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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Dôme, G. (1959). Propagation des ondes électromagnétiques le long de conducteurs cylindriques parallèles. Effet de proximité sur la résistance de ces conducteurs en haute fréquence (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.

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05 ■^ZGoja^

UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES FACULTE DES SCIENCES

PfîOPAGATION DES ONDES ELECTROMAGNETIQUES LE LONG DE

CONDUCTEURS CYLINDRIQUES PARALLELES.

EFPfr")E PROXIMITE SUR LA RESISTANCE DE CES CONDUCTEURS

EN HAUTE FREQUENCE.

DEUXIEME PARTIE

Dissertation présentée pour l’obtention du grade Légal de Docteur en sciences physiques.

Université Libre d e Bruxelles

0035B30BS

Ceorges Dôme 1959

UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES FACULTE DES SCIENCES

PROPAGATION DES ONDES ELECTROMAGNETIQUES LE LONG DE

CONDUCTEURS CYLINDRIQUES PARALLELES.

EFFET DE PROXIMITE SUR LA RESISTANCE DE CES CONDUCTEURS

EN HAUTE FREQUENCE.

3HP

S5S.S&

'2-DEUXIEME PARTIE " CHAPITRES I I 1 et IV,

Dissertation présentée pour l'obtention du grade légal de Docteur en sciences physiques,

TABLE DES MATIERES

Kemarçiemettta

Réaumé

Note sur la numérotation des équations et des figures

I III XI PREMIERE PARTIE Aperçu historique ... Introduction

ÇHAPITRE_I propagation D'ONDES ELECTROMAGNETIQUES MONOCHROMATIQUES LE LONG D'UN CONDUCTEUR CYLINDRIQUE CONSIDERE INDEPENDAMMENT DE SON ENTOURAGE

e O O

1.1 Equations de propagation

1.2 Onde TEM - Conducteurs parfaits ...

1.3 Conductivité finie - Conditions aux limites ...

1.4 Cas du fil unique ... ...

105 Ondes principales - Conditions aux limites ...

106 Etude des - Les fonctions Xn <1® Butterworth ...

1.7 Conditions aux limites, quand le diamètre du fil est petit par rapport à la longueur d'onde ...

1.8 Etude des q,, (n = 1,2, ...) ...

1.9 Courant et charge électriques transportés par le fil . . .

1.10 Effet Joule dans le cylindre conducteur ... Cas du fil isolé dans l'espace ... 1.11 Impédance énergétique d'une ligne de transmission à conduc­

2 I Constante de propagation . « ^ . . , . « . . . ... .

2 2 Les champs à l'intérieur du fil ...

2 3 Les champs à I 'extérieur du f I ...

2 4 Impédance énergétique et impédance caractéristique d'une

ligne monofil aire ...

2 5 Les surfaces équiphases ...

APPEMDICE 1 ...

APPESDICE 2 O .

-APPENDICE 3 ...

APPENDICE 4 ...

Bibliographie

Liste des principaux symboles utilisés dans le texte

158 163 167 176 179 185 187 189 194 DEUXIEME PARTIE

ÇHAHîRE_iil„ CAS DE PLUSIEURS FILS IDENTIQUES, PARALLELES, EQUIDISTANTS ET COPLANAIRES . ... » 199

3=1 Changement de coordonnées pour les fonctions de Hankel . = 200

3=2 Conditions de symétrie nécessaires pour que les champs

varient sinusoîdalement le long des fils ... 203

Cas particuliers : Deux fils , „ „ „ . . = = = = . = . » = 208 Une infinité de fiIs , = „.= . = = = 212

3 3 Méthode générale pour la résolution du système des conditions

aux limites ... 217

Les champs longitudinaux dans le voisinage d'un fil . . . . 225

3.4 Résistance et coefficient de self-induction interne d'un fil

par unité de longueur... 238

Formule approchée pour le facteur de proximité ... 241

3.5 La répartition de la charge et du courant électriques sur un fil et le problème électrostatique... 250

Répartition de la charge électrique à la surface du fil ... 250

Répartition du champ électrique longitudinal à la surface du fil ... 253

Détermination d'un pseudo-potentiel pour le champ électrique transversal au voisinage d'un fil ... 256

Coefficient de self-induction externe et capacité énergétique du réseau par unité de longueur... 261

Impédance longitudinale du réseau par unité de longueur et constante de propagation ... 262

3.6 La ligne bifilaire, quand les courants sont égaux et de sens contraires (Ligne de Lecher) ... 264

Constante de propagation ... 272

Impédance caractéristique ... 279

Impédance longitudinale par unité de longueur ... 282

Effet Joule dans la ligne... 290

3.7 La ligne bifilaire, quand les courants sont égaux et de même sens ... 295

3.8 Le réseau plan infini, dans le cas d'un déphasage complexe constant d'un fil au fil suivant... 305

Les séries S^(z,9) pour n = 0,1,2,... 307

Le système des conditions aux limites... 319

Le problème électrostatique associé ... 324

Méthodes de résolution du système des conditions aux limites . . . 337

Constante de propagation ... 343

Le facteur de proximité... 347

4.1 Equations fondamentales ... 372

4.2 Cas particulier où les fils se touchent (Expressions asymptotiques pour les hautes fréquences) ... 383

4.3 Cas général : les fils ne se touchent pas (Expressions asymptotiques pour les hautes fréquences) ... 387

4.4 Extension des formules obtenues à toute la gamme des fréquences. . 400

4.5 Développement asymptotique des fonctions q... 4-M 4.6 Le facteur de proximité... 414

4.7 .Le coefficient de self-induction de la ligne par unité de longueur 420 4.8 Les formules approchées, dans le cas des fréquences élevées . . . 429

4.9 Comparaison avec les formules d'Arnold dans le cas où les fils se touchent... 436

4.10 Comparaison avec l'expérience ... 440

APPENDICE

5

... 451

APPENDICE 6... .... ... 453

APPENDICE 7... 460

APPENDICE

8

... 462

Bibliographie ... 469

199

-CHAPITRE III

CAS DE PLUSIEURS FILS IDENTIQUES, PARALLELES,

EQUIDISTANTS ET COPLANAIRES

Dans ce chapitre, nous étudions la propagation d'ondes électromagné­ tiques monochromatiques le long d'un réseau comprenant plusieurs conducteurs cylindriques identiques, parallèles, équidistants et d'axes coplanaires. Appli­ quant à chaque conducteur en particulier les résultats généraux obtenus au cha­ pitre I, nous déduisons des conditions de symétrie l'influence des conducteurs

les uns sur les autres .

Les cinq premiers paragraphes constituent une étude générale où nous établissons des équations valables quel que soit le nombre de fils du réseau ; les trois derniers paragraphes sont consacrés à la résolution de ces équations dans trois cas particuliers : la ligne à deux fils transportant des courants

3.1. CHANGEMENT DE COORDONNEES POUR LES FONCTIONS DE HANKEL.

y

La saction droite d'un roseau plan.

Considérons un réseau comprenant un nombre quelconque de fils cylin­ driques identiques, parallèles, équidistants et d'axes coplanaires ; la sec­ tion droite d'un tel réseau est représentée à la figure 3.1 .

Nous choisirons le plan du réseau comme plan (zx), et nous appellerons D l'é­ quidistance entre les fils, mesurée d'axe en axe . Le rayon commun des fils est a ; leur diamètre est d = 2 a .

Le long de l'axe x, les fils porteront un numéro d'ordre entier p pouvant va- rierde-ooà+o°.

Dans le plan (xy) perpendiculaire aux génératrices des fils, un point P sera repéré par ses coordonnées polaires ir,cp) autour du fil p=0, ou par ses coordonnées poI ai res (Rp,§p) cent rées sur l'axe du fil p.

Les propriétés d'addition des fonctions de Besse I [IX, p. 361, éq. 6] per­ mettent d'écrire pour v quelconque

(7r-§ ) +œ 9 si p >0

( X R ) . cos V = I ( Xl p|D) . J^( Xrl.cos m

^ m = -00 I TC-çp) si p < C

I

à la seule condition que r < lp|b (p ^0), ce qui est toù,jours réalisé quand le point P se trouve dans le voisinage r<D du fil 0.

En particulier, pour v = n entier, elle devient (; I Rp) . cos n $p = si P > 0 si P < 0 . + 00 I ( IpI \ D) . (± I ( X r) . cos m 9 m = -00

Tenons compte de ce que, quand m est entier, ( \r ) = (-1 ( Xr ) :

( X Rp) . cos n ô = " P (- 1 ) . S — + 2 Hn+m < IpI^ D) + (-1)"^ IpIxd) m=o ( p > 0) ( ± 1 )'^ J _{* ' ■’m} (Xr). cos m 9 (p < 0) . ( i-i )

est le symbole de Neumann ; i1 vaut 1 si m=0et 2si mAO.

Rappelons que pour n entier, on a toujours

(Z) = (-1 )^ . (Z) .

