Disponible à / Available at permalink :

- - -

- - -

Dépôt Institutionnel de l’Université libre de Bruxelles / Université libre de Bruxelles Institutional Repository

Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Vanderborght, J. (1976). Amélioration des paramètres d'orbites des satellites géocentriques à l'aide des mesures de l'effet Doppler intégré (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.

Disponible à / Available at permalink : https://dipot.ulb.ac.be/dspace/bitstream/2013/214395/1/58b3a2a9-227f-482f-b643-54f6bbeae647.txt

(English version below)

Cette thèse de doctorat a été numérisée par l’Université libre de Bruxelles. L’auteur qui s’opposerait à sa mise en ligne dans DI-fusion est invité à prendre contact avec l’Université ([email protected]).

Dans le cas où une version électronique native de la thèse existe, l’Université ne peut garantir que la présente version numérisée soit identique à la version électronique native, ni qu’elle soit la version officielle définitive de la thèse.

DI-fusion, le Dépôt Institutionnel de l’Université libre de Bruxelles, recueille la production scientifique de l’Université, mise à disposition en libre accès autant que possible. Les œuvres accessibles dans DI-fusion sont protégées par la législation belge relative aux droits d'auteur et aux droits voisins. Toute personne peut, sans avoir à demander l’autorisation de l’auteur ou de l’ayant-droit, à des fins d’usage privé ou à des fins d’illustration de l’enseignement ou de recherche scientifique, dans la mesure justifiée par le but non lucratif poursuivi, lire, télécharger ou reproduire sur papier ou sur tout autre support, les articles ou des fragments d’autres œuvres, disponibles dans DI-fusion, pour autant que :

Le nom des auteurs, le titre et la référence bibliographique complète soient cités;

L’identifiant unique attribué aux métadonnées dans DI-fusion (permalink) soit indiqué;

Le contenu ne soit pas modifié.

L’œuvre ne peut être stockée dans une autre base de données dans le but d’y donner accès ; l’identifiant unique (permalink) indiqué ci-dessus doit toujours être utilisé pour donner accès à l’œuvre. Toute autre utilisation non mentionnée ci-dessus nécessite l’autorisation de l’auteur de l’œuvre ou de l’ayant droit.

--- English Version ---

This Ph.D. thesis has been digitized by Université libre de Bruxelles. The author who would disagree on its online availability in DI-fusion is invited to contact the University ([email protected]).

If a native electronic version of the thesis exists, the University can guarantee neither that the present digitized version is identical to the native electronic version, nor that it is the definitive official version of the thesis.

DI-fusion is the Institutional Repository of Université libre de Bruxelles; it collects the research output of the University, available on open access as much as possible. The works included in DI-fusion are protected by the Belgian legislation relating to authors’ rights and neighbouring rights.

Any user may, without prior permission from the authors or copyright owners, for private usage or for educational or scientific research purposes, to the extent justified by the non-profit activity, read, download or reproduce on paper or on any other media, the articles or fragments of other works, available in DI-fusion, provided:

The authors, title and full bibliographic details are credited in any copy;

The unique identifier (permalink) for the original metadata page in DI-fusion is indicated;

The content is not changed in any way.

It is not permitted to store the work in another database in order to provide access to it; the unique identifier (permalink) indicated above must always be used to provide access to the work. Any other use not mentioned above requires the authors’ or copyright owners’ permission.

BIBLIOTHEQUE de MATHElVIATIQUES et de PHYSIQUE

Université Libre de Bruxelles

Faculté des Sciences

REÇU le

ÈHP

Vui

Amélioration des paramètres^ ^ d'orbites des satellites géocentriques

à i'aide des mesures de i'effet Doppler intégré.

Thèse présentée en vue de l’obtention du grade de Docteur en Sciences

(grade légal )

Josette Vanderborght

1976

Que Monsieur le Professeur R. Coutrez, qui m'a proposé le sujet de cette thèse, trouve ici l'expression de ma reconnais sance pour l'intérêt qu'il a manifesté à ce travail et pour les encouragementsqu'il m'a prodigués.

Je suis heureuse de dire toute ma gratitude à Monsieur le Professeur J. Van Isacker qui a dirigé, sans mesurer son

temps, la partie numérique de cette étude. Sans ses directives et ses conseils, celle-ci n'aurait pu être menée à bien.

J'adresse mes remerciements les plus chaleureux à Messieurs les Professeurs J. Van Mieghem et P. Défrisé pour les précieuses suggestions qu'ils m'ont apportées lors de l'élabo­

ration de mon manuscrit.

Enfin, il m'est agréable de remercier tous les membres de l'Institut Royal Météorologique qui m'ont aidée pour le

traitement des données en ordinateur, ainsi que pour la présentation de ce travail.

A528G0

1.

INTRODUCTION

La mise sur orbite du premier satellite artificiel de la Terre en octobre 1957 a marqué un véritable renouveau des perspectives en mécanique céleste. Au moment où ce premier satellite fut lancé, les géodésiens disposaient seulement de trois coefficients de la représentation en harmoniques sphéri­

ques du champ gravitationnel de la Terre, les coordonnées géocentriques des stations terrestres étaient déterminées au mieux â 500 mètres et les géophysiciens supposaient la Terre en équilibre hydrostatique. A l'heure actuelle, l'observation de plus en plus précise des satellites permet de définir le champ gravitationnel terrestre jusqu'au quinzième ordre, de calculer les coordonnées géocentriques des stations d'observa­

tion avec une erreur inférieure à 10 mètres et de rejeter l'hypothèse d'équilibre hydrostatique de la Terre.

Les progrès réalisés depuis 1957 dans l'étude de la physique de la Terre ont été possibles grâce à l'élaboration simultanée d.e systèmes, sans cesse améliorés, d'observation de satellites, et de méthodes mathématiques de réduction des observations. En fait, l'observation des satellites permet de résoudre deux types de problèmes complémentaires:

1) avoir une description aussi correcte que possible des forces qui affectent le mouvement du satellite

2) obtenir une solution aussi exacte que possible des

! équations qui régissent le mouvement du satellite.

Le premier de ces sujets est traité abondamment et

2 .

fait l'objet de nombreuses publications, dont la plupart provien nent du Smithsonian Asti’ophysical Observatory: cet observatoire est spécialisé principalement dans la mise à jour systématique des coefficients du géopotentiel.

Au contraire, les méthodes de détermination d'orbites de satelli tes, dont l'importance est capitale pour la réalisation de mis­

sions spatiales, sont quelque peu déficientes. Une des princi­

pales raisons de cette carence est liée au fait qu'une telle documentation fut longtemps couverte par le secret militaire.

Notre propos, dans ce travail, a été de mettre au point une méthode numérique de détermination précise des éléments képlériens osculateurs de satellites géocentriques à partir des mesures de l'effet Doppler intégré qui affecte la fréquence d'une onde radioélectrique émise par le satellite.

La plupart des systèmes de poursuite des satellites, créés depuis 1958, furent réalisés au moyen d'instruments

optiques (caméras BAKER-NUNN par exemple). Ces méthodes optiques constituèrerlt la part la plus importante du progi-'amme général d'exploration spatiale à l'aide de satellites jusqu'en 1966.

La principale application des caméras BAKER-NUNN fut la déter­

mination des harm.oniques tesséraux du potentiel terrestre et la connaissance précise du champ gravitationnel de la Terre ( Izsak, 1966). Cependant, dès 1966, ces caméras furent tech­

niquement parfaites et la précision des paramètres géodésiques déduits par cette méthode ne put plus être améliorée. Cela motiva la recherche de systèmes de poursuite perfectionnés, de

précision supérieure. C'est ainsi que trois nouvelles techniques d'observation des satellites se sont développées depuis une

dizaine d'années:

0

1) la technique laser, qui consiste à mesurer l'inter­

valle de temps mis par un rayon lumineux pour effectuer le trajet station-satellite-station.

