Math´ematiques pour Informaticiens

Math´ematiques pour

Informaticiens

Ernst Hairer

Universit´e de Gen`eve Juin 2004

Section de math´ematiques Case postale 240

CH-1211 Gen`eve 24

Contents

I Topologie de et fonctions continues 4

I.1 Distances et normes . . . 4

I.2 Convergence de suites de vecteurs . . . 6

I.3 Voisinages, ensembles ouverts et ferm´es . . . 8

I.4 Fonctions continues . . . 12

I.5 Convergence uniforme et la courbe de Peano-Hilbert . . . 14

I.6 Exercices . . . 16

II Calcul matriciel 17 II.1 Rappel de l’alg`ebre lin´eaire . . . 17

II.2 Forme normale de Schur . . . 19

II.3 Formes quadratiques . . . 22

II.4 Matrices d´efinies positives . . . 24

II.5 Norme d’une matrice . . . 25

II.6 Applications bilin´eaires et multilin´eaires . . . 27

II.7 Exercices . . . 28

III Calcul diff´erentiel (plusieurs variables) 29 III.1 D´eriv´ees partielles . . . 29

III.2 Diff´erentiabilit´e . . . 31

III.3 D´eriv´ees d’ordre sup´erieur . . . 34

III.4 S´erie de Taylor . . . 36

III.5 Th´eor`eme des accroissements finis . . . 39

III.6 Deux th´eor`emes importants de l’analyse . . . 40

III.7 Surfaces et sous-vari´et´es . . . 43

III.8 Espace tangent . . . 46

III.9 Exercices . . . 47

IV Optimisation 48 IV.1 Minima relatifs . . . 48

IV.2 Minima conditionnels – multiplicateurs de Lagrange . . . 50

IV.3 Contraintes en forme des ´equations et in´equations . . . 54

IV.4 Programmation lin´eaire . . . 55

IV.5 L’algorithme du simplexe . . . 59

IV.6 Exercices . . . 63 2

V Calcul int´egral 64

V.1 Primitives . . . 64

V.2 Applications du calcul int´egral . . . 65

V.3 Techniques d’int´egration . . . 67

V.4 Int´egration de fonctions rationnelles . . . 70

V.5 Substitutions importantes . . . 73

V.6 Exercices . . . 74

VI Equations diff´erentielles ordinaires 75 VI.1 Exemples historiques . . . 75

VI.1.1 La tractrice . . . 75

VI.1.2 La cat´enaire . . . 76

VI.2 Quelques types d’´equations int´egrables . . . 77

VI.2.1 ´Equations `a variables s´epar´ees . . . 77

VI.2.2 ´Equations lin´eaires homog`enes . . . 77

VI.2.3 ´Equations lin´eaires inhomog`enes . . . 77

VI.2.4 ´Equations diff´erentielles d’ordre 2 . . . 78

VI.3 Equations diff´erentielles lin´eaires . . . 79´

VI.3.1 ´Equations homog`enes `a coefficients constants . . . 80

VI.3.2 ´Equations lin´eaires inhomog`enes . . . 82

VI.4 Syst`emes d’´equations diff´erentielles – exemples . . . 84

VI.4.1 Le probl`eme de Lotka–Volterra . . . 84

VI.4.2 Le probl`eme de Kepler . . . 85

VI.4.3 Le syst`eme solaire (probl`eme `a corps) . . . 86

VI.4.4 R´eactions chimiques . . . 87

VI.5 Existence et unicit´e du probl`eme de Cauchy . . . 87

VI.5.1 Prolongement des solutions et existence globale . . . 90

VI.6 Syst`emes d’´equations diff´erentielles lin´eaires . . . 90

VI.6.1 Equations lin´eaires homog`enes . . . 91

VI.6.2 Equations lin´eaires inhomog`enes . . . 92

VI.7 Syst`emes lin´eaires `a coefficients constants . . . 93

VI.8 Exercices . . . 94

VIIS´eries de Fourier 95 VII.1 D´efinitions math´ematiques et exemples . . . 95

VII.2 Etude ´el´ementaire de la convergence . . . 99

VII.3 Noyau de Dirichlet et convergence ponctuelle . . . 101

VII.4 Convergence en moyenne quadratique . . . 103

VII.5 Exercices . . . 104

Remerciements

Ce polycopi´e accompagne le cours “Math´ematiques pour informaticiens” ( heures par se- maine et heures d’exercices) donn´e au semestre d’´et´e 2004.

