ASI - Ana Num
M´ethodes directes de r´esolution de syst`emes non lin´eaires1. Exercice .
D´eterminez graphiquement toutes les solutions du syst`eme suivant : x(1−x) + 4y = 12
(x−2)2+ (2y−3)2 = 24
Am´eliorez ces appoximations `a l’aide d’une it´eration de point fixe et de Newton.
2. Exercice .
calculer deux it´erations des m´ethodes du point fixe, de Newton et de Broyden pour r´esoudre `a partir du point (x(0), y(0), z(0))> = (0,0,0)> le syst`eme suivant :
x2+y = 37 x −y2 = 5 x +y+z = 3
3. Exercice
Utilisez la m´ethode de Newton pour trouver les racines cubiques complexes de l’unit´e, c’est-`a-dire trouvezz=x+iy tel que :
z3= 1
4. Exercice
Etant donn´es a > 0 et p ∈ IN, p > 1, on cherche `a r´esoudre dans IR l’´equation suivante :
xp=a (1)
(a) Montrez graphiquement que la m´ethode de Newton converge lorsque p= 2,
(b) utilisez la m´ethode de newton pour approcher√
3 `a partir dex(0) = 1,5.
(c) On se porpose de r´esoudre le probl`eme `a l’aide d’une m´ethode du points fixe. Montrez que le probl`eme `a r´esoudre peut s’´ecrire sous la forme
x=g(x)
avecg(x) = ax1−p. Montrez que l’algorithme du point fixe peut ne as cpnverger d`es que p >1,
1
(d) Ecrire une nouvelle m´ethode du point fixe `a partir de l’´egalit´e suiv- ante :
x+αx=αx+g(x) Montrez qu’un bon choix pourαest α=p−1.
5. Exercice Le r´eacteur enzymatique
On consid`ere le probl`eme aux limites suivant :
σu
1 +u−u00(x) = f(x) pour x∈[0,1]
u(0) = 0 u(1) = 0
(a) en discr´etisant la fonction u(x) aux points xk = k/n, en notant u(xk) =vket en approchant la d´eriv´ee secondeu00par des diff´erences finies, montrez que ce probl`eme peut se mettre sous la formef(v) = 0 (b) d´ecrivez l’application de la m´ethode de Newton `a la r´esolution de ce
probl`eme?
6. Exercice .
Comment utiliser la m´ethode de Newton pour calculer la racine carr´e d’une matrice ?
7. Exercice .
Soit A une matrice sym´etrique donc on cherche `a calculer un vecteur propre norm´e. Il s’agit donc de r´esoudre le syst`eme suivant :
Ax = λx x>x = 1
(a) en vue d’utiliser la m´ethode de Newton, mettre le probl`eme sous la formef(z) = 0, ouz∈IRn+1 est un vecteur que l’on pr´ecisera.
(b) Ecrire la matrice jacobienne def
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