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ASI - Ana Num
M´ethodes directes de r´esolution de syst`emes lin´eaires 1. R´esoudre par la m´ethode de Gauss les syst`emesAx=bsuivants :(a)
A=
1 1 1
3 9 27
2 4 8
, b=
14 120
50
(b)
A=
−5 3 2 17
0 −2 7 −53
−2 6 5 −1
−1 3 6 −7
, b=
−76 129
−7 20
(c)
A=
0 1 −1 1
1 1 −1 2
−1 −1 1 0
1 2 0 2
, b=
1 4 0 3
• Donnez les matrices L et U des factorisations ”LU” de chacune de ces matrices.
• Les quelles parmi ces matrices admettent une d´ecompositionLD>L?
• sont elles d´efinies positives ?
2. R´esoudre chacun des syst`emesAx=bavec : (a)
A=
1 1 1
4096 32 1 1012 105 1
, b=
6 4163 1,0000002 1012
(b)
A=
1 105 1012 1 32 4096
1 1 1
, b=
1,0000002 1012 4163
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3. Montrez sur l’exemple ci-dessus que la m´ethode de Gauss sans changement de ligne ou de colonne peu donner des r´esultats catastrophiques :
x+ 2000 y = 20000
x− y = 0
On supposera que l’on travaille en virgule flotante “d´ecimale” avec une mantisse de 4 chiffres, c’est `a dire que tout nombre r´eel sera repr´esent´e de la mani`ere suivante :
r(x) = 0.dddd 10dd o`u dd´esigne un chiffre (digit).
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4. Quelle est la m´ethode utilis´ee par Matlab pour r´esoudre un syst`eme d’´equa- tions lin´eaires ?
5. Exercice Gauss -Jordan (pas michael)
On cherche `a r´esoudre un syst`eme lin´eaire de n´equations `a n inconnues s’´ecrivant : Ax = b, ou A ∈ L(n, n) et b ∈ IRn. La m´ethode de Gauss Jordan est une m´ethode d’´elimination analogue `a la m´ethode du pivot de Gauss vue en cours.
A chaque it´eration on applique les formules suivantes :
pouri= 1, ..., k−1, k+1, ..., n
a(k+1)ij = a(k)ij −a(k)ik a(k)kk
a(k)kj, j=k, ..., n
b(k+1)i = b(k)i −a(k)ik a(k)kk b(k)k
Notez qu’il s’agit des mˆemes formules que l’´elimination de Gauss, seule la plage de variation de l’indiceiest diff´erente. Comme pour la m´ethode de Gauss, les a(k)kk sont appel´es les pivots. On fera l’hypoth`ese que aucun d’entre eux ne s’annule.
(a) Ecrivez l’agorithme complet en utilisant le style vu en cours.
(b) Donnez en fonction denle nombre d’op´erations effectu´ees par l’algorithme.
Pour n grand, comparez ce nombre d’op´erations avec celui de la m´ethode de Gauss pr´esent´ee en cours.
(c) Appliquez cet algorithme `a l’exemple suivant :
−1 −1 −1 1
−1 3 3 5
−1 3 12 14
1 5 14 28
x1 x2
x3
x4
=
-2 10 28 48
6. Exercice Le li`evre et la tortue
On cherche `a r´esoudre un syst`eme lin´eaire de n´equations `a n inconnues s’´ecrivant : A2x=b, ouA∈ L(n, n) etb∈IRn.
(a) Une premi`ere m´ethode consiste `a :
• calculer la matriceC=A2
• factoriserC=LU
• r´esoudre les deux syst`emesLy=betU x=y pour obtenirx.
pr´ecisez le nombre d’op´erations utilis´es par cette m´ethode.
(b) Proposez une autre m´ethode utilisant moins de multiplications.