Chapter I

Topologie de et fonctions continues

L’´etude des fonctions d’une variable r´eelle est un des sujets du cours “Analyse I” (semestre d’hiver).

Dans ce chapitre, nous discutons des notions qui permetteront une g´en´eralisation aux fonctions de plusieurs variables. De telles fonctions apparaissent partout en pratique. Par exemple, la temp´erature dans une salle est une fonction qui d´epend de l’espace (trois coordonn´ees) et du temps.

Elle est donc une fonction de quatre variables.

Ce chapitre suit de pr`es la pr´esentation des paragraphes IV.1 et IV.2 du livre “L’analyse au fil de l’histoire” de Hairer & Wanner (Springer-Verlag 2002). Pour plus d’informations (remarques historiques, d´emonstrations d´etaill´ees,), la lecture de ce livre est vivement conseill´ee.

I.1 Distances et normes

Nous consid´erons des couples de nombres r´eels, et des -uples . L’ensemble de tous les couples est

(1.1)

et l’ensemble de tous les -uples est

"!# %$

'&

()* (1.2)

Avec l’addition (composante par composante) et avec la multiplication par des nombres r´eels, cet ensemble devient un espace vectoriel (voir le chapitre II du cours “Alg`ebre I”, semestre d’hiver).

Les ´el´ements de sont donc des vecteurs. Dans ce chapitre, nous ne distinguons pas les vecteurs colonnes et les vecteurs lignes.

G´eom´etriquement, l’espace peut ˆetre interpr´et´e comme un plan; les composantes et

´etant les coordonn´ees cart´esiennes. Par le th´eor`eme de Pythagore, la distance ^{+, -,} entre deux points ^. et^{- - .-/} est donn´ee par (figure I.1, gauche)

+, -,

-0 213 4 65

-/713

(1.3)

On voit que cette distance ne d´epend que de la diff´erence^-819 . Ceci justifie l’´ecriture :.-;1<=: , o`u ^{:>: > 5 >} si^> ?>@ > .

Pour calculer la distance entre ^.A et ^{- - .-/-/A} dans l’espace ^A , nous appliquons deux fois le th´eor`eme de Pythagore (d’abord au triangle DEF et ensuite `a ABC, voir figure I.1, droite) et nous obtenons ^{+" -, :.-B13=:} , o`u ^{:>: > 5 > 5 > A} .

Topologie de et fonctions continues 5

-

-/

-0 13

-/C13

D

E F G

A

H

I

-0 4-/-/A

&

-0 1J

-KC1J -KA*13A

Figure I.1: Distances dans et dans ^A Dans l’espace de dimension , nous d´efinissons par analogie

:>0:

> 5 >

5

5 > (1.4)

et nous appelons cette expression la norme euclidienne de ^> ?>@ >@L> . La distance entre

M et^-N est alors donn´ee par^{+" -, :.-B13=:} . Th´eor`eme 1.1 La norme euclidienne (1.4) satisfait :

(N1) ^:.=:OQP et ^{:.=: PSRT P} ,

(N2) ^{:UC=: WVU VX :.=:} pour ^UY ,

(N3) ^{:. 5 -Z:%[\:.=: 5 :.-6:} (in´egalit´e du triangle).

