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NOM : Prénom : Note finale : ……/20

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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NOM : Prénom : Note finale : ……/20

4ème 2 ~ C ontrôle n° 4

Exercices à faire directement sur cette feuille :

 1  2  3  Bonus

Lundi, le 14/12/2009.

Calculatrice : autorisée.

Exercice n° 1 – question de cours (…/10 points)

On considère le triangle ABC ci-dessous et son cercle circonscrit (c) de centre O (on a donc OA = OB = OC).

1. a) Quelle est la nature du triangle AOB ? isocèle

b) Quelle est alors la mesure de l’angle en

fonction de x ? elle est égale à x.

2. a) Quelle est la nature du triangle AOC ? isocèle

b) Quelle est alors la mesure de l’angle en fonction de y ? elle est égale à y.

3. a) Rappeler quelle est la mesure en degrés de la somme des angles d’un triangle. 180°

b) Exprimer la somme des angles du triangle ABO

en fonction de x et de y. x + x + y + y = 2(x + y).

c) En déduire la mesure exacte en degrés de l’angle . 2(x + y) = 180° donne x + y = = 90°.

4. Écrire la propriété (c’est la n° 3) que vous venez de démontrer. Si un triangle est inscrit dans un cercle dont un diamètre est un côté de ce cercle, alors il est rectangle.

Exercice n° 2 (…/6 points)

Sans utiliser le moindre instrument de géométrie, les triangles suivants (O 1 , O 2 et O 3 sont les centres des cercles) sont-ils rectangles ? Justifier les réponses.

1 ère figure : OUI, car le côté [AB] du triangle est un diamètre du cercle.

2 ème figure : NON, car le point E n’est pas sur le cercle.

3 ème figure : NON, car aucun côté du triangle ne peut être un diamètre du cercle.

Exercice n° 3 (…/4 points)

Sur la figure ci-dessous, le point O est le milieu du segment [AB]. c 1 et c 2 sont les demi-cercles de diamètres [AO] et [AB] et les points A, I et J sont alignés. De plus, I  c 1 et J  c 2 .

1. a) En se plaçant dans le triangle AIO, démontrer que ce triangle est rectangle. C’est la propriété n° 3.

b) Comment sont alors les droites (AJ) et (IO) ? Elles sont perpendiculaires.

2. a) En se plaçant dans le triangle AJB, démontrer que ce triangle est rectangle. C’est la propriété n° 3.

b) Comment sont alors les droites (AJ) et (JB) ? Elles sont perpendiculaires.

3. Démontrer finalement que les droites (IO) et (JB) sont parallèles. Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles, donc (IO) et (JB) sont parallèles.

Exercice bonus (…/2 points HORS-BARÈME)

Calculer la somme des cent premiers nombres entiers, c’est-à-dire calculer

1 + 2 + 3 + 4 + ··· + 98 + 99 + 100 = 5 050.

1. Voici une suite de nombres :

1 ; 11 ; 21 ; 1211 ; 111221 ; 312211 ; … Trouver la suite (au moins les deux prochains nombres).

1 er nombre qui suit : 13112221

2 ème nombre qui suit : 1113213211

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