A condition d'appliquer la convention suivante

( p XD) = (-1 )" ( |p|XD) quand p < 0 , (1-2)

(*)

bien que mathématiquement ces deux fonctions ne soient pas égales , il est possible de condenser les deux cas p > 0 et p < 0 de ( l-l) dans une écri­ ture unique : œ (X Rp ) . cos n $p (-1) . I m=o Vm <P^D) + (-1 ) (pXD) ( Xr ).cos m 9 . p A 0 (1-3)

Reprenons la formule d'addition avec sin au lieu de cos

( n - +00 Hj, (X Rp ) .sin V S (X|p|D) . (Xr ) . sin m = -00 9 s i p > 0 ( TX-9 ) s i p < 0 . T ■" -U ; V I I

Pour V = n entier, elle devient (I I ) n+ I , ( X. Rp ) . s i n n $p +00 ^ '^n+fti <lp|^D) . (± l)'^''’' . (Xr) .sin m cp m = -00 s i P > 0 s i P < 0 d ' où CO (\ Rp ) . sin n $p = (+ I ) ' • ^ m=o Hn+m < IpI^D) - (-1)"’ ( |p|\D) m+l 'P>0> (±1) ,J^(\r).sinmcp (1-4) ( P < 0) .

La convention (1-2) permet encore de condenser les deux cas p > 0 et p < 0 de (1-4) en une écriture unique :

n+1 ^(n (\ R„) . sin n = (-1 ) . 2 —

n p p 2

m=o

(\r).sin m qj . p / 0 (1-5)

La forme des équations (1-3) et (1-5) est prévisible a priori, si l'on remarque

que les fonctions (X Rp) .cos n §p et (X Rp) .sin n $p vérifient l'équation de HelmhoUz (1.1-2) dans le plan (x,y): dès lors leurs développements en séries de Fourier autour de I'axe du fil 0 doivent être du type (I.3-26) et ( I.3-27 ) . Comme d'aut re

part ces fonctions sont régulières en r=o, leurs coefficients de Fourier autour du fil 0 ne peuvent contenir que des (Xr) .

- 203

3.2. CONDITIONS DE SYMETRIE NECESSAIRES POUR QUE LES CHAMPS VARIENT

SINUSOIDALEMENT LE LONG DES FILS.

Les raisonnements que nous avons faits au paragraphe 1.4 pour le fil uniqrue

s'appliquent à chacun des fils du réseau : ainsi, à l'extérieur du fil p, les ondes associées aux courants circulant dans ce fil sont des ondes progressives d'am­ plitude décroissante à partir du fil, c'est-à-dire des ondes en (\ Rp) . Dès lors, le champ total dans le diélectrique doit être la somme de champs du type (1.4-2) provenant de chaque fil . Autrement dit, si nous désignons par un

indice p placé entre parenthèses les coefficients relatifs au fil p, nous pour­

rons écri re jhz E . e Z e j hz H . e Z oo = I I C p n=o 00 (p) ( p ) Rp) cos n 0p (2-1 ) = Z 2 C . ( \ R ) s i n n p n=o

En effet, une telle somme vérifie les équations de Maxwell et a le comportement correct à l'infini dans les directions perpendiculaires aux axes des fils : elle est la superposition d'ondes qui décroissent à partir des fils, et la puissance rayonnée à l'infini dans le plan (x,y) est nulle en vertu de ladé—

c ro i ssance exponentielle de (XR) quand R — ^ .

Il suffit simplement que cette somme vérifie encore les conditions aux limites (1.3-28) et (1.3-29) à la surface des fiIs . Comme ces conditions sont expri­ mées en fonction des coefficients B^, C^, B^, C,!, , il faut d'abord mettre les c hamps extérieurs dans le voisinage d'un fil sous la fo rme ( I.3—26 ) et (1.3—27) Pour fixer les idées, considérons le voisinage r < D du fil 0 . En vertu des formules (1-3) et (1-5), toutes les ondes en (X Rp) provenant des autres

(1.3-27), les termes en rt^i ( Xr ) proviennent exclusivement du fil Q ; les ter­ mes en (Xr) proviennent de la superposition, dans le voisinage du fil 0, des ondes en (X Rp) associées à tous les autres fils . Mathématiquement, cela signifie que l'on a

00 CO

1 (Xr) cos mcp= 2 ^os n $p

m=o p?^o n=o ^

00 , I 00 f ^ \

I ( O ) I ( P ) , . ,

2 B .Jjj,(Xr)sinm(p= 2 2 C .Hj^(XRp)sinnfp

m=o pî^o n=o ^

d'où, avec ( 1-3) et ( 1-5) : ( o ) ^n “ ^ • P > B = — .2 (-1 ) 2 C m=o p^o .(0) ^n °° "^+1 .(p) B = — .2(-l) 2C n ^ m=i p^o m (pXD)+(-l) (pXD) Hm+n (P^D)-(-l)" (pXD) n = 0,1,2,... (2-2) n = 1,2,..

Pour la facilité de ce qui suit, nous avons permuté m avec n .

En appliquant le même raisonnement au fil q, on trouverait que

00 ( q ) En ^ ^ ^ B = -^ . 2 (-1 ) 2 C ^ m=o p^q ' ( P ) m+n (p-q ) X D + (-1 )" Hm-n[<P-q) XD n = 0, 1,2, (2-3) i( q ) ^n oo .

2

(-

1

) 2 m=l m+ I |( P ) 2 C Pî^q m+n (p-q ) XD - ( -1 ) H,m-n (p-q) X D n= 1,2,

(2-3) se réduit bien à (2-2) quand q = 0 .

- 205

D'autre part, ainsi que nous l'avons annoncé au début du chapitre I, l'hypo­ thèse que tous les champs dépendent de z selon le facteur e“j^^ entraîne cer­ taines conditions de symétrie . Pour que ces conditions soient réalisées, iI faut que les courants dans les différents fils soient proportionnels entre eux ; de sorte que dans chaque cas où il existe une solution en il suffit de connaître le courant dans un fil pour déterminer les courants dans tous les autres . Autrement dit, en prenant le fil 0 comme fil de référence, on peut

éc rire n c'"” n (o) C . b n np l( O ) I C . b n np b =1 n = 0, I , 2, ... no (2-4) b ' =1 n = 1,2, . .. no

où les coefficients b^p , sont indépendants de l'intensité des courants .

Grâce à (2-3), on doit donc avoir pour chaque fil en particulier, quels que soient d'ailleurs la disposition des fils dans le réseau et leur nombre.

00 ^n '^n " ^ ^nm ^m *^m m=o n = 0,1,2, Bn ^n Ç . I ^ ^nm ^m ^m m= I n = 1,2,.. (2-5)

Comme dans le chapitre I, l'argument des fonctions de Besse I est tou­ jours \a lorsqu'il n'est pas explicité .

Les a^^ , a^^ dépendent de la disposition des fils dans le réseau et de la re­ lation (2-4) qui lie les courants des divers fils entre eux ; mais ils sont in­ dépendants de l'intensité de ces courants .

Ainsi, pour le fil 0, on aura avec (2-2) et (2-4) :

, r Conditions imposées aux coefficients , b^p ,

♦ ( P ) I ( P )

Comme il apparaît en (2-1), les C , C sont respectivement les n n

amplitudes d'ondes progressives E2 et qui décroissent à partir du fil p et qui sont associées aux courants circulant dans ce fil . On doit donc s'atten­ dre à ce que ces amplitudes varient de la même façon quand on passe d'un fil à un autre ; c'est-à-dire qu'on doit avoir, d'après (2-4) :

b' =b n=t,2,... (2-7) np np d'où ( P ) ( O ) C = C .b n n np C,(p. n b = I no n = 0,1,2,... n = 1,2,... (2-8 )

Par ailleurs, les conditions aux limites (1.3-28) et (1.3-29) doivent être sa­ tisfaites pour tous les fils du réseau . Or, la constante de propagation h est

la même pour tous les fils, et de plus ceux-ci sont supposés identiques : en vertu de ( 1.3-3), (I.3-4) et ( I.3-5 ), seuls les coefficients B , B' , C , C'

n n n n varient d'un fil à l'aut re dans les conditions aux limites . Comme ce IIes-ci constituent un système d'équations linéaires et homogènes en ces coefficients, elles seront satisfaites pour le fil p si elles sont satisfaites pour le fil 0, grâce à (2-8), à la seule condition que l'on ait aussi

(p) (O) B =B .b n=0,1,2,... n n np b'"” = b''“' .b n n np n =

,

2

, .. .

(2-9)

- 207 e jhz E . e Z CD I. n=o 00 2 b n=o ( P ) ( P ) , I , B . J n (^ Rp) + C . ( \ Rp)j cos n $p n np ( O ) ( O ) B , (\ R„) +C . Hn (X Rd> n n "K cos n (2-10) 00 — e Jhz H . e =2, ^ n = o b'*^’ . J„ (\ Rp) +0'*''’ . ( \ R ) n n ^ _ s I n n 00 2 b n=o np i( O ) i( O 1 B . J. (\ R„) +C . H_ (\ R_: n ' R n ^ s i n n $p . Portons (2-2) et (2-3) dans (2-9) “ m (p) , 2 ( -1 ) S C H, m=o p^q ^ m+n (p-q ) X D _{+ (-1 ) H m-n} (p-q ) X D CO _{m ^} , _{( P )}, b„„ . 2 _nq (-1) le m=o p/o m [_ (pXD) +(-l) (pXD) n =0,1,2,. (2-' °° m i( P > ■ S (-1)

1

m= 1 p^q ^ r n 1 Hm+n (p-q ) X D -<-l> H^-n (p-q ) X D

)

°° fTt „ t( P ) b_„ . 2 (-1 ) 2 C m=l _p^o m (pXD) -(-I) m~n (pXD) n = 1,2,

Cas particuliers.