En multipliant cet intervalle de temps par la vitesse de la lumière et en tenant compte des perturbations

introduites par l'atmosphère, certaines stations d'observation mesurent la distance Terre-Lune avec des erreurs inférieures à 30 centimètres (CALAME et al, 1970). Cependant, le laser présente le désavan­

tage de ne pouvoir opérer que dans des régions où les conditions météorologiques sont excellentes. Il est donc impossible de couvrir toutes les régions importantes du globe terrestre par un ensemble de stations laser et il est nécessaire d'utiliser conjointement d'autres techniques.

2) ' la technique V.L.B.I. (Very Long Base Interferome- try) qui est basée sur des propriétés d'interféro- métrie entre le satellite et les stations au sol

(RAMASASTRY,1972).

3) l'observation des satellites par des moyens radio­

électriques .

Cette dernière technique est celle adoptée à l'Insti­

tut d'Astronomie et d'Astrophysique de l'Université Libre de Bruxelles (U.L.B.). Dès 1961, soit quelques années à peine après

3 .

4.

le lancement du premier Spoutnik, le Professeur R. Coutrez fut le premier en Belgique à envisager la construction d'un récepteur Doppler. La réalisation de celui-ci commença quelques mois plus tard et, à l'heure actuelle, l’amélioration de ce récepteur se poursuit encore avec l'utilisation des techniques électroni­

ques les plus avancées.

Initialement, cette station de réception de l'U.L.B.

a été créée dans le but de déterminer les coordonnées locales de . la station (problème du navigateur) à partir de l'observation de la courbe de fréquence Doppler d'un satellite TRANSIT qui possède à bord un émetteur stabilisé et qui parcourt une orbite connue.

Depuis 1968 a été entreprise à 1'U.L.B.,sous la direction du Professeur Coutrez,1'étude de la résolution du problème inverse, à savoir le calcul des parairiètres orbitaux de satellites à partir des observations de l'effet Doppler et

des coordonnées de la station réceptrice. La connaissance

précise des paramètres orbitaux d'un satellite géocentrique se révèle, en effet, d'une importance considérable pour l'étude et l'interprétation des champs de forces appliqués aux satellites.

En première approximation, un satellite décrit une orbite elliptique; ce comportement idéal implique que le seul champ de forces agissant sur le satellite est l'attraction d'une Terre sphérique et homogène. Cependant, tout satellite est soumis à l'action de diverses forces perturbatrices qui

^ l'écartent continuellement de sa trajectoire képlérienne. Ces perturbations sont, par ordre d'importance décroissanté:

1) les forces gravitationnelles exercées par le globe terrestre. Les variations orbitales provoquées

par celles-ci conduisent à la description du géopoten­

tiel .

2) les forces noçi gravitationnelles exercées par l’atmos­

phère terrestre: les perturbations orbitales qui en

résultent permettent de déterminer la distribution de la masse volumique de l'atmosphère et la composition chimi­

que de la haute atmosphère. La décélération aérodynamique, dans l'atmosphère fait décroître l'énergie orbitale, rapproche l'apogée plus vite de la Terre_que le périgée

et cause finalement la disparition du satellite.

3) l'attraction gravitationnelle de la Lune, du Soleil et des autres planètes du système solaire.

4) la pression de radiation solaire directe et réfléchie.

5) les forces relativistes (freinage de Poynting- Robertson).

6) les perturbations électromagnétiques, appliquées aux satellites conducteurs ou chargés d'électricité.

Pour calculer la position d'un satellite en présence de perturbations, on considère en chaque point de la trajectoire du satellite une orbite elliptique osculatrice, c'est-à-dire

une orbite telle que, au point de contact, le vecteur de position et, de plus, le vecteur vitesse sont les mêmes que sur

l'orbite vraie. Cette ellipse osculatrice représente l'orbite que suivrait le satellite si les forces perturbatrices cessaient

brusquement d'agir. La position du satellite sur sa trajectoire à un instant quelconque est ainsi définie par six éléments

képlériens osculateurs, variables en fonction du temps, égaux aux éléments définissant l'ellipse osculatrice à la trajectoire à cet instant.

5 .

Le premier chapitre de ce travail est consacré a-U rappel de la solution fondamentale du problème elliptique des deux corps, ainsi que de l'expression deè variations, dans le temps, /les six éléments osculatevirs, en fonction de ces éléments et d'une force perturbatrice (équations planétaires de Lagrange). |

Dans le deuxième chapitre, nous décrivons le système de réception Doppler de l'U.L.B. ainsi que les mesures de l'effet Doppler intégré. Nous passons ensuite en revue les différents référentiels utilisés pour définir la. position de la station terrestre et celle du satellite. Enfin, nous donnons le calcul de la position de l'observateur et du satellite dans le système de référence orbital quasi inertial, défini par l'équinoxe moyen de 1950.0 et l'équateur de la date.

Dans le troisième chapitre, nous présentons une méthode numérique de détermination précise des éléments képlériens

osculateurs des satellites artificiels géocentriques porteurs d'émetteurs stabilisés. Nous avons élaboré cette méthode à

partir des mesures de l'effet Doppler intégré observé au simple passage en une station unique de réception. Le système de

mesure, réalisé au laboratoire de recherche spatiale de l'U.L.B., fournit la différence des distances entre l'observateur terres­

tre et deux positions successives du satellite pendant toute la durée du passage observable de celui-ci, soit_environ_pendant

quatorze minutes. Ces valeurs observées sont comparées aux valeui">s calculées à partir d'une orbite provisoire, dont les éléments

sont améliorés par une suite convergente d'itérations.

6 .

La connaissance à un instant t quelconque des paramètres orbitaux qui définissent la position du satellite, soit , permet théoriquement de calculer la valeur de ces paramètres à une époque ultérieure si toutes les perturbations qui affectent

le mouvement du satellite sont connues. Cependant, l'action de ces forces est souvent déterminée avec une précision nettement insuffisante. Pour rendre compte de ces perturbations de manière plus précisé, nous avons remplace les éléments constants -f-‘

par des fonctions du temps. Nous avons choisi une représentation polynomiale limitée au second degré, dont les coefficients sont déterminés à l'aide d'observations fournies par le satellite.

Pour obtenir les éléments képlériens osculateurs à une époque

quelconque,nous ajoutons à cette partie polynomiale la contributdon des perturbations séculaires, périodiques de courte et de longue période dues à l'aplatissement de la Terre, l'effet de freinage atmosphérique et des perturbations luni-solaires.Sont donc englo­

bés dans la partie polynomiale la pression de radiation solaire ainsi que les effets relativistes et magnétiques.

A partir des éléments osculateurs, nous calculons l'ex­

pression (C) de la différence des distances observateur-satellite à deux instants consécutifs d'observation et nous la comparons a la valeur mesurée (0) de l'effet Doppler intégré. Comme nous avons attribué à ces paramètres des valeurs numériques estimées, donc entaché'es d'erreurs, nous obtenons à chaque instant d'obser­

vation un résidu (0-C) dans lequel interviennent des corrections à apporter aux éléments orbitaux approchés.

Le but d'une méthode d'amélioration différentielle d'orbites de satellites est de trouver la solution optimale d'un tel système d'équations. Au total,il y a 19 inconnues à déterminer, à savoir les corrections des 18 éléments dont la combinaison permet de représenter la partie polynomiale des éléments, plus une inconnue qui provient de l'incertitude sur 3a fréquence d'émission du satellite.

7 .

La résolution du système (O-C)doit être itérative pour deux raisons :

1) les inconnues sont liées de manière non linéaire aux quantités observées, et l'on résout en fait des équations linéarisées;

2) à chaque itération, de grosses erreurs d'ôbservation doivent être écartées.

