M´ethodes num´eriques pour l’ing´enieur M´ethodes it´eratives 1
ASI - Ana Num
M´ethodes it´eratives de r´esolution de syst`emes lin´eaires 1. exerciceSoitC la matrice repr´esentant l’application lin´eaire de IRn dans IRn associ´ee au sch´emat it´eratif suivant :
x(k+1)=Cx(k)+d avecdun vecteur quelconque de IRn etx(0) donn´e.
(a) montrez que
kx(k+1)−x(k)k ≤ kCkkkx(1)−x(0)k
(b) montrez que,∀p >0
kx(k+p)−x(k)k ≤ kCkk+p−1+...+kCkk+1+kCkk
kx(1)−x(0)k (c) A quelle condition ce sch´ema it´eratif converge t’il ?
(d) Supposons qu’il converge. Soit x∗ la limite desx(k) lorsque ktend vers l’infini. En d´eduire :
kx∗−x(k)k ≤ kCkk
1− kCkkx(1)−x(0)k
(e) Comment utiliser ce r´esultat pour pr´evoir le comportement d’un pro- gramme i´eratif ? En d´eduire un programme mettant en œuvre la m´ethode de gauss jordan avec la strat´egie propos´ee ci-dessus pour les param`etres suivants (A, b, x(0), ε)
2. Soit le syst`eme lin´eaire suivant :
ax1+bx2=c (∆1) dx1+ex2=f (∆2)
Illustrer sur les deux cas de figure suivant la convergence ou divergence des m´ethodes de Jacobi et de Gauss-Seidel en repr´esentant deux it´erations.
- 6
- 6
x1
x2
x1
x2
(∆1)
(∆2)
(∆2)
(∆1)
3. Soit la matrice :
A=
1 0 α
0 1 β 1 0 1
avecαet β deux r´eels donn´es.
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(a) Pour quelles valeurs deαla matrice est elle inversible ?
(b) A´etant suppos´ee inversible, on se propose de r´esoudre le sys`eme lin´eaire Ax=b `a l’aide d’une m´ethode it´erative.
i. pour quelles valeurs deαla m´ethode de Jacobi converge ?
ii. pour quelles valeurs deαla m´ethode de Gauss-Seidel converge t’elle ? iii. on prendα= 0. Pour quelles valeurs deωla m´ethode de la relaxaiton
converge ?
(c) Donner la d´ecomposition LU de A. Pour quelles valeurs de α est elle possible ? Quel est le rˆole deβ.
4. SoitAla matrice sym´etrique d´efinie positive associ´e `a une application lin´eaire de IRn dans IRn.
(a) Montrez que les valeurs propres de A sont strictement positives. Quel est le conditionnement deA.
(b) Soitb un vecteur de IRn. Montrez que le syst`eme lin´eaireAx=b admet une solution unique (que l’on note x∗). La m´ethode it´erative suivante est propos´ee pour r´esoudre ce syst`eme :
x(0) donn´e
x(k+1)=x(k)−αg(k) avec g(k) = Ax(k)−b et α = λ1
1 o`u λ1 d´esigne la plus grande valeur propre de la matriceA. En ´etudiant le vecteur d’erreure(k)=x(k)−x∗, d´eterminez T telle que : e(k+1) = T e(k). En d´eduire que l’algorithme ci-dessus est convergent.
(c) Montrer que
ρ(T) =max(|1−αλ1|,|1−αλn|)
En vous aidant d’un dessin, d´eduisez a valeur deαminimisantρ(T).
5. Exercice Normes
SoitA une matrice carr´ee repr´esentant une application lin´eaire de IRn dans IRn.
(a) calculerkAxk∞
(b) montrer que
kAxk∞≤max
i=1,n n
X
i=1
|aij|
! kxk∞
En d´eduire un majorant de kAk∞
(c) appelonskla grande ligne deA:
n
X
i=1
|akj|= max
i=1,n n
X
i=1
|aij|
!
D´eterminer une vecteury tel que :
kyk∞= 1 et
n
X
i=1
|akj| ≤ kAyk∞
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(d) en d´eduire que :
kAk∞= max
i=1,n n
X
i=1
|aij|
!
(e) calculer les normeskAk∞ etkAk1 pour :
A=
0 −0.2 0.5
0.3 0 −0.6
0.7 0.1 0
6. Exercice la chaleur tournante
On cherche `a r´esoudre un syst`eme lin´eaire de n ´equations `a n inconnues s’´ecrivant : Ax = b, o`u A ∈ L(n, n) et b ∈ Rn. La matrice A a la forme caract´eristique suivante :
2 −1 0
−1 2 . .. . .. . .. . ..
. .. 2 −1
0 −1 2
(a) Ecrire la matriceJ correspondant aux it´erations de la m´ethode de Jacobi x(k+1)=J x(k)+c
(b) Montrez que la m´ethode converge (le rayon spectral de la matriceJ est inf´erieur `a un)
(c) Montrez que l’´equation J y =y ´equivaut `a Ay= 0 et en d´eduire que 1 n’est pas valeur propre deJ.