Les conditions (2-11) imposées aux coefficients conduisent à des résultats simples dans deux cas particuliers : celui de deux fils parallèles, et celui d'une infinité de fils parallèles, équidistants et copIanaires . Le cas de trois fils est déjà sensiblement plus compliqué .

a) Deux_^iLs_Pqrqllèles.

La section droite d'une ligne bifilaire.

Numérotons les deux fils O.et 1 (voir la figure 3.2) . Les coordon­ nées po I ai res cent rées sur le fil 0 sont r,cp ; celles centrées sur le fil I sont R , . Les expressions (2-10) sont valables simultanément pour les deux

fils dans la partie du plan ( x,y ) qui est commune aux cercles de rayon (D-a) centrés respectivement sur chacun des fils . Dans cette région, on a donc

- 209

La seule valeur de q pour laquelle la condition (2-11) n'est pas sa tisfaite d'une façon triviale est q=l ; à ce moment (2-11) devient, avec la

convention (I-2) CO _{n ( O )} , , 2 (-1) C m=o <^D) + (-1) (\D) CO _{m ( I )}, , , b„, . Z (-1 ) C m m=o n ^m+n (^D) + ( I ) ( A.D ) n - 0,1,2, 00 , , _{^ n i(} O ) 2 (-1) C m= I Hm+n <^D) - (-1) (2D) 00 m= m ,( I ) 2 (-1) C m Hm+n <^D) - (-1) (\D) n = 1,2,.. ou encore, grâce à (2-8) CO 2 C (O) m=o *^m+n I ) + ( I ) ( KD ) n = 0, 1,2, 00 , , n _ m ( O ) (-1) b,, .2 (-1) b^i .0 m=o Hm+n + <-'> ^^-n <^^) 00 2 C,( O) Hm+n <^D) - (-1) (\D) n = 1,2,.. n m ,( O ) (-1 ) b^I . 2 (-1) b„| . C m= I Hm+n <^D) - (-1) H„_, (XD)

Ces deux conditions sont satisfaites simultanément si l'on a

m

=

0

,

1

,

2

,.

n

Ainsi, (-1) bpii est indépendant de n et doit valoir ± I .

I) b^i = (-1) . Dans ce cas, (2-12) devient : jhz E . e Z 00 r~ Z n=o Bn Jn (\r) cos n 9 = 00

Z

(-1 ) n=o n Jp + Cp (XK) cos n $ e jhz H . e Z 00 Z n=o b'i^ Jp (XlD + (Xr) s in n çp = 00 Z (-1)' n=o b; Jp (\R) + c; (\R) s i n n $ (2-13)

dans la région commune aux deux cercles de rayon (D-a) centrés sur chacun des fils . Or, ces égalités expriment simplement que (voir la figure 3.2J

(P) = E^ (Q) (P) = (Q) .

Comme (zx) est supposé plan de symétrie, cela signifie que le plan médian des deux fils *** est aussi plan de symétrie : les deux fils conduisent

alors des courants égaux et en phase ,

•^nl - (-1)^-^' . Dans ce cas, (2-12) dev i ent ;

e E . e jhz = 00 r Z _{Bn J n (\r) + Bn} ( A.r ) cos n çp = Z ₃ 1 1 0 r* 00 n+ 1 ) -cos n $ Z (- _{Bn '^n (\R) + C n Bp (XJR)} n=o e H . e Jhz = 00 Z _{Bi J n ( Xr ) + Bn} ( Xr ) s i n n cp = 4L _n=o 00 n+1 } f s i n n $ . Z (- ) _{Bn -Jn (\R) + C n Bn (XR )} n=o

-211

Ces égalités expriment que (voir la figure 3.2)

Ez(P)=-E2.(Q) Hz(P)=-Hz(Q),

c'est-à-dire que le plan médian des deux fils est plan d'antisymétrie : les deux fils conduisent alors des courants égaux et opposés (ligne de Lecher) .

Nous verrons plus loin, aux paragraphes 3.6 et 3.7, que dans ces deux cas les champs admettent une solution en ; cependant, pour deux fils donnés, les valeurs de h ne sont pas les mêmes lorsque les courants sont en phase ou en opposition . D'autre part, si les courants sont quelconques, on

peut toujours les décomposer suivant la fi­ gure 3.3, en [ + I2) et { - I2) '■ dès

lors, le cas général pour deux fils est une superposition des deux cas I et 2 ci-dessus, c'est-à-dire la superposition de deux ondes principales qui se propagent le long de l'axe

Z avec des vitesses de phase et des atténua­ tions différentes . Ainsi, comme nous l'avons

FIG. 3-3 annoncé au début du chapitre I, la variation Composition des courants

dans une ligne bifilaire. des champs suivant z ne peut pas etre repré­

sentée dans le cas général par un seul facteur e~J^^ ; cela n'est possible que si certaines conditions de symétrie sont réalisées, et ces conditions sont contenues implicitement dans les équations (2-11) qui limitent le choix des

*^np *

Sur N conducteurs, il y aura N ondes principales possibles, caractérisées par des constantes de propagation h différentes *** ; l'onde la plus générale est une superposition de ces N types d'ondes . Cependant, comme nous l'avons re­ marqué à la fin du § 1-2, si les fils sont infiniment conducteurs, la condi­ tion (1.2-10) empêche leur excitation en phase : i I ne reste plus alors que (N-l) ondes principales possibles, correspondant aux excitations polyphasées

des conducteurs [5I] . Ces ondes sont toutes du type TEM, avec une constante de propagation h = k .

b) Un réseau plan d'une infinité de fils parallèles et équidistants.

00

Dans ce cas, les conditions (2-11) peuvent s’écrire

^ m ^. ( q+p ) X (-1) le m=o péo ^ X Hm+n <P^D) + (-1) (p\D) ^ m ^ ( P ) m=o p^o Hm+n <P^D) + (-1) (p\D) n =0, 1,2,, m 00 , . » m I Q+pî I (-1 ) I C ^ ■ p^o ^ CO <P^D> - ^^m-n <P>^D) ^ ^ P ) '’nq • 5: l-ll X C m=I péo ^ (p\D) - (-1) (pXD) n = 1,2, où p varie de -20 à +“

Comme au paragraphe a, recherchons des solutions particulières qui satisfassent k ces conditions . Nous en obtie

les équations plus restrictives

à ces conditions . Nous en obtiendrons si nous trouvons des b^^p qui vérifient

1 C p^o ( q+p ) • pïo "" Hm+n <P + (-1 ) (p\D) ( p) Hm+n <P^D) + (-1) (p\D) ^ i(q+p) r , n ^ 2 C ^ K+n <P - (-1 ) (p \D) péo m h 5- r‘P’ Pnq • ^ péo Hm+n <P - (-1 ) ( p \ D )J m = 0,1,2,. = 1,2,..

- 213 00 p=l (q+p) m+n (q-p) C + {-I ) C ^ m m 00 I— n q • P= 1 (p) C + (-1 m Hm+n <P^D) + (-1) (p\D) m+n (-P) (p\D) + (-1) (p\D) m

=

0

,

1

,

2

, .

00 I P= I J q+p ) + (-1 )m+n i(q-p) (p\D) _ (-1) (p\D) ^nq • ^ p= I i(p) m+n i( -p ) C + (-1) C Hm+n <P^D) - (-1) (p\D) = I 2

En vertu de (2-8), ces deux conditions seront satisfaites simultanément si Mon a m+n “^m , q + p ’ '^m , q-p “ ^nq • m+n bm,p + <-l > b„,-p = 0, 1,2,..(2-15) P = 1,2,...

Dans (2-15), q peut prendre toutes les valeurs entières de -oo à +o° ; en par­ ticulier, pour q=0, on retrouve b^Q = I .

La relation (2-15) montre que ne dépend de n que par la parité de n ; il suffit donc d'envisager les deux groupes b^q (pour n pair) et b^q (pour n impair) .

Cas où (m+n) est pair.

A ce moment, m et n étant de même parité, on peut écrire (2-15) sous la forme :

Considérons que dans cette équation, p est fixe et q variable : c'est alors une équation aux différences finies, homogène, du second ordre, en b^q .

( ^ )

La solution générale, compte tenu de ce que bj^^ = I, est

b^q = cos q 9 + K.j sin q 0 . (2-17)

Les constantes complexes 0 et K sont indépendantes de q mais quelconques ; elles pourront prendre des valeurs différentes suivant la parité de n .