Le problème général de l'amélioration des orbites des satellites artificiels a été résolu en plusieurs étapes. Le premier stade consiste à déterminer les paramètres orbitaux avec les hypothèses suivantes:

1) les mesures de l'effet Doppler intégré sont effectuées sans erreur;

2) les paramètres képlériens sont constants pendant la durée du passage observable.

Au deuxième stade, nous adoptons encore la première

hypothèse, mais nous supposons les paramètres orbitaux variables.

Leurs valeurs sont approchées tout au long de la période d'ob­

servation en une station par des polynômes du second degré en t, dont certains coefficients peuvent être fixés à priori. Il s'agit donc d'estimer 7 paramètres dans le premier cas et 19, au maximum, dans le second.

L'application classique de la méthode des moindres carrés à la résolution du système(0-C)en vue de calculer simultanément toutes les inconnues n'a donné aucun résultat valable. Nous

avons alors établi un processus, basé également sur l'application 8 .

9 .

de la méthode des moindres carrés, qui conduit â la détermination de tous les paramètresCe procédé consiste à scinder l'ensemble des paramètres en sous-ensembles emboîtés, choisis judicieusement, que nous améliorons de proche en proche par la méthode des moin­

dres carrés.

Cette méthode de résolution donne d'excellents résultat-s sous l'hypothèse de données expérimentales exactes et sans tenir compte des perturbations orbitales, dans 100% des cas si nous nous limitons à l'estimation de 16 paramètres et dans 90% des cas si nous désirons améliorer 19 paramètres, lorsque les calculs sont effectués avec 25 chiffres significatifs, sur l'ordinateur CDC 6400.

L'erreur relative, en moyenne, sur' l'ensemble des paramètres -10 V

est alors de 10 à la fin du processus itératif et la durée de calcul est inférieure a 20 secondes.

Cependant, l'exécution de ce même ' programme de calcu.1 sur l’ordinateur IBM 360/44, avec 14 chiffres significatifs, donne lieu à' certaines difficultés dès qu'il s'agit d'améliorer plus de 13 paramètres: la matrice normale, très mal conditionnée, est déclar'ée singulière, après quelques itérations,, alors que sur la CDC, les calculs se poursuivent normalement.

Dès lors, pour traiter le problème général de l'amélio­

ration différentiel]e des orbites des satellites lorsqu'on prend en considération les perturbations orbitales et que l'on tient compte d'erreurs aléatoires de mesure, il est indispensable de recourir à une méthode numérique de résolution du système 0-C qui réduit le mauvais conditionnement du système normal et qui améliore la convergence du processus itératif.

Nous avons élaboré une méthode itérative de résolution du système non linéaire, dont les seconds membres sont constitués

lû .

par les écarts entre les effets Doppler mesuré et calculé, suite â une suggestion du Professeur Van Isacker. Cette méthode consiste à déterminer, à chaque 'itération, le vecteur de norme minimale^

dont les composantes sont les corrections à apporter à chacun des paramètres orbitaux, qui rend la norme du vecteur des résidus 0-C inférieure à une certaine limite, dont la valeur est fixée par un jeu de tolérances.Cette procédure permet d'éviter l'instabi­

lité numérique qui résulte de l'application classique de la méthode des moindres carrés et de garantir la convergence du processus itératif en un nombre restreint d'itérations.

Nous avons appliqué ce procédé à- une quarantaine d'or­

bites différentes et nous avons pris en considération les cas litigieux de faible ou forte excentricité et inclinaison, de même que des orbites dont l'inclinaison est proche de l'inclinai­

son critique. Cette m.éthode présente l'avantage de permettre la détermination simultanée de tous les paramètres et elle assure de plus une convergence presque sûre dans tous les cas envisagés, sur l'ordinateur IBM 360/M4. A la fin du processus itératif,

l'écart entre la courbe mesurée de l'effet Doppler intégré et la courbe calculée est réduit à quelques centimètres, ce qui corres­

pond aux erreurs aléatoires de mesure. L'ordre de grandeur des erreurs relatives qui affectent les éléments angulair’es de posi­

tion est alors de quelques dix-millièmes tandis que celle qui se rapporte au demi-grand axe est de quelques cent-millièmes. Notons que les meilleurs résultats obtenus correspondent aux plus lon­

gues durées d'observation du passage du satellite en une station.

Le temps d'exécution du programme d'amélioration d'orbites dépend du nombre de mesures de l'effet Doppler intégré dont on dispose et des perturbations orbitales dont on tient compte. Il faut envi­

ron 8 minutes à ordinateur IBM 360/4 4 pour améliorer 19 para­

mètres à partir de 25 mesures lorsqu'on prend en considération

11

.

l'effet de l'aplatissement terrestre, le freinage atmosphérique et les perturbations luni-solaires.

Le quatrième chapitre est consacré à une étude compara­

tive des effets des différentes perturbations qui écartent un satellite de sa trajectoire képlérienne. Il a également pour objet de présenter une synthèse des très nombreux travaux qui concernent les perturbations orbitales. Celle-ci est indispen­

sable au calcul numérique des orbites des satellites tel qu'il a été présenté au troisième chapitre.

En résumé, le présent travail a été réalisé dans le but de compléter les études fort sporadiques publiées dans le domaine de l'amélioration différentielle des orbites des satel­

lites géocentriques. La méthode de calcul que nous présentons a été appliquée, à partir de données simulées, à la détermination des paramètres d'une quarantaine d'orbites, qui comprennent la plupart des orbites des satellites lancés jusqu'à ce jour, et notamment celles des satellites TRANSIT. Etant donné la préci­

sion des résultats obtenus dans tous les cas analysés, il apparaît que ce procédé permettra de traiter avec efficacité

les données télémétriques réelles, par exemple celles qui doivent être fournies par le récepteur Doppler de l'U.L.B.

Notations

x^, i = 1 à 3 X^, i = 1 à 3 a

e T i CO Jl

Système 0-C

^ ^ SA

^^P^LS

^ ^P^LP

^^P^CP

(^r)p (^j>)l

(5p)g

: coordoiuiées du satellite

: coordonnées de la station d'observation : demi-grand axe de l'orbite

: excentricité de l'orbite : époque du passage au périgée : inclinaison

: argument de latitude du périgée : longitude du noeud ascendant

: système dont le second membre est constitué par l'écart entre l'effet Doppler mesuré (0) et l'effet Doppler calculé (C).

: effet des perturbations séculaires dues à l'apla tissement de la Terre sur le paramètre orbital : effet des perturbations luni-solaires sur l'élé­

ment P .

: effet des perturbations de longue période dues à l'aplatissement de la Terre sur l'élément p.

: effet des perturbations de courte période dues à l'aplatissement de la Terre sur l'élément p . : effet du freinage atmosphérique sur l'élément p.

; effet des perturbations lunaires sur l'élément p : effet des perturbations solaires sur l'élément p

Développements polynomiaux (listings) PO = > G 0 = -A.

DE = e^ > DEl = e^

DA = i DAl = a2

DT = 5 DTI = T^

DI = 5 DDI = i2

DP0= i DDP0= 002.

