M´ethodes num´eriques pour l’ing´enieur Valeurs et vecteurs propres 1
ASI - Ana Num
M´ethodes num´eriques d’approximation des valeurs et vecteurs propres1. exercice
(a) Appliquer l’algorithme de la puissance it´er´ee en partant du vecteurx0= (1,0,3)> `a la matrice
A=
3 0 −1
0 1 0
3 0 −1
,
(b) mˆeme question en partant du vecteury0= (1,1,3)>
(c) montrez qu’en partant du vecteur z0 = (1,1,2)> on obtient `a lak`eme it´eration le vecteurzk+1= (1,2−k,1)>,
(d) estimez la position des valeurs propres deAen utilisant la m´ethode des cercles de Gershogrin,
(e) calculez directement les valeurs propres de A en utilisant le polynˆome caract´eristique.
2. exercice
Soit A la matrice sym´etrique associ´e `a une application lin´eaire de IRn dans IRn. Soit λune valeur propre deAassoci´ee au vecteur propre norm´ey. On appelle quotien deRayleighle nombre
rA(x) =x>Ax x>x
(a) soitλ1la valeur propre de Ade plus grand module. Montrez que :
∀x, |rA(x)| ≤ |λ1|
(b) Montrez que si l’on dispose d’une approximation z =y+h du vecteur propre y v´erifiant kz−yk = khk2 < ε, et que z est norm´e (kzk = 1), alors :
|rA(z)−λ|< M ε2 o`uM =kA−λIk∞ est une constante.
3. exercice Jacobi
Soit A la matrice sym´etrique associ´e `a une application lin´eaire de IRn dans IRn. Soit Ω la matrice suivante :
Ω =
1
...
1
cosθ sinθ
1 ...
1
−sinθ cosθ 1
...
1
, avec Ωpq= sinθ
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(a) montrez que la matriceAetB = Ω sont deux matrices similaires sym´etriques, (b) comment choisirθpour que Bpq= 0,
cotg2θ= aqq−app
2apq
(c) calculez les valeur debij
(d) La m´ethode de Jacobi consiste `a appliquer syst´ematiquement la proc´edure pr´ec´edente afin d’obtenir une matrice diagonale. Appliquez cette m´ethode de Jacobi pour trouver les vecteurs et valeurs propres de la matrice suiv- ante :
A=
4 −4 √
2
−4 4 √
√ 2
2 √
2 0
,
4. exercice
Soit A la matrice sym´etrique associ´e `a une application lin´eaire de IRn dans IRn. Soit λune valeur propre deAassoci´ee au vecteur propre norm´ey. On consid`ere la matrice de Householder
H =I−2cc>
c>c
(a) Montrez queH est une matrice sym´etrique orthogonale, (b) SoitB =H>AH. Montrez queAetB sont similaires, 5. exercice : ´equations diff´rentielles et exponentielles de matrices.
SoitA(λ, ε) la matrice suivante : A(λ, ε) =
λ 1 0 λ+ε
,
(a) Quelles sont les valeurs propres de A(λ, ε). A quelle condition A(λ, ε) poss`ede t’elle une base de vecteurs propres
(b) On consid`ere le syst`eme d’´equations diff´erentielles suivant :
dx
dt =λx+y dy
dt = (λ+ε)y
avec les conditions initiales suivantes : x(0) =x0ety(0) =y0. R´esoudre ce syst`eme. En d´eduire la valeur de exptA(λ,ε).
(c) pour une valeur deλfix´ee, comparez lorque εtend vers 0 : exptA(λ,ε) et exptA(λ,0)
(d) le comportement de ces deux exponentielles est-il le mˆeme lorquettend vers +∞?
6. exercice : Les matrices persym´etriques SoitB la matrice suivante :
B=
2 −1 0 0
−1 2 −1 0
0 −1 2 −1
0 0 −1 2
,
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(a) utiliser le th´eor`eme des cercles de Gerschogrin pour montrer que siλest la plus petite des valeurs propres deB alors :
|λ−4|=ρ(B−4I)
o`uρ(M) est le rayon spectral de la matriceM etI la matrice identit´e, (b) En d´eduire la plus petite des valeurs propres deB et son vecteur propre
associ´e,
(c) soitC la matrice suivante :
C=
3 −1 −1 1
−1 3 −1 −1
−1 −1 3 −1
1 −1 −1 3
,
montrez de mˆeme que :
|µ−6|=ρ(C−6I) o`uµest la plus petite valeur propre deC.