Vérifions que (2-17) est bien solution de (2-16) ; avec (2-17),

,q+p + , q-p = [f ( q+p ) 0 + cos ( q-p ) 9] +

K.j |sin (q+p) 9 + sin (q-p) ^ = 2 cos p0. jcos q0 + K.J sin q^

= bpq . 2 cos p0 .

Comme b^^ = I, le coefficient de b^q dans le dernier membre est la valeur du premier membre pour q=0 ; on vérifie ainsi immédiatement que

2 cos p9 = b^^p + br,^_p .

Cas où (m+n) est impair.

On doit alors avoir, d'après (2-15) :

^m , q+p ^m , q-p *^m,p - ’^m,-p = b nq P = 1,2, Mais en vertu de (2-17) , •^m , q+p “^m , q-p d'où = |cos (q+p) 0 - cos (q-p) +

K.j jsin (q+p) 9 - sin (q-p) ^ = 2j sin p0.[j sin q9 + K cos q^

*^m , q+p ^m, q-p j sin q0 + K cos q0 ^1

--- = cos q9 + - .j sin q0 .

^m, P “^m^-p K K

215

-Ce rapport doit être égal à où n est de parité différente de m . Si nous posons

I+K jq'3 l-K -jq0

'b^q = cos q0 + K.j sin q9 = --- e + --- e pour n pair

(2-18)

. o' • • û’ ^

bnq = cos q0 + K.j sin q0 = e + — e pour n 1mpair,

nous obtenons les deux conditions :

cos q6 + — .j sin q0 = cos q9* + k' .j sin q©' (m pair, n impair) K

cos q0' + -y-j sin qO' = cos q0 + K.j sin q6 (m impair, n pair) K

qui ent rainent 0=0 K = - .

K

Ces valeurs introduites dans (2-18) donnent finalement la solution générale de

(2-15) : 1+K jp0 l-K -jp0 bnn = --- e + --- e np 2 2 1+K jp0 l-K -Jp0 b„_ = --- e - --- e pour n pair P, entier quelconque (2-'9) np 2K _2K pour n Impair

Dans le problème général du réseau plan infini, (2-19) est la solution parti­ culière qui vérifie la condition (2-15) .

Elle correspond à la superposition de deux ondes de déphasage progressives sur

J 0

le réseau . D'après (2-10), la première onde multiplie les courants par e quand on passe d'un fil au suivant dans le réseau, tandis que la deuxième onde

-J 9

...

de déphasage progressive sur le réseau, et nous supposerons que les courants sont multipliés par e~J® chaque fois qu'on passe d'un fil au suivant .

A ce moment, K=-| et (2-19) se réduit à -J p0

bpp = e n = 0,1,2,... p, entier quelconque (2-20)

où 9 peut être complexe et exprimer non seulement un déphasage mais aussi une

3.3. METHODE GENERALE POUR LA RESOLUTION DU SYSTEME DES CONDITIONS AUX LIMITES.

Nous distinguerons deux cas, suivant que la distance entre les fils est grande ou est petite par rapport à la longueur d'onde des ondes planes ho­ mogènes dans le diélectrique .

a) La distance entre les fils est grande par rapport à la longueur d'onde.

Nous entendrons par là, non seulement que kD » I, mais que D est suf f i sammient grand pour que

1

a.d| » I .

Dans l'expression (2-6) des a^^ et les b^p et sont de l'ordre de grandeur de I en vertu de leur définition (2-4) ; quant aux fonctions de Hanke', elles tendent vers 0 quand D - <» car ( Xr ) décroît exponentiellement si

r -• 00 , Dès lors, quand D - œ, les et a^!^^ tendent vers 0, à moins que les

sommes de (2-6) ne contiennent une infinité de termes ; dans ce cas (qui est celui d'une infinité de conducteurs), il est possible qu'une certaine résonance

entre les b^p et les fonctions de Hankel donne aux séries de (2-6) des valeurs assez élevées *** : mais c'est exceptionnel et nous n'envisagerons pas cette

éventualité .

Par conséquent, d'après (2-5), les sont négligeables vis-à-vis des H|^, et l'on peut, dans les conditions aux limites ( I . 3-28 ) ,

(1.3-29), poser sans grande erreur

= 0 . n = 0, 1,2, . . .

fil unique . Nous avons ainsi démontré ce qu'il était possible de prévoir a priori pour des raisons physiques : lorsque la distance entre les fils est très grande par rapport à la longueur d'onde, l'influence mutuelle des conduc­ teurs est négligeable et chaque fil se comporte comme s'il était isolé dans

l'espace. En particulier, si nous nous limitons aux ondes principales, chaque fi! guide alors une onde de Sommerfeld (voir $ i>4), laquelle admet la symétrie

de révolution autour du fil .

C'est en se basant sur cette remarque que T. Magri [48] a essayé de résoudre le système des conditions aux limites pour une ligne de Lecher : elle consi­ dère l'onde guidée par deux fils comme une perturbation de l'onde de Sommer­

feld . Une telle méthode ne peut donner de résultats que si la distance entre les fils est grande par rapport à la longueur d'onde, ce qui n'est pas le cas

pour une ligne de Lecher .

b) La distance entre les fils est petite par rapport à la Iongueur d'onde .

Nous entendrons par là, non seulement que kO << I (donc a fortiori ka « I), mais que D est suffisamment petit pour que

|\d| « I .

Cette dernière condition est d'ailleurs une conséquence de la première quand la fréquence n'est pas trop basse ; en effet nous verrons à la fin du présent paragraphe que le rapport tend vers 0 quand x tend vers .

Grâce à cette hypothèse, dans (2-6), nous pouvons remplacer les fonctions de Hankel par les approximations (1.7-3) . En nous rappelant que pour n entier.

H -n (Z ) (-1 )" . (Z) nous voyons que

|h^_, (p\D)l « |h,

m

Cette relation, jointe à (2-7), permet de transformer (2-6) en m n Km ^ <-'> T- • ^ ^mp -Hm+n ‘P^^) ^m pi^o ? m+Kn *®-nm ^ ( -1 ) — • ^ *^mp • ^m+n * P ^ * % p)É0 ^n IT • ^ ‘P ^o pi^O (-1)"' ^ b^p -Hm (P^D) . b'm p^o avec no et om (3-2) ( n = 0, 1,2,...) (3-3) (m = 0, 1,2,... ) (3-4)

La première équation de (3-2) est donc valable aussi pour n =0, et donne

alors (3-4) .

En vertu de (3-2), on obtient l'égalité remarquable

■^nm ^nm •

m

n

,

2

, . . •

(3-5) En réalité, la relation (3-1) est valable seulement si |p| est suffisamment petit pour que Ip^oj << I . Mais pour les grandes valeurs de |p|, qui peuvent exister si les conducteurs sont nombreux, les fonctions de Hankel en p A. D

tendent vers 0 (ne pas oublier la convention 1-2), et leur contribution aux sommes de (2-6) devient négligeable par rapport à la contribution des termes en IpI petit ; physiquement, cela revient à dire que seuls les fils les plus rapprochés du fil 0 ont une influence sur les champs au voisinage de ce fil . Cependant, si les sommes de (2-6) contiennent une infinité de termes, c'est-à- dire s'il y a une infinité de conducteurs dans le réseau, il est possible qu'à

L'égalité (3-5) est fondamentale car elle permet la simplification finale du système (1.7-16) des conditions aux limites. En effet, grâce à (3-5), (2-5) devient B n B_nI CD ^no • ^o ^o ^ ®nm • ^m '^m m= I œ ~ ^ ®nm ■ ^m '^m m= I n = 0,1,2,... n = 1,2,...

Portons ces valeurs dans (1.7-16) :

Po ^n ^ * !ii +1 n no Co Ho + CO 2 m= I ‘nm

K

- Cm Hm w e OJ_ CnHn-CnHn h ' 0) Bq. n = 1,2,..

h

no CO Z m= 1 “■nm Cm Hm - Cm Hm

_{0) |ioJ}

Cn Hn - Cn

h

« fJ-o

Avec les notations (1.7-17) et (1.7-16), le système prend la forme très simple

00 ^no Hq ‘ ^2 ^ m= I “-n % U I 2 °° h 1 I .. • ^no Hq • “I Cq + 2 ^ f^o m=l n = 1,2, (3-6) (5-7) ' î

Ainsi, l'ég^alité (3-5) a permis l_a séparati_on des inconnues Z^, Z^ dans le sys­ tème des conditions aux limites : l'équation (3-6) ne contient plus que des Z^, et l'équation (3-7) ne contient plus que des Z^ .

D'autre part, dans l'équation (3-6), la constante de propagation h a effecti­ vement disparu . Pour le démontrer, remplaçons les fonctions de Bessel d'ar­

guments petits par les approximations (1.7-3), d'abord dans (3-2) et dans

- 22 I m n * * ^nm ^

rxâT

"

^

^mp • ^m+n *P^D) (-1 ) m ( m + n - I ) I ni (m - 1 ) ! fa'l D m+n . S P*o p' ^mp m+n m = 1,2,.. n = 0,1,2, ( 3-8) et ensuite dans (3-3) ^no = 2 Jn {k&) . 1 p^o bop (p^D)

^ J

-n -n fai D Z p;^o ^op r,n

,

2

,

En vertu de la convention ( 1-2), ces relations sont vraies, que p soit positif ou négatif. Elles montrent qu'au degré des approximations admises, les coef-ficients a nm ( pou r m = 1,2, . . . et n = 0, 1,2, .. . ) et _{no H}q (pour n = 1,2,...) dépendent uniquement de la géométrie du réseau de conducteurs ; ils ne dépen­ dent pas * * * de la constante k . Enfin, d'après ( I.9-5 ) , Cq =k2

71 2

4 ^ R J O n'en dépend pas non plus .