DG0= DDG0= ^2

JSEC = 1 • prise en considération des perturbations séculai­

res dues â l'aplatissement de la ■ Terre (0 sinon) JDRAG = 4 : prise en considération du freinage atmosphérique

(0 sinon)

JLON = 1 prise en considération des perturbations de longue période dues à l'aplatissement terrestre

(sinon 0)

JCOUR = 1 prise en considération des perturbations de

courte période dues â l'aplatissement de la Terre (0 sinon)

JSL = 1 ; prise en considération des perturbations luni- solaires (0 sinon)

1.1

CimPITRE I

LA DYNAMIQUE D'UN SATELLITE GEQCENTRIQUE

1.1. Introduction.

En première approximation, un satellite artificiel de la Terre décrit une orbite elliptique, ce qui implique que le seul champ de force qui agit sur le satellite est l'attraction d'une Terre parfaitement sphérique et homogène. En présence de pertur­

bations, cette orbite elliptique subit des variations. On peut toutefois considérer en chaque point de l'orbite vraie une orbite elliptique osculatrice à l'orbite réelle, c'est-a-dire une orbite telle que, au point de contact, le vecteur de position et, de plus, le vecteur vitesse sont les mêmes que sur l'orbite vraie. Cette orbite osculatrice représente l'orbite que suivrait

le satellite si les forces perturbatrices cessaient brusquement d'agir. Cela nous permettra de définir la position du satellite à chaque instant sur sa trajectoire par six éléments képlériens osculateurs, variables en fonction du temps, égaux aux éléments qui définissent l'ellipse osculatrice à la trajectoire à cet instant.

Dans ce chapitre, nous présentons' la solution du problème elliptique des deux corps, qui est fondamentale puisque le vecteur de position et le vecteur vitesse du satellite dans le mouvement perturbé sont identiques à ceux calculés à partir des éléments képlériens qui définissent l'ellipse osculatrice au même instant.

Nous donnons ensuite l'expression des variations des six éléments osculateurs par rapport au temps, en fonction de ces éléments et d'une force perturbatrice.

1.2

1.2. Mouvement elliptique.

A l'approximation képlérienne, l'étude du mouvement

d'un satellite artificiel dans le champ de gravitation terrestre peut être envisagée comme un problème de deux corps.

Cette approximation suppose des conditions physiques idéales:

1) la Terre est une sphère rigide composée de couches sphériques concentriques de masse volumique homogène.

2) la Terre, est dépourvue d'atmosphère et de champ magnétique;

elle n'est pas située dans un champ de radiation ni a proxi­

mité d'aucun autre solide dont la masse soit une fraction quelque peu perceptible de celle de la Terre.

3) le satellite considéré dans le voisinage de la Terre peut se réduire à la'condition idéale d'un point matériel.

Dans un référentiel géocentrique orthogonal inertial, les équations différentielles du mouvement du satellite s'écriven

/T + K ^ =0 . . 1.2.1

r désigne le vecteur géocentrique du satellite et le symbole K représente le produit de la constante de gravitation universelle par la masse de la Terre.

La solution de ce système d'équations, qui dépend de six constantes arbitraires, est décrite dans de nombreux traités de mécanique céleste (notamment Plummer, 1918; Smart, 1953;

Brouwer et Clemence, 1961; Coutrez, 1S71).

L'orbite décrit'e par le satellite est une ellipse

képlérienne. Pour repr^ésenter cette ellipse dans l'espace, nous choisissons un repère cartésien orthogonal, équatorial vernal, lié à la Terre, dont l'origine 0 est au centre dq masse de la Terre. Le plan (XX) est celui de l'équateur et l'axeX corres­

pond à la direction vernale à une époque de référence(voir figure 1

).

La Terre est coupée par le plan du mouvement elliptique du satellite suivant un grand cercle. Ce grand cercle et l'équa­

teur se coupent aux deux noeuds de l'orbite du satellite, soient N et N'. Le noeud ascendant N est celui où, dans le mouvement du satellite S, la trace S' du rayon vecteur OS sur la Terre

passe de l'hémisphère Sud à l'hémisphère Nord. On définit le plan du niouvement elliptique par la longitude du noeud, c'est-à-dire par l'arc du grand cercle BN =A et par l'inclinaison i, c'est- à-dire l'angle au point N de l'équateur (dirigé dans le sens

positif) et du grand cercle considér''é (dirigé dans le sens boréal Si l'angle i est compris entre 0 et tt/z , le mouvement est direct;

s'il est compris entre ir/2. et tt , il est rétrograde. Le plan ^ du mouvement elliptique étant ainsi déterminé, on peut, dans ce plan, définir la latitude du périgée c ' est-à-dire l'angle compris entre la ligne des noeuds N'N et l’axe 0qui joint le foyer 0 au périgée P de l'orbite elliptique. Le plan y , le foyer 0, et l'axe OP portant le périgée une fois déterminés, on achève de définir cette ellipse dans l'espace par le demi- grand axe a et'1'excentricité e. La sixième constante du

mouvement est l'époque du passage au périgée T,

La position du satellite dans le trièdre de référence choisi est définie aisément par les relations

1.4

Fig.l. Représentation spatiale de l'orbite d'un satellite géocentrique

1.5

1.2.2 où U désigne l'anomalie excentrique du satellite et où l'on relations

/ P, Z C(/:> u> *1 co Aéx A Oo^ 1

cp^

JL

/ Pi Z <A> 1

^ - . ^vri (jj Un Si, _ C«yi U) yiW» ‘h.

^ tr — CO CoO ^(jij Co'ii A Co^i

L Q •J = CX^i (jj • Ayn i

V

avec

3 , 3 3

Z = 4

. Z

iZI

Z 0 ■

/ I

i-t

1.3. Mouvement képlérien perturbé.

La forme hamiltonienne des équations du mouvement képlérien est:

f ^ • --- ^ ^ fi

- ù H / ù ^ = -1 ^ 3 . 1.3.1

les

1.6

Considérons â présent un mouvement képlérien perturbé.

défini par les équations 1.3.1 mais où cette fois H se décompose en

considérer la situation qui résulterait, à un instant t quelcon­

que si on négligeait la force perturbatrice. Le mouvement du satellite deviendrait alors exactement elliptique. Il représente­

rait avec une bonne approximation le mouvement réel correspondant à l'hamiltonien complet pendant un certain temps, tout en ne lui étant identique, en position et en vitesse, qu'à l'instant t seule ment. C'est la raison pour laquelle on introduit la définition,

à chaque instant, d'une ellipse osculatrice qui est l'orbite que suivrait le satellite si la force perturbatrice cessait brusque­

ment d'agir à cet instant. On définira donc la position d ' \in satellite dans l'espace, en présence de perturbations, par six éléments osoulateurs, variant en fonction du temps. Les formules du mouvement elliptique, écrites à l'aide des éléments oscula- teurs, restent donc valables en présence de perturbations,

puisque le vecteur de position et de vitesse du satellite pour le mouvement perturbé sont identiques, à l'instant t, aux vecteurs caractérisant l'orbite elliptique dont les éléments orbitaux sont égaux aux éléments osculateurs à cet instant t. La solution générale du système 1.2.1 ou H = s'exprime à l'aide de six constantes d . :

1.3.2

où Hq représente l'hamiltonien du problème des deux corps.

La résolution du système 1.3.1 avec H = revient à

1.3.3

1.7

Afin de résoudre le problème général avec l'hamiltonien complet>

o.n cherche à déterminer les fonctions ^ (t ) telles que la solution du système perturbé soif fournie par

(t = f

< ^ J -

(P = t

^ 1.3.4

En dérivant 1.3.4 par rapport au temps, et en utilisant 1.3.2 et 1.3.

( ' 2

3 , on

hl

trouve

o( .

() i f;

1.3.5 l

(>

-2 - oi

L = d à: J DH,

^ et •

ê 1.3.6

V

En multipliant 1.3.5 parc)^;/c)o( et 1.3.6 par^o./^<4 , en posant ensuite

c Ly K^'i.

-

é I -

L = d a 3

^^k L

kz ± K

00

^4 3 o(.

-t JL

et finalement en sommant sur toutes les variables, on obtient

d . i

. -l-'io: c y

1.3.7

T.8.

Les accolades désignent les parenthèses de Lagrange et les

Indices rappiellent que les variables à utiliser sont celles du problème résolu avec^ H = .

La solution des équations du mouvement 1.3.1 pour H =Hq est donné pour un système de coordonnées rectangulaires par

r 0 _{a .}

L

.

