ∆u =0 partout au sein
du mat´eriau, et naturellement satisfaire les conditions aux limites. Celles-ci imposent que le
mouvement au voisinage des outils soit semblable au mouvement de ces derniers. En l’absence
de toute condition aux limites particuli`eres (par exemple dans le cas d’un objet isol´e, ou bien
encore manipul´e par un seul outil, et en l’absence de toute force ext´erieure comme son propre
poids), on retrouve la solution u = cste, signifiant que les vitesses sont rapidement toutes
identiques `a l’interieur du mat´eriau, qui se comporte alors comme un objet rigide. C’est ce
qui nous avait pouss´e, dans le paragraphe pr´ec´edent, `a annuler les vitesses `a l’int´erieur du
mat´eriau `a chaque ´etape, nous affranchissant ainsi de tout effet inertiel.
3.6.2 Approches pour la r´esolution
Pour r´esoudre cette ´equation ∆u=0 et obtenir le champ de vitesse dans du mat´eriau, il
existe plusieurs m´ethodes. La plus simple est de simuler effectivement la diffusion sugg´er´ee par
l’´equation 3.15, et d’appliquer cette formule jusqu’`a la convergence. Les vitesses des cellules
sous l’influence d’un outil voient leur vitesse impos´ee comme ´egale au mouvement de l’outil
correspondant, tandis que les autres ´evolueront selon la loi ∂∂tu =ν∆u.
´
Evidemment, les choses ne se passent jamais aussi ais´ement, la convergence n’´etant pas
ais´ee `a ´etablir. Le choix du bon pas de temps, en particulier, est crucial si l’on veut ´eviter
toute instabilit´e du mod`ele. `A cause des valeurs importantes que peut prendre la viscosit´e
cin´ematique ν, les d´eriv´ees obtenues sont en effet rapidement tr`es grandes. En outre, pour
qu’une vitesse `a une extr´emit´e du mat´eriau soit diffus´ee jusqu’`a l’autre cˆot´e de celui-ci, il
faudra appliquer `a l’ensemble du mat´eriau au moins autant d’´etapes de simulation qu’il n’y
a de cellules entre ces deux extr´emit´es, et vraisemblablement beaucoup plus. On retrouve
en fait ici la condition de Courant-Friedrichs-Lewy´evoqu´ee pr´ec´edemment, qui limite
large-ment la simulation des fluides tr`es visqueux. Elle pla¸cait en effet une limite sur la vitesse de
propagation de l’information (ici la vitesse) au sein du mat´eriau.
Cette approche est donc largement incompatible, pour l’instant, avec des applications
interactives. Il existe d’autres m´ethodes pour r´esoudre les probl`emes de type ∆u=0, assortis
de conditions aux limites. Par exemple, des m´ethodes utilisant des transform´ees de Fourrier.
Malheureusement, elles font g´en´eralement d’importantes hypoth`eses quant `a la forme du
domaine, ou sur les conditions aux limites de ce dernier. Jos Stam, par exemple, r´esout de
fa¸con directe dans [Sta99] une ´equation en tous points similaire, mais fait l’hypoth`ese pour
cela d’un espace de travail cubique, aux conditions aux limites nulles ou p´eriodiques. Bien
´evidemment, ces hypoth`eses ne s’appliquent pas au cas qui nous occupe.
Dans le document
Modélisation, suivi et simulation d'objets articulés et déformables. Application au modelage réel d'une argile virtuelle
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