Avec ces expressions, (3-6) devient :

~2---^ ~2---^n J D r ---R„ le 2 \l ° b Z pAo p o_p n (5-9) œ - 2 m= 1 _qmJ qm <->)' ( m + n - I ) 1 ni (m - I )I ("aq D m+n Z pAo p ■^mp m+n

,

2

, .

Nous avons divisé par x^ pour faire apparaître comme termes indépendants des Zp, des quantités qui ne dépendent pas de x .

Zn

D'après ( 3-9), les rapports —--- (pour n = 1,2,.,.) sont indépendants de la

x2 q^

constante de propagation h . Ils dépendent de la géométrie du réseau de con­

ducteurs (leur existence exprime d'ailleurs l'effet de proximité et de la fréquence par I'intermédiaire de la variable x, contenue uniquement dans

(*) Cette conclusion suppose essentiellement que l'on ait toujours |p \o I « 1 dans ( 3-8 ), autrement dit que les fils du roseau ne soient pas trop nombreux . En fait, nous verrons au paragraphe 3-8 pour le réseau Infini, le coefficient aïo I|Iq <j^pend de A. à moins que le déphasage 0 de (2-20) ne soit nul ou soit grand vis-à-vis de |AX)| .

C'est-â-dire la perturbation apportée à la symétrie de révolution autour du fil 0 par la présence des autres fils .

les ; de plus, comme il fallait s'y attendre, ils sont proportionnels à l'intensité de courant J.eJ^^ qui ci rc ule dans le fil 0 à l'end roit z = o.

Enfin, la solution de (3-7) se déduit immédiatement de celle de (3-6) ; en

^o oo ^no ^o • 9 9 ^ ^nm m=l b-1) par h x2 . “ f^o *

f

_h ■

1

v2 ^ ..2 W p-o ■ X 1 U [Xq ■ J n — 1,2,

et de comparer à (3-6) divisée par x^, pour voir que

'H W l-l-Zn ^ 2 ^n n = 1,2,... (3-10) = 00 puisque [%] = ^ ■

Il importe d'observer que la relation (3-10), dont nous tirerons des proprié­ tés remarquabI es, est vraie uniquement parce qu'en vertu de l'hypothèse

|\d| « I, les coefficients a^^ et a^^ (pour m et n = 1,2,...) ne dépen­ dent pas de \ ni par conséquent de x .

Grâce à (3-10), (1.7-21) et (1.7-22) deviennent respectivement

Cn Hn Z, ^^2 _r

₁

^n ^n h 2n r Zn 1 x2 x2 k2 qn. X =C0 x2 X W fXomo x2 x2 q^_ X = 00 n = 1,2,... (3-1I ) Bn Jn Zn h2 r Zn

1

Bn '^n h 1 c M 1 _____ r Zn

1

1 x2 x2q^^ ‘ k2 2 _x=00

II

O

3

1 C N X 2 [x qn .x^qn. X = oo_ n = 1,2,... (3-12)

Ainsi, sans connaître la constante de propagation h, nous pouvons résoudre le

Zn

système (3-9) en les inconnues —--- , et en déduire à un facteur près, en

223

-portant (3-11) et (3-12) dans (1.3-27), les valeurs du champ magnétique longi-Q

tudinal dans tout le voisinage r < D-a du fil 0 . Par contre, pour

cal-0

culer par (1.3-26) tes valeurs du champ électrique longitudinal dans le voisinage du fil 0, nous devons connaître h ; néanmoins, en vertu de (1.9-3), de (3-11) et de (3-12), h disparaît dans l'expression de rface_du fil . Cette remarque est capitale car elle montre que l'expression (I.10-14) de la densité linéique de puissance complexe qui entre dans le fil est to­ talement indépendante de h .

Système réduit des conditions aux

limites-Afin d'alléger l'écriture, posons

2

n = 1,2,... (3-13)

Suivant (1.9-2), cette relation est équivalente à

j ^ 1^0 ^n

X„ =

2 71

^n . J eJ^z

n = 1,2, .. . (3-14)

Avec (3-13) et (1.9-5), le système (3-9) qui résume les conditions aux limites pour n = 1,2,... , se transforme en 'a' n _5* ^op CO T y n _{( 1 )}m ( m + n - 1 ) ! 'a' [dJ • pAo m= 1 n ! ( m - 1 ) 1 C yD m+n _"mp ,m+n p)^o p" i I n = 1,2, .. . (3-l5)|

Cas des hautes fréquences.

Ainsi que nous l'avons fait remarquer au § 1.8, si l'on cherche une solution asymptotique pour les hautes fréquences, valable jusques et y com­ pris les termes en —on peut mettre q sous la forme d'une m- puissance

,2m selon (1.8-6) ; à ce moment (3-15) se réduit à -n ^ pAo ^OD - 2 X, m= I m (m + n - I ) I . (_1 ) ---ni (m - I ) 1 al

n

2m . Z püto p' ■^mp m+n n - 1,2,4 (3-16)

Le système (3-16) est particulièrement simple parce qu'il ne contient plus que

I e paramèt re •

Or, ^ - 2 S't cl ' après (1.8-11), |q | < I ; dès lors

q •

-^ D

< -

2

et il est toujours possible, à défaut d'une solution plus élégante, de

déve--n r

lopper les inconnues dans (3-16), en séries de puissances de

CJ

On pourra donc écrire

œ

Z

r=o 'n r

n = 1,2,... (3-17)

où les coefficients c^^ sont indépendants de les b^p le sont .

On obtient ainsi les et, partant, les dans le cas des fréquences élevées, c'est-à-dire le cas où l'effet de proximité est le plus marqué .

^•d

- 225

Calcul des champs longitudinaux dans le voisinage d'un fil.

Dans (3-11 ) et (3-12), nous avons divisé par les coefficients des développements des champs en séries de Fourier, afin d'obtenir des quantités qui restent finies pour toutes les valeurs de x . En vertu de (1.9-5), nous pouvons arriver au même résultat en divisant tous les coefficients par

2

i --- c„ au lieu de x^ , Avec la notation (3-13), nous tranformons ainsi

ou, g race à (I.3-3 ) : e -jhz ,2k E = e Z ■ j „ rs ■ '_^ a2 U. 7Ï \2 — Xr, + i---• _{Ao O O O} ( Xa) Jro ^ V.^ Jq (X.rl Jq (\a) 71 A.-^ CO 2 |<2 n= I (XD (\r)

(\a) - (\a) cos n cp

’k2

00

^ *30 n= 1

(^r) (AD

(\a) Hp ( A.a) cos n cp

Dans le voisinage a < r < D-a du fil 0, |\r| « I puisque nous supposons que 1A.d| « I . Dès lors, nous pouvons remplacer les fonctions de Bessel par

les app roximat ions (1.7—3) dans l'expression précédente, et celle—ci devient, si nous tenons compte aussi de (1.9-2) :

e J ^ |3-o E = --- . I Z 2 n CO n= 1 -^n (X n 'œ fr' cos n cp X2 r r + — ilog -00 2 ( X|^ )qo n= 1 rr n raj rr

1

— — — cos n cpy _[a r

_J

a < r < D-a (3-20) s2

Il est remarquable que le terme en ^ s'annule quand r=a : ainsi -j

surface du fi1 est indépendant de la constante de propagation h .

f à la

De la meme façon, portons (3-I6) et (3-19) dans ( I.3-27 ) ;

- 227

Avec (1.9-2) et (1.7-3) , cette expression devient

J h

2 K CO I . X n= I 7r' n 'a' rr c X __a_ + ^n r - (X n '30 rr'i^ fa'i

Llâ) *bJ

a < r < D-a s i n n (p (3-21)

En faisant r=a dans (3-20) et dans (3-21), on obtient les coefficients définis par (1.10-5), et on vérifie immédiatement que

( ^30

W 1^0

+

2

.

' -^n

n - 1,2,. (3-22 )

relation équivalente à (1.10—12) en vertu de (3—13) et de (1.9—5 ) .

D'après (1.8-5), 9n ~ et, par (3-15) : quand x - oo ; dès lors 1 -q^ = 0 ( *00 donc ( Xn )qo = 0 ( 1 ) ,

ce qui confirme totalement (1.10-13).

Enfin, avec (1.9-9), (3-21) devient ;

Sous cette forme, l'équation (3-23) montre que — est indépendant de la constante de propagation h tant qu'on reste dans le voisinage |A.r| « I du f i I 0 .

Changement du fil choisi comme référence.