( • t) _'!

. ) ~ -i 9- C y

/ lest<j étant six constantes.

Les équations 1.3.7 s'écrivent, dans le système de coordonnées x^, sous la forme

à t

C

I c

h-i

J ^{^ H,}

7i°, 2 ^ U

1.3.8

où les crochets de Poisson ^ . sont évalués pour le problème elliptique des deux corps.

Nous choississons comme variables . les éléments

1

képlériens a, e, T, i,cj,il..

A partir de l'expression de x^, x^ en fonction des éléments orbitaux, et en utilisant l'indépendance par rapport au temps de 1°^^- . . \ O --O , on obtient les parenthèses de

d ^ J TL y 1.

Lagrange (Broucke, 1970 )’.

I

j Z -j

( K

C

y' f

1.9

l -- -|v^} = ~ ( K eu) 6

[a,.] /' .i) 'i/l . -

{ '1- < J . Co^t .

J- /-]-■ (KA)

---

. A)

II - ')• 5 ^ . 1.3.9

Les autres combinaisons sont nulles.

Comme les matrices [ Lj - j u. t et . sont les invers es l'une de l'autre, on obtient les crochets de Poisson par invers ion

Csd -- - [T,.] ,. - J K

- f =

- -

0

[^tJ = -[VJ - 1' Cl / Iv -«.J b -f] ■

[,;.j - . [u,;] = &»y/[ (Ko,]''''-(l x)‘h ■ 7

~ -t, / >ùlAl £. 1

1.3.10

Les équations 1.^.8 écrites â l'aide de 1.3.10 peuvent alors être intégrées numériquement. Elles s'obtiennent en fonction des éléments képlériens classiques de la manière suivante.

Considérons d'abord la variation du demi-grand axe a:

T.10

dft,

àJt

l

L'hamiltonien perturbé s'écrit

\l Z ^ k ^ - K J/L - R = Hp t où R est une fonction perturbatrice, c'est-à-dire

= - R

D'autre part, le seul crochet de Poisson non nul contenant a est CL./ J . Il en résulte que

On trouve de manière similaire

rj- 1—l 1 1 1

>1- }ïl

t

it ^ -t ^ ^ û. O'

4 -c

dJi L

^ ÉL -t <7i <■ ^ ^

c! U> t 0-t;

élt , /n O. [ 1 - c 1 I / t) l/v -^w» t a.- /Tl «- -t

1 1

d». • C<>1) i’ ■±

4-fc /y, t ^ u> '» 0.} /i- f ) . . yitrf\ t ^ A

4-fL ±

djr /no.

or, ^X O-

r

T. 11

Ces équations sont des équations planétaires de Lagrange. Celles- ci permettent de déterminer les variations au cours du temps des éléments osculateurs moyennant la connaissance de la nature de la force perturbatrice.

On peut également exprimer les variations des éléments osculateurs en fonction de ces éléments eux-mêmes et des

composantes S, T,\V de l'accélération perturbatrice (Brouwer et Clemence, 1961). Les composantes S et T sont situées dans le plan de l'orbite osculatrice et sont dirigées respectivement suivant le rayon vecteur géocentrique r et la perpendiculaire à ce rayon dans le sens du mouvement orbital; la composante W est normale au plan de l'orbite et orientée suivant le sens du

moment cinétique g.

Le vecteur unité dans la direction du satellite est défini par

Rj (-A) (-i) Rjf

y

où v désigne l'anomalie vraie du satellite et où les symboles Rj(j5y;7Ôreprésentent des rotations d'angle négatif autour des axes coordonnés.

On définit de mêm.e les vecteurs unité sur la perpendiculaire au rayon vecteur et sur la normale au plan orbitalî

R, (.A) Rj-i) R, (. a )

/

W -- "t s

* 1 2

où X ^ et Xp, sont donnés par les relations

/.M rn Oc

'Xr

f

rr\

-f Ccyb Aj -C Co^ U, / ) y

1.12

où n désigne le moyen mouvement du satellite;

r f K /

ni

Sic(^ désigne un élément osculateur quelconque, on a la relation

U 3 ÙR

^ 'è (j ^

'JL ' /

ê

les dérivées partielles (ir 1 à 3) sont les composantes de la force perturbatrice le long des axes coordonnes x^(i=l à 3) et sont données par

T/ W//C T

W i

A partir de l'expression des coordonnées du satellite dans l'espace en fonction des éléments orbitaux, on peut calculer les dérivées et substituer le résultat dans les relations

à

1.3.8.

Pour les éléments képlériens, nous avons

do.

'IT

~1F

fr\ U-H, !

[

<t> O.

j s 'Vr.}.

(L

0; 0. ((_ .t''] 1/ ccr>. (<jJ -l 'V')

d il

<t< 5l ( I- <'■/

(uj 'Vr') 1/

Sw» C

1.13

(iij

w

Ce sont les équations planétaires sous forme Gaussienne. Cette forme est particulièrement adaptée à l'intégration numérique dans le cas des forces non conservatives telles que le freinage atmosphérique et la pression de radiation solaire.

iA

/n ol-t

~ + T fl +—)

II.1

CHAPITRE II

L'EFFET DOPPLER INTEGRE

Ce chapitre'est consacré à la description des mesures de l'effet Doppler intégré qui vont permettre d'améliorer la détermination des éléments orbitaux d'un satellite géocentrique à partir d'une première approximation de ceux-ci, ainsi qu'à la description des référentiels utilisés et au calcul de la position de la station d'observation terrestre et de celle du satellite.

2.1 L'effet Doppler

station de réception unique, entraînée par la Terre, qui reçoit durant un seul passage du satellite la courbe de fréquence

A cause du temps de propagation Zl t de l'onde électro­

magnétique qui parcourt le chemin satellite-station, la station Dans le présent travail, nous nous limitons au cas d'une

provenant de l'écoute d'un émetteur stable de fréquence embar­

qué à bord du satellite.

L'émetteur placé à bord du satellite émet un signal sinusoïdal du type

2.1.1

réceptrice reçoit ce signal sous la forme

2.1.2

Le retard A t est donné par la relation

2.1.3 où c est la vitesse de la lumière

II.2

c = 2.9975925 x 10''° cm s

n l’indice de réfraction du milieu traversé par l'onde, ds l’élément d’arc sur le trajet géométrique L entre l’émetteur et le récepteur.

Comme le satellite S et la station réceptrice R sont en mouvement, la fréquence reçue au sol y s’exprime par la relation

f U (b ~^b]l Z U _ IV dh Z-K

où A t est défini en 2.1.3.

Finalement, en vertu de 2.1.3 et 2.1.1

c éJb

J. dt

at ''

y - V

it 4 ^/ 2.1.4

où y^ représente la fréquence émise par le satellite.

La différence V3 =

est appelée la fréquence Doppler.

2.1.5

La courbe de fréquence Doppler a la forme indiquée à la figure 2. Elle admet toujours un point d’inflexion qui correspond à l’instant t^ où la fréquence reçue est égale à , c’est-à- dire à celui du- défilement du satellite au point le plus rapproché de l'observateur. En pratique, la courbe instrumentale obtenue peut être soit continue, soit discontinue.

Dans le cas où l'onde électromagnétique se propage dans le vide, ce qui correspond à un indice de réfraction n égal à un, la trajectoire parcourue par le signal radio est une ligne droite et la différentielle ds est prise le long du rayon vecteur

satellite-observateur. L’expression de la fréquence Doppler est alors donnée par la relation

c Jil 2.1.6

II.3

Fig. 2. Courbe de fréquence Doppler

T

II.4

J désignant la distance station-satellite, La forme 2.1.6 est la plus classique pour caractériser l'effet Doppler, Cette relation permet de calculer la vitesse radiale relative /db du satellite en se servant uniquement de données expérimentales. Si le satel­

lite se rapproche de la station, est négatif et la fréquence reçue est plus grande que la fréquence émise f ; si le satel­

lite s'éloigne de la station, est inférieur à .

