M´ethodes num´eriques pour l’ing´enieur M´ethodes it´eratives de r´esolution de syst`emes lin´eaires1
ASI - Ana Num
M´ethodes it´eratives de r´esolution de syst`emes lin´eaires 1. exercice(a)
x(k+1)−x(k) =Cx(k)−Cx(k−1)
=C x(k)−x(k−1)
=Ck x(1)−x(0) d’ou
kx(k+1)−x(k)k ≤ kCkkkx(1)−x(0)k (b) ∀p >0
x(k+p)−x(k)= Ck+p−1+...+Ck+1+Ck
x(1)−x(0) d’ou
kx(k+p)−x(k)k ≤ kCkk+1+kCkk+p−1+...+kCkk
kx(1)−x(0)k (c) il existe une norme telle quekCk<1
(d)
x(k+p)−x(k) = Ck+p−1+...+Ck+1+Ck
x(1)−x(0)
=Ck Cp−1+...+C+ 1
x(1)−x(0) d’ou
kx(k+p)−x(k)k ≤ kCkk kCkp−1+...+kCk+ 1
kx(1)−x(0)k or
kCkp−1+...+kCk+ 1
= 1− kCkp 1− kCk qui converge lorsque la norme deC est inf´erieure a un, d’o`u
kx∗−x(k)k ≤ kCkk
1− kCkkx(1)−x(0)k (e) on en d´eduit le nombre d’it´erationskdoit v´erifier :
kCkk
1− kCkkx(1)−x(0)k ≤ε soit
k= log
1− kCk kx(1)−x(0)kε
/logkCk
2. exercice
- 6
- 6
x1
x2
x1
x2
(∆1)
(∆2)
(∆2)
(∆1)
x(0) x(0)
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3. (a) det(A) = 1−α,Aest inversible siα6= 1.
(b) i. pour jacobi
C=
0 0 −α
0 0 −β
−1 0 0
les valeurs propres de C sont 0 et ±iα le rayon spectral de C est donc ´egal `a|α|, la m´ethode converge lorsque|α− |<1.
ii. pour Gauss-Seidel
C=
0 0 −α
0 0 −β
0 0 α
les valeurs propres deCsont 0 etαle rayon spectral deCest donc l`a encore ´egal `a |α|, la m´ethode converge lorsque|α|<1.
iii. 0< ω <1 (c) ∀α
L=
1 0 0
1 1 0
1 0 1
U =
1 0 α
0 1 β−α 0 0 1−α
4. SoitAla matrice sym´etrique d´efinie positive associ´e `a une application lin´eaire de IRn dans IRn.
(a)
Ax=λx⇐x0Ax=λx0x
cond(A) =kAk2kA−1k2= λ1 λn
(b) x∗ est unique carAest inversible .
x(k+1)=x(k)−α(Ax(k)−b) x(k+1)= (I−αA)x(k)−αb) Pour que l’algorithme converge, il faut queρ(I−αA)<1 (c) pour trouver les valeurs propresµdeT il faut r´esoudre :
det(T−µI) = 0 det(I−αA−µI) = 0 det A−1−µα I
= 0 on a donc 1−µα =λsoit µ= 1−λα
5. Exercice la chaleur tournante
On cherche `a r´esoudre un syst`eme lin´eaire de n ´equations `a n inconnues s’´ecrivant : Ax =b, o`u A ∈ M(n, n) et b ∈ Rn. La matrice A a la forme caract´eristique suivante :
2 −1 0
−1 2 . .. . .. . .. . ..
. .. 2 −1
0 −1 2
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(a)
A = D+G,
D =
2 0 0 0
0 2 . .. . .. 0 . .. . .. . .. 0
. .. . .. 2 0
0 0 0 2
G=
0 −1 0 0
−1 0 . .. . .. 0 . .. . .. . .. 0
. .. . .. 0 −1
0 0 −1 0
J1 = −D−1G=
0 12 0 0
1
2 0 12 . .. 0 12 . .. . .. 0
. .. . .. 0 12
0 0 12 0
si on consid`ereA2
A2=
5 −4 1 0
−4 6 −4 1
1 −4 6 −4 1
1 −4 6 −4
0 1 −4 5
A2 = D+G,
D =
5 0 0 0
0 6 . .. . .. 0 . .. . .. . .. 0
. .. . .. 6 0
0 0 0 5
G=
0 −4 1 0
−4 0 . .. . .. 1 . .. . .. . .. 1
. .. . .. 0 −4
0 1 −4 0
J2 = −D−1G=
0 −45 15 0
−4
6 0 −46 . ..
1 6
−4
6 . .. . .. 16 . .. . .. 0 −46
0 15 −45 0
(b) La m´ethode de Jacobi converge si le rayon spectral de la matrice Jest
< 1. C0est le cas pour J1 et non pour J2. En effet, recherchons les valeurs propres deJ1. Elles annuent le polynˆome caract´eristique de la matrice
P1=J1−λI =
−λ 12 0 0
1
2 −λ 12 . .. 0 12 . .. . .. 0
. .. . .. −λ 12
0 0 12 −λ
Lorsque |λ| > 1, la matrice P1 est `a diagonale strictement dominante.
Elle est donc inversible et son noyau est r´eduit au vecteur nul. Il n’existe
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pas de vecteur v non nul tel que (P1−λI)y = 0, et donc il n’est pas possible que la matriceJ1ait une valuer propre supp´erieure `a un.
(c) J y=y ⇒D−1Gy=y⇒Gy=Dy⇒(D−G)y= 0⇒Ay= 0.
La matriceAest inversible, son noyau est r´eduit au vecteur nul, il n’existe donc aucun vecteurynon nul tel queAy= 0 et donc tel queJ y=y. En cons´equence, 1 n’est pas valeur propre deJ.