Tout ce qui précède est relatif au fil 0 . Si l'on veut passer au fil P, il suffit de remarquer qu'en vertu de (2-8), (1.7-17) donne

P> (O )

^n • *^np n — l,2,«..

d'où l'on tire, avec la définition (3-13) :

(P ) (0 ) “np

Xn = _n • ---_b

^op

n = 1,2, (3-24 )

( P ) ( O )

Enfin, puisque Cq =Cq ■ . b^p , on a d'après (1.9-2)

j(p) ^ J<o) . b et g race à ( 1.9-9) : q( P ) _ q( O ) ^ |3 op op (3-25) La constante de

propagation-La valeur de h ou ce qui revient au même, celle de \, est détermi­ née par la dernière condition aux limites, à savoir l'équation (1.7-5), qui correspond à n-0 . Avec (1.6-6), cette équation s'écrit

2 fx

Bo^o-C, H, = J-_C,.-Xo .

Tenons compte de la relation (2-5) quand n=0 :

^ . 2 k2 ^

^oo I * ^o ^o ^ ^om ^m = j ^ Xq

m=l ^ X2 f^o

229 d'où, grâce à (3-18) : n 00 J ^ * ^oo ^om 2 k2 m=l % - “7 ‘^m’œk2 ü i^o

Finalement, en vertu de (3-3), de (1-2) et de (1.3-3), cette équation devient

k2 r TC °° ~ j 7 '^0 ^ *^op • ^o * IP I ~ J O Hq ^ ^om * ^m * p»(o 00 ., Xo ~ ^ ^om ro m= I '^m ^m “ *^m’oo 00 m= (3-27) Rappelons que Jq ( \a ) I .

Les coefficients a^^^ sont donnés par (3-8) :

^om = Jo (Xa).(-I) . S

^mp

m = 1,2, péo p"

Au degré des approximations admises, ils sont donc indépendants de k. Puisque les déterminés par (3-15) n'en dépendent pas non plus, k apparaît seulement

\2

dans — et dans les fonctions de Hankel d'ordre 0 .

k2

Si les fils du réseau ne sont gas trog nombreux, |p| ne prend pas des valeurs trop grandes, et l'on peut remplacer dans (3-27), toutes les fonctions de Hankel par l'approximation (1.7-3) :

La relation (3-28) est une équation transcendante en A., du type de l'équation de Sommerfeld (voir § 2.1), sauf dans un cas : celui où les conditions de symétrie sont telles que Z = - I . Dans ce cas particulier, les termes

péo °P

en log k s'éliminent, et (3-28) se réduit à une équation algébrique du premier

degré en

\2

Que signifie physiquement la condition

Cette condition est équivalente à

I + 2

p^o op 0 ?

ou, en vertu de (3-25), à

2 I<P’ = 0 . P

j(p) est l'intensité du courant longitudinal qui circule dans le fil p. Il faut donc distinguer deux cas :

Dsi 2 J<P’ = 0 , la zone où les champs sont importants s'étend à une P

distance des fils qui reste petite vis-à-vis de la longueur d'onde, le courant de déplacement parallèle aux fils dans le diélectrique est

négligeable par rapport aux courants de conduction dans les fils, et la constante de propagation est donnée explicitement par l'équation (3-28) . Ce type d'onde subsiste sur des fils infiniment conducteurs (voir § 1.2).

2) si 2 J*P* ^ 0 , la zone où les champs sont importants s'étend jusqu'à P

231

Variations de la constante de propagation en fonction de la fréquence.

Dans (3-27), seul le second membre dépend de x .

Pour X = 00^ il

quand x -* co,

s'annule comme ^ en vertu de (1.6-22) et de ^ — 0 comme ^ (*) ■ conséquent :

(I.b-5) Dès lors.

I) les fréquences très élevées se propagent le long des conducteurs avec une vitesse de phase très voisine de la vitesse de la lumière dans le

diélectrique ambiant ;

2) si les fils ont une conductivité infinie, \=0 et ils guident une onde TEM qui se propage avec la vitesse de la lumière . Nous retrouvons, comme il se doit, les conclusions du paragraphe 1.2 .

Quand x 0, puisque les X restent finis pour toutes les valeurs de x, le

terme — Xq devient prépondérant dans le second membre de (3-27) i En effet, p»o

à ce moment, d'après ( 1.6-8) et ( 1.5-6) ,

^ X % - i -.

1^0 ° ■" .2 R (i) a . a-'^

(3-29 )

Dès lors, si les fils du réseau sont en nombre fini, (3-27) montre que

X2 = . 0 W fXo C7 a2^ fCO En') a a^ \a = 0

(<0

£q 'J CT (3-30)

Remarquons que grâce à (1.3-6), la condition |Xa| << I est bien vérifiée.

On a de mime, en vertu de ( 1.3-3) :

h2 = 1^.2 _ ;^2 ^ h a = 0 U Êo

N CT (3-31)

I \ Ainsi, quand 0) — 0, \ et h s'annulent tous deux comme n CO

(*) Nous négligeons l'influence éventuelle des fonctions de Hankel dans (3-27) .

Comparons encore h à k au moyen de (3-27) et de (3-29) :

k2 k2

La vitesse de ptiase des fils est

' I ix' _x2 fXo

des ondes à fréquence

1 f^o.

très basse qui se propagent le long

Cl) I k

(3-32)

Elle est donc très différente de la vitesse de la lumière dans le diélectrique ambiant, et elle tend vers 0 comme 'foi) .

Par conséquent, l_orsque des ondes _é lec'^romaqné^i_ques_se_qrq|Dag_ent_l_e_l_ong__de conducteurs parai lèlesj_ elles subissent touj_ours une _d [sgers [qn_ç__quand _l_a fréquence croît de 0 à des valeurs très élevées, la vitesse de _p)iase _qart _c^e JD

et tend asymptot i quement _ve rs _l_a_v i_tesse _c^e _ l_a _j_um i_è re _dans _ l_e _d i_é l_ect r i_q_ue ambiant .

(0 I—

Enfin, avec ( I . 9-9 ) et ( 5-32 ), on voit que I ~ Q s* annule aussi comme n G) lorsque oj tend vers 0 : le problème devient purement électrostatique .

Remarque :

Pour comprendre la raison de ce phénomène qui n'est pas évident a priori, observons d'abord que comme h s'annule en meme temps que (0, tous les champs deviennent indépendants de z . De plus, quand (0 = 0, rot E = 0 .

En projetant cette équation dans un plan (u,v) perpendiculaire aux génératri­ ces des cylindres,on voit que puisque le champ électrique transversal ne dé­ pend pas de Z, le champ électrique longitudinal ne dépend ni de u ni de v :

autrement dit E^, est constant dans tout l'espace . Dès lors, si E^ n'est pas nul, les courants longitudinaux I doivent être égaux dans tous les conduc­ teurs ; la valeur constante de E^ est d'aiI leurs tel le que

Ez = Ro • ^

233

-Or, un tel cas est la limite pour W -* 0 d'un réseau de fils dans lequel tous les courants sont égaux et en phase . Nous arrivons donc à la conclusion :

Si dans un réseau, les courants qui parcourent les fils ne sont pas tous égaux et en phase (c'est-à-dire d'après (3-25) si les coefficients b^p ne sont pas tous égaux à I), le fait que co tende vers 0 entraîne nécessairement que E^,

T / «CO ( ^ )

l et par conséquent aussi tendent vers 0 .

Par contre, si les courants qui parcourent les fils sont tous égaux et en phase (c'est-à-dire si les coefficient b^p sont tous égaux à I), E^, I et ^ peuvent éventuel lement tendre vers une I imite non nul le quand 00 tend vers O . Cependant, nous avons montré plus haut que si les fils du réseau sont en nom­ bre fini, le rapport ^ s'annule alors comme -Tw ; par conséquent, le seul cas où — peut ne pas s'annuler pour 00 = 0 est celui du réseau comprenant une

infinité de fils parcourus par des courants égaux et en phase, c'est-à-dire le cas où 9 = 0 dans (2-20) . Effectivement, nous verrons au paragraphe 3.8

que dans ce cas unique, à cause de la somme infinie sur p dans (3-27), h s'an­ nule comme 00 : le rapport ^ et I tendent vers une limite différente de 0

lorsque co tend vers O .

Dans le cas général où le rapport tend vers oo quand la fréquence tend vers 0, on peut se demander si l'onde conserve son caractère d'onde principale au sens de Sommerfeld . En fait, il en est bien ainsi car avec (3-31), l'inégali­ té (1.5-3) qui définit les ondes principales prend la forme

Cl) e. « 00 a a^ ou encore I ‘^O O -7 • — « . f^o

et cette dern1ère condition est vérifiée puisqu'elle est équivalente à (1.5-14),

(*) Cela ne veut évidemment pas dire que des rourants continus d'intensités différentes ou de sens contraires ne puissent pas circuler dans des fils para Ile I es ; mais cela signifie que dans un tel cas, le champ électrique transversal dépend de z et ne peut etre la limite pour C0“*0 d*une onde en .

Invariance de l'équation (3-27) par rapport au choix du fil de référence.

Nous avons établi (3-27) en prenant le fil 0 comme référence ; les coefficients b^p et dans cette équation sont donc relatifs au f i I 0 .