Depuis le lancement du premier satellite artificiel en 1957, diverses méthodes ont été élaborées pour déterminer les paramètres orbitaux de satellites à partir des observations de l'effet Doppler et de la connaissance des coordonnées locales de la station réceptrice.

Le problème inverse, appelé problème du navigateur,

c'est-à-dire la détermination des coordonnées locales de l'obser­

vateur à partir de l'observation de la courbe de fréquence Doppler d'un satellite qui parcourt une orbite connue, compte tenu de toutes ses pertur'bat ions, a été étudié longuement et a été à la base des systèmes de navigation, tels que TRANSIT. Bien entendu, à la base de ses sytèmes, il y a une détermination très précise de la trajectoire du satellite, à partir d'observations d'au moins trois stations au sol, puis un calcul d'éphémérides compte tenu de toutes les actions perturbatrices gravitation­

nelles, aérodynamiques ou autres.Nous ne discuterons pas ici les techniques de la navigation, qui, bien que se rapprochant en principe de celles de la détermination des orbites, sont différentes, ne serait-ce que par suite du type et du nombre des paramètres à calculer.

La méthode de calcul d'orbites de satellites que nous nous proposons de développer repose sur les considérations

II. 5

suivantes: les mesures expérimentales de l'effet Doppler permet­

tent non seulement de calculer la vitesse radiale relative du satellite, mais de plus elles permettent de déterminer la diffé-

ê

rence des distances entre l'observateur et deux positions succes­

sives d'un satellite â deux instants d'observation successifs t. et t. , soit P.-/.(t.>t.).

1 y /x/j i :

Il s'agit de l'effet Doppler intégré. Nous avons en effet h-

t. -h è

IL a

7

/ ^2.1.7

où la vitesse radiale*^c(/’/<^ est déduite de l'expression 2.1.6

«U 2.1.8

Le dispositif de mesure est représenté schématiquement à la

figure 3. Soit la fréquence émise par le satellite et ^ D la fréquence, affectée de l'effet Doppler, reçue par la station.

Au sol, un oscillateur local superpose son propre signal haute fréquence y au signal haute fréquence Ÿ + ^ reçu. La fréquence d'émission de cet oscillateur local est choisie proche de lei

fréquence nominale émise par le satellite. Le résultat de la

superposition â la sortie du récepteur est un signal de fréquence plus basse

V - y^ = y - y

] l ^

modulé de la même façon que le signal émis, .La différence A =

représente le décalage entre les fréquences de référence locale et émise par le satellite. Elle vaut environ 80 Hz par mégahertz.

Les satellites Transit émettent les fréquences synchronisées 400 MHz et 150 MHz. Les valeurs correspondantes de à sont 32 kHz et 12 kHz respectivement.

II . 6

fltotAni

iL lO/riCZ

C^oAi-taiA Jz/CtU

Fig. 3. Schéma de l'installation de réception Doppler

II.7

Désignons par N le nombi'>e total de cycles de la fréquence de battement pendant l'intervalle de temps (’tjs t^).

f^> U:

L:

; V ji . /

^ À:

t;

i ^ 1 1

En fait, comme la relation 2,1.9 peut i - ^ - >1 ^ on a aussi

2.1.10

s'écrire également

ft;

f A ~ y’ ) dt . 2

,

Ce nombre de cycles correspond donc à l'intégration de la diffé­

V

rence entre le décalage A et l'effet Doppler D'autre part, puisque chaque cycle reçu a été transmis, et compte tenu de l'aberration due au temps de parcours de la lumière, on peut écrire

K J

2.1,12

où est la distance parcourue par l'onde électromagnétique émise par le satellite à l'instant t^ et captée par le récepteur à l'instant t^; vaut donc

Les emetteurs utilises tant à bord du satellite qu'au sol sont stabilisés; la dérive maximale est de 1(ordre de 10 Hz par - 3 jour. On peut donc supposer que pendant la durée du passage

observable du satellite, soit en moyenne environ 14 minutes.

II.8

les fréquences V et V sont constantes. On a alors

\ i i; - t,) - V -t. + A A)

c'est-a-dire

V' ' y

Wft) = -vj(è; -è^ -l>p^

d'où l'on peut déduire

F. ~ F. = N(t)^ (y^ (ti-tpc.

/'■ Vc

2.1.13

2.1.14

Cette dernière relation permet de calculer la différence des distances observateur-satellite à deux instants successifs à partir de l'observation de l'effet Doppler intégré. En pratique, il faudra encore tenir compte des effets de réfraction, étant

donné que le signal émis par le satellite ne se propage pas dans le vide et qu'il est donc altéré par la présence de l'atmosphère terrestre, la réfraction ayant pour effet de réduire l'effet Doppler réel.

La correction de réfraction est composée de deux parties : la réfraction troposphérique et la réfraction ionosphérique. Elle dépend dans les deux cas de l'indice de réfraction du milieu

traversé. La méthode de correction utilisée consiste à rapporter la valeur de la fréquence Doppler observée à la valeur de la

fréquence correspondante dans le vide, par traitement des données à la sortie du récepteur,

Z2. La correction troposphérique.

L'indice de réfraction de la troposphère dépend de la pression atmosphérique, de la température, et de l'humidité de l'air, mais elle est indépendante de la fréquence d'émission.

‘La correction troposphérique est très faible par rapport aux effets ionosphériques et à l'aide de conditions troposphériques

II. 9

moyennes on peut éliminer 90% de l’erreur due à la troposphère, à condition d’éliminer les observations effectuées au-dessous de 10° d’élévation (H.S^. Hoppfield 1963,1969).

2.3. La correction ionosphérique.

L’effet de l’ionosphère, lié à l’indice de réfraction du milieu, dépend de la fréquence d’émission.

La traversée de l’ionosphère introduit des termes d’erreur qui, pour des fréquences supérieures à 100 MHz sont inversement proportionnels aux puissances de la fréquence émise par le

satellite (Guier et Weiffenbach, 1960)

A fv - V )

'i. ■<, 2.3.1

avec

a■1

le cLt TT /M 2.3.2

6 (x,y,z) étant la densité d’électrons libres, e la charge électronique, m la masse électronique, L le trajet géométrique entre l’émetteur et le récepteur.

est lié à la polqrisation du signal

a^ est fonction de la courbure de la trajectoire.

Une bonne approximation de premier ordre pour la

fréquence Doppler dans le vide peut être obtenue par l’observa­

tion de la fréquence Doppler sur deux fréquences synchronisées V et „ ; il est possible alors d’éliminer le terme de premier ordre oû a^ est indépendant de . Pour les

II .10

satellites TRANSIT, les émissions se font en 400 MHz pour la haute fréquence et 150 MHz pour la basse fréquence. En se limitant au premier ordre, nous avons

-

a( y». - v..") = <^4, / n Par conséquent

D'autre part

c'est-à-dire ( I I Anw.)^J

V.t_i.

I

Z - (y^, A) /

= - ^

- y<, /

2.3.3

2.3.4

Expérimentalement, on dispose des mesures ^'^td2 l'effet Doppler affecté par la réfraction

.y.,) = y_j^

- y,,,

A l'aide des relations 2.3.3 et 2.3.4, système 2.3.5 sous la forme

2.3.5

nous pouvons écrire le

K,/y.;)(v,^-y.J^._^_ t(y.,/y,,)^fy,,-y.J r y,.

2.3.6

La résolution du système 2.3.6 permet de déduire la dérive Doppler dans le vide et l'effet de la réfraction ionosphérique au

II.11

premier ordre pour la fréquence ensuite pour la fréquence par application des relations 2.3.3 et 2.3.4.