D´emonstration. Les propri´et´es (N1) et (N2) sont triviales. La d´emonstration de (N3) est bas´ee sur l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz

V^]

-`_

V

[\:.=:

X

:.-Z:2 (1.5)

o`u ^{] -a_6b} !c0

"!d-*! d´esigne le produit scalaire de deux vecteurs et^- (voir le chapitre VI du

cours “Alg`ebre I”). L’in´egalit´e du triangle est maintenant une cons´equence de

:.

5

-Z:

W]

5 -`.

5

-`_

:.=:

5 ]

-a_

5

:.-Z:

[\:.=:

5

":.=:

X

:.-6:

5

:.-Z:

e

4:.=:

5

:.-6:L

Par la suite, nous utiliserons tr`es rarement la formule explicite de l’´equation (1.4). Souvent, il est confortable d’utiliser d’autres expressions satisfaisant les propri´et´es (N1), (N2) et (N3).

D´efinition 1.2 (norme) Une norme sur est une application ^{: X :b gf} satisfaisant (N1), (N2) et (N3). L’espace muni d’une norme s’appelle un espace norm´e.

Exemples. En plus de la norme euclidienne (1.4), nous consid´erons

:.=:

!c0

V

"!

V norme^hK , (1.6)

:.=:i

j8kLl

!c0 nmpopopom V

"!

V norme maximum. (1.7)

La v´erification des propri´et´es (N1), (N2) et (N3) pour ces normes est facile. La notation (c.-`a-d.

les indices ^{& *q} ) n’est pas choisie par hasard. En effet, les trois normes sont des cas particuliers de

:.=:4r

!c0

V

"!

Vr tsur

norme^hLr , ^{& [wvyxzq} (1.8)

et ^{:.=:i Q{}|}j} r(~ei:.=:4r .

6 Topologie de et fonctions continues Th´eor`eme 1.3 Pour tout^M , on a

:.=:i€[\:.=:[:.=: 7[w

X

:.=:i‚ (1.9)

D´emonstration. Nous ne d´emontrons que la deuxi`eme in´egalit´e. En prenant le carr´e <sup>:.=:</sup> dans l’´equation (1.6), nous obtenons la somme des carr´es <sup>!</sup> (c’est-`a-dire^:.=: ) et les produits mixtes

V

"!

VXV

"ƒ

V, tous non n´egatifs. Ceci implique que ^{:.=: O\:.=:} .

Ce r´esultat montre que les normes ^:.=: , ^:.=: et ^:.=:i sont ´equivalentes dans l’esprit de la d´efinition suivante.

D´efinition 1.4 (´equivalence de normes) On dit que deux normes ^{: X :4r} et ^{: X :4„} sont ´equivalentes s’il existe des constantes positives^F et^F telles que

F

:.=:4r[\:.=:4„e[

F

=:.=:4r pour tout  (1.10)

I.2 Convergence de suites de vecteurs

Au cours “Analyse I”, nous avons vu des suites de nombres r´eels ainsi que les notions de conver- gence, de suites de Cauchy, etc. Il s’agit maintenant d’´etendre ces d´efinitions et r´esultats `a des suites de vecteurs. Nous consid´erons donc "†‡†‰ˆ0 , o`u chaque^"† est un vecteur, c.-`a-d.

"†

t†Š.n†Š( †? ‹

W&

*LŒ*6 (2.1)

D´efinition 2.1 (convergence de suites de vecteurs) On dit que la suite "†?†‰ˆ0 , donn´ee par (2.1), converge vers le vecteur^{ Ž @( 7} si

0‘B’

P “ O & 

‹=O

:."†01”,:x

‘

Comme pour des suites dans , nous ´ecrivons ^{"† f } ou bien ^{}|•j

†‰~ei

"†

 .

La seule diff´erence par rapport `a la d´efinition pour des suites de nombres r´eels est que les

“valeurs absolues” sont remplac´ees par des “normes”.