Si nous choisissons un autre fil q comme référence, nous pouvons écrire une équation semblable à (3-27), mais contenant des coefficients relatifs au fil q.

- 235

La constante de propagation, quand La distance entre les fils augmente.

a

Quand D augmente de façon telle que le rapport - devienne petit de-D

vant I, les a^^ et les (m = 1,2,...) deviennent également petits vis-à-vis de I en vertu de (3-8) et de (3-15). Leurs produits peuvent alors être négli­ gés dans l'équation (3-27), et celle-ci se réduit à

^ -2: b . Hq( IpI Xd) -j^. Ho(Xa)

k2 L 2 ps^o ^

Rappelons que nous supposons toujours |Xa| « I .

L'équation (3-33) a été obtenue dans l'hypothèse |Xd|«1 ; mais elle reste vraie quand D augmente. En effet, quel que soit D, la constante de propagation est déterminée par (3-26) ; si D croît, les champs autour de chaque fil tendent vers la symétrie de révolution : seul Cq Hq doit être conservé parmi les

et (3-26) se réduit à (3-33) .

V- a_{-« I}

D (3-33)

En particulier, dans le cas de la ligne de Lecher, p = I et b^ji = -I . Notre équation (3-33) est alors équivalente à l'équation (64-) de Mie [11,p.231] et à l'équation (5) de T. Magri* [48, p.20l] .

Enfin, quand la distance entre les fils devient tellement grande qu'on a |Xd| » I, les termes en Hq (|p|Xd) sont nég I i geab I es par rapport à Hq (Xa) et (3-33) redonne bien l'équation (2.1-6) qui détermine la constante de propagation de l'onde de Sommerfeld.

T. Magri ne fait aucune hypothèse restrictive sur Xa. Son équation (J) est donc plus générale que

Comparaison avec les auteurs qui négligent la propagation des champs le long

des fils.

La transformation du système (3-6) en (3-9) grâce aux approximations admises, permet de comprendre clairement pourquoi les auteurs qui ont négligé

la propagation des champs le long des fils ont néanmoins pu obtenir des résul­ tats corrects. Poser = 0 revient à faire h = 0 et X = k dans toutes nos

équations. Dès lors, le système ( 1.7-16) des conditions aux limites se sépare immédiatement en deux autres, dont l'un ne contient plus que les coefficients de Fourler de E^, et le second, les coefficients de Fourier de H^. Mais

( 1.3-27) montre, avec (3-1I) et (3-12), que = 0 quand h = 0 .

Aussi, dès le début de son étude, Butterworth [34]prend implicite­ ment = 0 ; raisonnant ensuite exclusivement sur E^; il établit par les con­ ditions aux limites les équations qui déterminent les Zp. En vertu de l'hypo­ thèse kD « I, il utilise dès l'abord les développements (1.7-3) des fonctions de BesseI autour de l'origine ; il obtient ainsi le système en les Zp, directe­ ment sous une forme équivalente à (3-9). Il est clair qu'un tel procédé réussit uniquement parce qu'au degré des approximations admises, le système (3-9) ne contient plus la constante de propagation h.

Cependant, en y regardant de plus près, on s'aperçoit que Butterworth passe sous silence la condition aux limites qui correspond à n = 0. Cette condition donnerait l'équation (3-27) dans laquelle on aurait fait X = k ; autrement dit, puisque (3-27) sert précisément à déterminer X, cette condition donnerait une équation incompatible avec le système (3-9) ou son équivalent

- 237

Néanmoins, Butterworth obtient l'expression correcte des pertes Joule dans les conducteurs car celle-ci, selon (1.10—26), ne fait intervenir que les

(n = 1,2,...), sans la constante de propagat ion. Or, en ve rt u de ( 1. 10-6) et de ( I . 7-24- ),

-ihz Zn

E_ = - e (l-q_). n=l,2,... (3-34) Qn

Donc le calcul de l'effet Joule est correct puisque Butterworth obtient aussi le système (3-9) en les ( n = 1,2, ...)*.

* -jhz En

3.4. RESISTANCE ET COEFFICIENT DE SELF-1NDUCTI ON INTERNE D'UN FIL PAR UNITE DE

LONGUEUR.

Le théorème général [v, éq. (8-7) p.79] sur le flux du vecteur de Poynting complexe permet encore d'écrire (1.10-20) quand les champs n'ont plus

la symétrie de révolution autour du fil . Ivlême dans ce cas, l'énergie électri­ que moyenne localisée dans le conducteur doit être faible vis-à-vis de

l'éner-3 W, . ,

gie magnétique moyenne, et le flux - ——— . dz du vecteur de Poynting complexe oz

entrant par les deux bouts d'un tronçon de conducteur infinitésimal dz, doit être négligeable vis-à-vis du terme d'énergie magnétique dans (1.10-20) .

Dès lors, (1.10-20) se réduit encore à (1.10-21) ou, ce qui revient au même par définition de R et de Lj, à (1.10-22) :

W = - (R + jooLj).|jl

2 '

(4 - I )

Or, en vertu de (3-14), (3-34) peut s'écrire

T j y M ni

- - ^ “ -^n’ n = 1,2,... (4-2)

Portons ces valeurs dans (1.10-26)

239 -Comparons à (4-1) et appliquons (1.5-9) : R + j U L I Z + R,0 1 Ifo PL 2 CO 2 n |x^r . Im (q^) œ + jW — • S n Ix^ 47t n= I [' - l^n

Sur la figure 1.8, on voit que Im (q^^) > 0 et que Iq^l < I : ainsi, l'effet de proximité a pour conséquence d'augmenter la résistance R et le coefficient de se If-induction interne Lj de l'unité del longueur du fil, la fréquence res­ tant inchangée .

Les parties réelle et imaginaire de Z sont données respectivement par (i.10-25) i et ( 1. 10-24) ; dès lors. (4-3) (4-4) Uq X 11^ — = |+F(x)+ — — . 1 n X_ .lm(q) Ro 1^ 2 ^ 2 00

Ainsi, sans connaître la constante_de_grogagatj_on_h^_[|_est_goss]Me en résol­ vant le système (3-15) en les X^^, de_ca[cu|er_j^]_[mgédance_[nterne_de_chague_f

gar unité de longueur . L'impédance interne Zj de l'unité de longueur du réseau est la somme des impédances internes de tous les fils .

Cas des conducteurs ferromagnétiques en basse fréquence •

Si X « I, nous pouvons utiliser le développement (1.8-3) des

H

Ho

-ô2 J

_{n IX 1^}

n

-ô2-2 „4

00

^

T

271

_{° H}

0

^

n=l

n IXn! - ^

*

4 J

2 n=l

n (n

+1

)2

Portons les développements (1.6-9) dans les expressions (1.6-11) et (1.6-13) de F(x) et de cp^ ; puis remarquons qu'en vertu de (1.8-1),

ü 1^0 . ü. L|J-o I -Ô2 Nous obtenons 4 rx"! + - 3 .Ho 2 2 ,,, IXnP n + L: = H 1 1 4

₂

CO

T n

Ix 1 Ho

x^

271 4 6 4. f

--

--%

A

l

V

_

!

_

_

J

.Z n |X^1

2 n=l

f |X _{— + 1} j [Ho 4‘ 2

\ I

n= I n( n+1 )'

Les restent finis pour toutes les valeurs de x et de jj- . Par conséquent,

dans les équations précédentes, les séries en |Xj.,|2 sont négligeables vis-à- vis des autres termes si [X >> ; autrement dit, eo_basse_fréguence^_j_a_ré­ sistance et le coefficient de se I f-i nd uct i on interne d ]_un_conducteur _à_haute perméabilité magnétique sont sensiblement les memes que si le fil étai_t isql_é dans l'espace . L'effet de proximité est donc très faible sur un tel conducteur :

il ne faut pas s'en étonner, car le métal ferromagnétique joue le rôle d'écran magnétique, et les champs dans sa masse conservent sensiblement la symétrie de

révolution autour de l'axe du fil ***, malgré la présence des autres conduc­ teurs . Cet effet d'écran s'atténue toutefois quand la fréquence augmente .

(*) L*exîstence des E en (4-2) semble contredire cette symétrie de révolution ; maïs il ne faut pas

"

j

- 241

Formule approchée pour le facteur de proximité ,

A la suite de Kennelly [22] et de Carson [30], on appelle facteur de proximité $ le rapport entre la résistance en courant alternatif d'un fil dans

lequel la distribution des courants peut être perturbée par la présence d'au­ tres conducteurs, et la résistance (1.10-25) qu'aurait le même fil s'il était

isolé dans I'es pace .

En vertu de (4-3) et de (1.6-14), le facteur de proximité pour un fil dans le

réseau vaut donc

R $ = ---Rq (I+F) J_ ^ T ' n=l " (4 -5 )

Pour obtenir les facteurs de proximité des différents fils, il suffit d'appli­ quer ( 3 - 24) .