Pour obtenir une approximation du second ou du troisième ordre, il est nécessaire de prendre en considération les effets dus au champ géomagnétique et de considérer la déviation du

chemin de l'onde électromagnétique par rapport à la ligne droite.

Des valeurs typiques pour la déviation de la fréquence Doppler observée par rapport à la fréquence correspondante dans

le vide sont difficiles à donner, puisqu'elles varient durant un passage du satellite, et varient au cours de la journée. Les résultats expérimentaux obtenus pour la dérive apparente de l'ef­

fet Doppler provoqué par l'ionosphère montrent que, i:lus la fréquen­

ce d'émission est élevée, moins les effets du premier, second et troisième ordre de la réfraction sont importants. La nuit, les effets du premier ordre sont de trois à cinq fois plus petits, étant donné la diminution du contenu électronique. A partir d'une émission de l'ordre de 1500 MHz, les effets de la réfraction ionosphérique sont complètement négligeables. Les va­

leurs des coefficients du développement 2.3.1 correspondant aux variations miaximales de la fréquence Doppler provoquées par l'ionosphère sont données au tableau suivant, repris de Perevezentsev (1966).

Fréquence du satellite en MHz ( >> )

Fréo' Doppler

en Hz ""h n, (Hz)

-2' (Hz)

a /3 e (Hz)

50 1200 20 0.6 2

100 2500 10 0.2 0.3

150 37 00 6,7 0.07 0,04

200 5000 5 0.04 0.03

300 7500 3.3 0.02 0.01

400 10000 2.5 0,01 -

500 12500 2

11.12

2.4. Détermination des orbites d'après des mesures de fréquence Doppler.__________________________________________________________________________

Au troisième chapitre, nous décrirons une méthode de ré­

duction des observations de l'effet Doppler permettant d'obtenir les paramètres orbitaux d'un satellite à un instant quelconque du passage observable en une station unique entraînée par la Terre.

Depuis 1958, diverses méthodes de réduction ont été proposées. Elles consistent à comparer la courbe de fréquence observée avec une courbe calculée et à améliorer cette dernière en modifiant les paramètres orbitaux jusqu'à la rendre identique à la courbe observée.

Il est cependant d'une grande importance (Guier,1960) d'avoir une courbe de fréquence étendue, et de bien faire la comparaison entre la courbe observée et la courbe calculée sur le maximum de leur étendue et non seulement au voisinage du point d'inflexion. La partie centrale de la courbe permet de déterminer avec un grand poids apparent certains paramètres de l'orbite, tels que l'excentricité. Mais le fait même que d'autres paramètres soient mal définis a une conséquence néfaste sur la valeur trouvée pour les paramètres bien calculés et introduit sur leur détermination des erreurs systématiques. L'étude de la courbe de fréquence sur toute sa longueur permet d'obtenir une meilleure valeur de tous les éléments de l'orbite.

Nous nous sommes intéressée à l'amélioration des

paramètres orbitaux à l'aide uniquement des mesures de l'effet Doppler intégré.

Il s'agit donc de comparer l'expression calculée de la différence des distances observateur-satellite à deux instants

11.13

consécutifs d ' obsei''vat ion à l'expression de la différence

mesurée, c'est-à-dire de l'effet Doppler intégré. Cette première différence est évaluée à partir des coordonnées locales de la station d'observation supposées connues et de la position du satellite définie à partir des éléments orbitaux.

Ce calcul de distance implique

1) la définition d'un référentiel, par rapport auquel on décrit le mouvement du satellite et de l'observateur.

Lb référentiel que nous avons choisi est le repère orbital. En résumé, il s'agit d'un repère quasi

inertial rapporté à l'équateur de la date et l'équinoxe

de ^350.0.

/

2) le calcul de la position de l'observateur;

. 3) le calcul de la position du satellite.

2.5. Systèmes de coordonnées.

Il est possible d'établir les équations qui r^égissent le mouvement d'un satellite géocentrique soit dans un système de référence inertial, soit dans un système géocentriqiie fixé soli­

dement à la Terre ( sy_stème_ terres'^rjî^^ Ce dernier n'est pas inertial étant donné que la Terre tourne autour de son axe, qui est animé d'un mouvement de translation autour du Soleil, lui- même mobile par rapport aux étoiles lointaines définissant un système inertial, appelé système_ cél_este.

Un système terrestre convient parfaitement pour définir la position de points de la surface de la Terre, pour la

description de caractéx'istiques liées à la Terre et notamirient la description du géopotentiel.

11.14

D'autre part, les équations du mouvement d'un satellite s'écrivent beaucoup plus simplement dans un système de référence inertial. Cependant, dans ce systèmes, la Terre se déplace de manière irrégulière et "le champ du géopotentiel qui joue un rôle primordial dans le calcul des perturbations du satellite, et

qui est constant dans le temps par rapport à un système solidaire de la Terre, devient une fonction du temps.

Finalement, pour la détermination des orbites des satel­

lites de la Terre, il faut se résoudre à un compromis entre un système terrestre et un système inertial pouf parvenir à définir un système optimum, qu'on appelle le système orbital.

Les sytèmes des coordonnées décrits ci-desso\is corres­

pondent à ceux donnés par Veis (1964).

2.5.1. Système terrestre.

Le système cartésien terrestre est un repère fixé soli­

dement à la Terre dont l'origine est au centre de masse de la Terre. L'axe x est dirigé vers le pôle nord moyen terrestre de 1900-1905 défini par le Service international du mouvement du pôle (I.P.M.S.). L'axe x se trouve dans le plan de l'équateur terrestre moyen de 1900-1905, c'est-à-dire dans le plan perpendi­

culaire au pôle, moyen passant par le centre de masse de la Terre et orienté dans la direction du méridien de Greenwich. L'axe x

^ ^ ^12 3

est déterminé par le fait que le système (x , x , x ) est ortho­

gonal etcfextrogyre.

2.5.2, Système céleste.

Le système céleste est un système inertial centré au centre de masse de la Terre à une époque quelconque Tq, Il est

II. 15

défini par l'équateur moyen et l'équinoxe moyen de l'époque . L'axe X de ce système se trouve dans le plan de l'équateur

moyen, et est dirigé ver-s le point vernal If de l'époque Tq . L'axe J est perpendiculaire a l'équateur moyen de l'époque . L'époque Tq généralement adoptée est 1950.0.

2.5.3 Système orbital.

Le système de référence que nous utilisons pour la détermination des éléments orbitaux est défini de la manière

suivante. L'origine est au centre de masse de la Terre.L'axej est dirigé vers le pôle vrai de la date, c'est-à-dire le pôle terrestre instantané et l'axe x est dirigé vers un point 15 , qui est situé sur l'équateur de la date à une distance angulaire J5 a l'est de l'équinoxe vernal^ de la date. Cette distance

angulaire correspond à la précession et à la nutation depuis 1950.0 jusqu'à la date. Ce système de référence est particuliè­

rement bien adapté au calcul d'orbites de satellites (Kozai,

1960; Kozai et Kinoshita, 1973). En effet, les effets de la non- inertialité du système et ceux dus à la rotation du cham.p du géopotentiel, à une vitesse constante autour de l'axe ? du sys- terne, sont minimes. De plus, les termes a courte période ne sont pas affectés par le défaut d'inertialité.

A cause de la précession et de la nutation, le plan équatorial n'est pas fixe dans l'espace. L'effet du mouvement orbital de la Terre peut être pris en considération en tant que perturbation directe de longue période due au Soleil et à la Lune (Kozai, 1959 b, Kozai et Kinoshita, 1973; Lambeck, 1973), et sera traité dans le chapitre consacré aux perturbations orbitales (chapitre IV).

