ASI - Ana Num

1

ASI - Ana Num

(a) On se donne les les nombres r´eels x0, x1, x2, x3 et y0, y1, y2, y3. Ex- primez le polynˆome d’interpolation dans les bases de Lagrange et de Newton,

(b) proposez un algorithme pour le calcul des diff´erences divis´ees.

2. Exercice “Yvette”

Dans de nombreuses m´ethodes d’Analyse Num´erique, on cherche `a calculer la valeur d’un polynˆomep(t)

(p(t) =a_ntⁿ+a_n−1tⁿ⁻¹+...+a₁t+a₀) en un point pr´ecist₀ , `a partir de ses coefficientsa_i

(a) Proposer un algorithme Matlab pour ´evaluerp(t0) en suivant la for- mule pr´ec´edente. Combien de multiplications sont n´ecessaires `a cette

´evaluation ?

(b) On va maintenant chercher une m´ethode plus pratique pour ´evaluer p(t0). R´e´ecrirep(t) sous la formep(t) =b0+ (t−t0)q(t) avecq(t) = b_ntⁿ⁻¹+b_n−1tⁿ⁻²+...+b₁

i. Trouver une relation de r´ecurrence simple exprimantb_i en fonc- tion desa_i

ii. En d´eduire un algorithme permettant de calculerp(t0) et donner le nombre de multiplications n´ecessaires.

3. Exercice

(a) d´eterminez le polynˆomeL(x) tel queL(a) =y_a etL(b) =y_b

(b) Montrez que l’on peut ´ecrire P(x), un polynˆome d’interpolation de a, bde degr´e 2 de la mani`ere suivante :

P(x) =α(x−a)(x−b) +L(x)

(c) On cherche `a interpoler les points (xi, yi), i= 0, navech=xi+1−xi

par une fonction g, polynˆomiale par morceau. La restriction gi de g `a l’intevalle [xi, xi+1] est un polynˆome de degr´e 2. En utilisant le r´esultat de la question pr´ec´edente, montrez que :

g_i(x) =y_i+1x−x_i

h −y_ix−x_i+1

h +α_i(x−x_i)(x−x_i+1) (d) Calculez g⁰_i(x) etg_i+1⁰ (x) et leur valeur au pointx=xi+1

(e) En exprimant la continuit´e des d´eriv´ees degaux pointsxi, montrez que l’on obtient un syst`eme lin´eaire dont lesα_i sont solution, (f) proposez un algorithme permettant de calculerg.