D'après (3-15), les nX^ varient assez peu avec la fréquence, et restent toujours de l'ordre de grandeur de ; par conséquent les variations de § en fonc­ tion de la fréquence sont dues essentiellement aux variations de

J_ ^ (Rn >

'/'o ’

Si X << n, nous pouvons appliquer (1.8-3), de sorte que

_L Ifo l'"'

'Po' ^ ^ X ^ 2 ( l+F) ■ -ô2 4 .4 + . (n+1) 'ü .1^0 ^ 2 n^ (n+I + F +

...

« car n2 (n+l ) ' X3 n2 (n+I) X --- << I + F X I + F (4-6)

0 Si X » n . — , nous pouvons appliquer (1.8-6) j usqu'à I'ord re u :

M'o

<qn* = hnl • [^'"9 '9n'^ hr,! , sin [Im log (q^)]

I q 1^ .sin [2n . Im (log q )] .

Comme d'après approximation

Im (q^)

.8-7), log q est de l'ordre de u, on peut écrire avec la même

2n Im (log q ) jusqu'au terme en u2

Finalement, grâce à (1.8-8), JL <9n) ^ 2 hl^"' '/'o ’ ri I Un I i2n I — Im ( log q) = 2 |q| . — Im (-Xq) •Ao '^o I 12n = 2 . |q| jusqu'à l'ordre u. (4-7)

Des relations (4-6) et (4-7) nous tirons deux conclusions importantes : d'abord, ainsi qu'il fallait s'y attendre, le facteur de proximité est beau­ coup plus grand pour les hautes fréquences que pour les fréquences basses ; ensuite, dans la série (4-5) qui détermine $, les premiers termes sont de loin

les plus importants .

Dès lors, gour obtenir une formule gui donne une bonne apgroximation_du facteur de proximité dans toute la gamme des fréguences^ il faut d'abord chercher Ijex-

gression de ^ dans le cas des fréguences élevées . Cette expression se déduit directement de (4-5) et de (4-7) :

ï I i2n I .2 I

$ = I +2 . £ |q . |n Xr, I jusqu'à l'ordre - . (4-8)

n=l ^

On a donc rigoureusement, quand x =

24.3

-Définissons maintenant une nouvelle fonction g de x et de — par l'équation

... ... ... ... ...-... Kd

f^O

— Im (qI ) . (4-10)

La fonction g joue un rôle capital dans toutes les expressions du facteur de proximité ; elle sera étudiée en détail au chapitre IV (§ 4.6) . Elle a été choisie de manière à etre le coefficient de |n | dans le premier terme de

la série (4-5), et aussi de manière à tendre vers I lorsque x . En effet, d'après (4-7) , g = J usqu 'à I 'ord re ^ ou g ü + (4-11) en vertu de (I.8-1I) .

D'autre part, quand x « I, on a d'après (1.8-3) et (1.8-1) :

1^0

— . Im (qI )

d'où l'on tire, avec (1.6-14) :

g

8 ( l+F) +

. ..

Ainsi, la fonction g varie de 0 à I lorsque x croît de 0 à ; elle décroît

U.

quand — augmente, x restant fixe .

Si nous remplaçons |ql par g dans (4-8), nous obtenons CO $ = I + 2 . I g" . |n n= 1 jusqu'à 1 'ordre - / X «4-13)

La série (4-13) est aussi précise que (4-a) datiS le cas des hautes fréquences ; mais elle a sur (4-8) l'avantage de conserver un sens pour toutes les valeurs de X . De plus, quel que soit x, le terme en n=l de (4-13) coïncide exactement avec le terme en n=l (c'est-à-dire le terme le plus important) de l'expres­

sion rigoureuse. (4-5) .

Quand x « I, (4-6) montre que la formule (4-13) fournit une valeur par défaut de 5 ; cependant l'erreur est très faible parce que les termes successifs de

|JL

la série (4-5) décroissent rapidement . D'autre part, quand ^ 77T » (4-13)

Ho

fournit la valeur correcte de $ jusqu'à l'ordre ^ : on peut donc dire que la formule (4-13) constitue une bonne approximat ion^ d,d” facteur de proximité dans

toute la gamme des fréquences .

Dans ses travaux, Butterworth [34 , 35] se limite aux premiers termes de (4-5), qu'il calcule alors complètement ; en vertu de ce qui précède, les formules qu'il obtient ainsi doivent être plus précises que (4-13) pour les basses fré­ quences, mais par contre elles sont entachées d'une erreur qui devient appré­ ciable quand les termes négligés dans (4-5) prennent de l'importance, à savoir quand la fréquence est élevée et que les fils sont rapprochés . Dans ce cas le

plus défavorable, la formule (4-13) est de loin plus exacte. C'est ce qu'a très bien vu Arnold : partant initialement [41 ] de Butterworth, il s'est e’fforcé dans ses travaux ultérieurs [43 , 44 ,

xd

d'établir des formules valables d'a­ bord pour le cas des hautes fréquences •

Dans le développement de $ pour te fil 0 en série de puissances de

/ w I

mier terme sera toujours rigoureusement, d'après (4-13) et (3-15) :

2 le pre § = 1 + 2g

_f-l'

• I ^ 2 1 + . • . = 1 +— g

_[-]'•

£

[

d

J

pAo p 2

N

pAo p (4-14)

(*) Nous retrouvons Immédiatement ce premier terme dans les formules de ButtsrwOrth relatives à un réseau plan comprenant un nombre fini de fils parcourus par des courants égaux et en phase En effef,en vertu de (3-25) tous les b^^p valent alors 1, de sorte que

, à dans l'équation (501 de Butterworth [34, p. 77 et 7b] !

^ à (Xp dans l'équation (411 de Butterworth [35, p. 705 et 706] . Chez Butterworth, [1 = U et g est donné par (4-12) .

T.

- 245

Puisque à profondeur de pénétration donnée,g est une fonction décroissan­ te de p^, l'effet de proximité est moins marqué pour les conducteurs ferromagnéti­ ques : c'est bien ce que l'on attend, vu le rôle d'écran magnétique que jouent ces conducteurs.

Cas où les sont réels.

A ce moment, les coefficients c^^ dans (3-17) sont réels, et l'on a •a'i -n n Xn — .DJ 2 CO 00 2 2 r=o s=o 2 2 Cj^f. . Cpg 00 00 -22 Cp||, . Cpig r=o s=o r aj2r

■

Q']2r + 2s D * a

^ 5

. Re 2s q2^ . q* 2s Mais en vertu de (1.8-12), Re rü i/,(2r -2sn

et comme d'après ( 1.8-10), i// est de l'ordre de -, il reste simplement

Pe [q^^.q«=] . J usqu'à I'ord re - , d ' où n 2 00 00 E E c^^ r=o s=o • ns 2r + 2s I J usqu'à I'ord re - . Autrement dit. n œ _a ± |n Xnl =

[

b

]

• _r=o

^

*^nr ^5 jusqu'à l'ordre (4-15)X

Portons ce résultat dans (4-8) :

Nous arrivons donc à la conclusion remarquable : §l_les_coeff|c|ents

imp dépend de Iiliǧ!T“

I 2

tement_des_f |2s^_ jusgu^à_]^^ord re -, gue_gar_iHnterméd^alre_du_prgdu|t | q ^ | .

nous suffira de remplacer dans cette expression ' a ^

2 a — par q-DJ V, J D œ' pour obtenir

*Xn*œ ^’oo peuvent se déduire immédiatement de la répartition de la charge électrique à la surface des fils dans le problème électrostatique dont la symé­ trie correspond aux b^p ,

Afin d'alléger l'écriture, posons

Z = a q -Z. q Z ' a ■ D . D. (4-17) d ' où ou

Avec cette notation, (4-16) devient ;

247

-Si dans cette expression, nous faisons maintenant

Z = 9 14-19)

la formule obtenue pour $ est analogue à (4-13) et possède les mêmes avantages :

f a ■> 2

elle conserve un sens pour toutes les fréquences et le terme en rect quelle que soit la valeur de x. On arrive d'ailleurs à la

2 mule en remplaçant dans ,

D y est cor- même for-' a ■ 2 • a ' — par g — D V. J _ D.

Avec Arnold [41], nous caractériserons la proximité des fils au moyen

du paramètre

2a d

a=—=- . o<a<l (4-20)

DD “ “

En résumé, pour obtenir une première approximation du facteur de

proximité dans toute la gamme des fréquences quand les b^p sont réels, il suffit:

1) de déterminer la répartition de la charge électrique à la surface du fil dans le problème électrostatique dont la symétrie correspond aux b^^p ;

2) d'en déduire, par la relation (4-9) ou par l'équation plus générale (5-7) qui sera donnée au paragraphe suivant, la valeur I imite $ du facteur de

proxi-00

mité pour x -• oo, $qq est fonction uniquement de ;

3) de remplacer dans cette fonction par ga^ : l'expression ainsi obtenue constitue une bonne approximation de $ dans toute la gamme des fréquences.

En effet, dans le développement de cette expression en série de puissances de a2, le terme en est correct pour toutes les fréquences ; et quand

[J. I

X » —, elle fournit la valeur correcte de $ jusqu'à I'ordre -, quel que

(*)

^

soit a < l'*.

Dans le développement asymptotique de $, les termes en i, que nous avons négligés, peuvent avoir une X ^