Ce système quasi inertial présente d'autre part l'avan­

tage que l'aplatissement de la Terre est presque symétrique par

11.16

rapport à l'équateur adopté, tandis que si l'on adopte un équateur correspondant â une date fixe (repère inertial) la précession et la nutation entraînent un potentiel asymétrique produisant des perturba'tions séculaires.

2.5.4 Système sidéral.

Ce système intermédiaire est utilisé lors du passage du système céleste au système terrestre. Il s'agit d'un système géocentrique défini à une époque T quelconque com.me suit:

l'axe X est dirigé vers le pôle vrai de la date (c'est-à-dire le pôle terrestre instantané), et l'axe x est dirigé vers l'équinoxe vernal vrai de la date, soit ^ . Le système sidéral est en fait le système céleste qui tourne sous l'influence de la précession et de la nutation. Si l'on considère seulement l'effet de la précession, le système est appelé le système sidéral moyen.

Dans le cas où l'on prend également en considération la nutation, il s'agit du système sidéral vrai.

2.5.5 Passage du système céleste au système'terrestre.

Le repère iner’tial (X Y Z) est rapporté à 1 ' équateui'’

moyen et l'équinoxe moyen à (point vernal ^g).

On définit d'abord le passage au repère sidéral moyen basé sur l'équateur moyen à l'époque T et le point If (voir figure

^). Désignons par V l'inclinaison de l'équateur moyen sur l'équa­

teur fixe au point nodal M, par 90 + K la distance angulaire et par 90- la distance /M. Désignons par X' ' ' , Y' ' ' , Z' ' ' les coordonnées d'un point dans le système sidéral moyen et par X,Y,Z les coordonnées du même point dans le trièdre inertial à l'ins­

tant Tg. On a les relations de transformation suivantes

ly]

fx\

y fil

= U

(

^V

/ y ,2"'

•J L aj W

V

7. /

II. 11

Fig- 4. Passage du système céleste au système sidéral moyen

11.18

ou encore

fx'") = "P (X)

où P est le matrice de précession qui permet de passer de 1'équa teur et de l'équinoxe moyen de l'époque Tq à l'équateur et à l'é quinoxe moyen de l'époque T. Elle représente la précession luni- solaire durant l'intervalle de temps Tg~T* Les matrices de rota­

tion R^(x) ont été définies précédemment (chapitre 1).

Le système inertial que nous avons choisi correspond à T^=13i0.0 Dans ce cas, les relations donnant les valeurs de K, sont les suivantes:

y

r

+

2 ■

y r

2o"

T est l'époque du système sidéral moyen comptée en années tropi­

ques depuis 1950.0.

Le système sidéral moyen (X''') est transformé en système sidéral vrai (W) en appliquant l'effet de la nutation

(VJ) = N (X' ' ' )

où N est la matrice de nutation.

En omettant les termes du second ordre (inférieurs à 0''.002), la matrice de nutation s'écrit

/ '

h/ = 4/v 4 -A £

V

Cette matrice permet donc de passer de l'équinoxe moyen et de l'équateur moyen de la date à l'équinoxe vrai et à l'équateur vrai de la date. Elle reflète la nutation en ascension droite ùji

11.19

en déclinaison et en obliquiteAg. Les expressions et Al limitées à 0*'.2 sont données par

^ yto'^ i m'’- .0 SZi S^3!i T) 4- 0-5 X Awn z( 'fl'’- ^122 -0°- OS 2i SU T)

- £• . ? x> 40 .4)^^ l ( Z2o^ ■ OS 1t -h 0° ■ 3SS è Y7 2T)

-Ot) 1 ( C9'’- 3SZH +yiz°-'17c 33^7) ^

AV r -33.3 x40^ A\nn ( 'Il ■'1-112 - O ■ 0 s Z 0 s 2 5 t) + 0 - y V -lo'^ 2 ( ^2°- 11 2S ~ 0'’- DS 23 SJ3 j) - I.S < Ao'^ 'dC,. I ( zgo°-oSA2 i-0°- C97 3T) - 0-H K Ao'^’ i 32Z^ 1-A3'’- 'I7C ZOcT) ^

Ai =; VV? X Ao'^ {A2°--1A12 - b'’. 0529 J-33 7) - 0- V ^X AO on Z ( '12”. Al tS - 0°. OS 23 S~337^

+ ^X \0~^ a/^l { ISo”. otAZ -f 0°. 3)^S C77Zl) + O-V

1

)C oni f C y 32 17 + A2°. -17 C 336 1

T = MJD 3328 2.0

MJD représente l'époque mesurée à partir du jour julien 2400000.5 et est appelé jour julien modifié

MJD = JD - 2400000.5

JD est la date julienne depuis - 4713 Jan 1,5 (début de la période julienne) et est donnée pour chaque jour dans 1'Astronomical

Ephemeris.

Le système terrestre x est lié au système sidéral vrai

11,20

par la relation de transformation:

iT Z f-e) . • U/

y avec

( ^ O

O

•i

X

y

-X

Ô est le temps sidéral vrai (appelé aussi temps sidéral apparent) et (x,y) sont les coordonnées du pôle instantané exprimées en radians. Les coordonnées x,y donnent la position du pôle instan­

tané par rapport au pôle de 1900-1905, l'axe x étant dirigé vers le méridien de Greenwich et l'axe y vers la longitude 270°E.

La matrice permet donc de passer du pôle instantané au pôle moyen. Le temps sidéral vrai est défini par l'angle horaire de Greenwich compté à partir de l'équinoxe vernal vrai. Si l'on uti­

lise l'équinoxe vernal moyen, on a le temps sidéral moyen $ de Greenwich. L'expression suivante, adoptée par l'U.A.I. et due à Newcomb, donne 6 en fonction du temps universel:

6 = -10o“ O755 V2 t 3é0° 3S’5'^V73'/5’ JJ> - 33JÎSJI. .0) + 0° 25 fM'JJ) -332F2 0}^.

on a donc

ô = è t

on àjf est la nutation en ascension droite. A la précision de 0''.2, on peut écrire

d Z Ô - V'". 351 • (yiz°- '1'I2S ~ D°- ÛSZ5 S3!>t)

•7 O”- 05 3 . 2 ( 'IZ'’- 'l'IlS- 0^ ■ 0^23 S3^j) - 0® 325 . . xiK 2 C Z?D°- OSn -t 0® 697 j) - o'’- 050 • 69°- 32 2y + -^3 ® -^7^ 33Z T)

où

T = MJD - 33282.0

II .21

Le temps sidéral représente une approximation de la rotation de la Terre, puisque l'équinoxe vrai , qui est utilisé comme

référence, tourne d'une quantité^//équivalente â la précession et à la nutation en ascension droite. Si on considère un équinoxe fixe sur l'équateur vrai et si l'on mesure le temps a partir de cette origine, on aura l'expression réelle de la rotation de la Terre. Si l'on choisit comme origine l'équinoxe vernal moyen de 1950.0, il faut soustraire de l'expression donnant le temps sidéral vrai l'effet de la précession et de la nutation en

ascension droite depuis 1950.0 jusqu'à la date considérée. Nous avons

h - [Ji --1 -/! .

A

6 est appelé l'angle sidéral ou encore temps sidéral modifié.

Il est donné par l'expression linéaire

Û O \

6 Z .^00 • + 3oo“ isre-fZ f M3D - 2?l.o) .

La matrice (-Ù) permet de passer de l'équinoxe vernal vrai au méridien de Greenwich.

Par ‘conséquent, une position rapportée au système celeste X sera transformée dans le système terrestre en

; ^ R (-»). S^. X

2.5.6. Passage du système céleste au système orbital.

Le système orbital y est lié au système sidéral vrai W par la relation

ÿ = R

la matrice R étant

/ ^{Cnn [ji +} /w ^{(yM ûji)} 0 ^

-i>vo

\ O 0 -i.

j

/ = X -V O

R =

où