La figure I.2 montre la suite ^{"† –P*— 5 P*}˜K—š™ †K›Lœ/ –P*}— 5 P*ž2‹aP/} 5 P*2™ †K |•Ÿ –P*— 5 P*}ž2‹44}

dans avec^{™ P* /—} . Elle converge vers^{ –P*—*P*/} .

u ^

^A (

u

uA

A

¡



Figure I.2: Illustration d’une suite convergente dans

Topologie de et fonctions continues 7 Attention Dans la d´efinition 2.1, nous n’avons pas encore pr´ecis´e quelle norme il faut prendre.

Nous observons que si ^{: X :4r} est ´equivalente `a ^{: X :4„} , alors on a

convergence avec ^{: X :4r ¢¤£} convergence avec ^{: X :4„} (2.2) En effet, :."†`1za:4r;x

‘

et (1.10) impliquent que :."†`1za:4„¥x F ‘

. Puisque^{‘¦’ P} est arbitraire dans la d´efinition 2.1, nous pouvons le remplacer par^{‘¨§ F ‘} , et nous voyons que la convergence avec ^{: X :4r} implique celle avec ^{: X :4„} .

Nous savons d´ej`a (th´eor`eme 1.3) que ^{: X :} , ^{: X :} et ^{: X :i} sont ´equivalentes ; nous verrons plus loin (th´eor`eme 4.6) que toutes les normes dans sont ´equivalentes. Par cons´equent, on peut se servir de n’importe quelle norme dans la d´efinition 2.1.

Th´eor`eme 2.2 (crit`ere de convergence) Pour une suite de vecteurs (2.1), on a

{}|}j

†t~i

"†

 ¢g£

{•|}j

†t~i

"!†

@! pour ^{$ '& L*()}

i.e. la convergence dans est ´equivalente `a la convergence composante par composante.

D´emonstration. Prenons la norme maximum (1.7) pour laquelle

:."†1©,:izx

‘

¢¤£

V

"!4†01”¨!

V x ‘

pour ^{$ W& *L)}

Avec cette norme dans la d´efinition 2.1, le r´esultat est imm´ediat.

Avec l’observation qu’il faut seulement remplacer “valeurs absolues” par “normes”, on peut

´etendre beaucoup de d´efinitions et r´esultats du cours “Analyse I” `a une dimension sup´erieure. Par exemple, nous disons qu’une suite des vecteurs "†‡†tˆ0 est born´ee, s’il existe un nombre

E

OQP tel

que :."†ª:«[

E

pour tout^{‹¬O &} . De nouveau, la propri´et´e d’ˆetre born´ee ne d´epend pas de la norme choisie. Comme dans , nous voyons que toute suite convergente est born´ee.

On dit qu’une suite "†?†‰ˆ0 est une suite de Cauchy si

0‘;’

P “ O & 

‹­O



h®O

&

:."†013"†‰¯/°:x

‘ (2.3)

En utilisant la norme maximum dans (2.3), on constate que cette d´efinition est ´equivalente au fait que, pour^{$ '& .} , les suites r´eelles "!†‡†‰ˆ0 sont des suites de Cauchy. Par cons´equent, nous obtenons directement la g´en´eralisation du crit`ere de Cauchy.

Th´eor`eme 2.3 (crit`ere de Cauchy dans ) Une suite de vecteurs dans est convergente si et seulement si elle est une suite de Cauchy.

Le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass reste aussi vrai dans . Sa d´emonstration, par contre, n´ecessite quelques id´ees suppl´ementaires.

Th´eor`eme 2.4 (Bolzano-Weierstrass dans ) Chaque suite born´ee de vecteurs dans admet une sous-suite convergente.

D´emonstration. Soit "†?†‰ˆ0 une suite born´ee dans . La suite de ses premi`eres composantes

t†Š†‰ˆ0 est born´ee et on peut appliquer le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass dans . Elle admet

alors une sous-suite convergente, disons

nm nm±@ nm² nmu@ nmA(³ nm±u´@ nmuAu´@ nm±(³^µ@¶= (2.4)

8 Topologie de et fonctions continues Passons aux deuxi`emes composantes. L’id´ee essentielle est de ne consid´erer que celles qui corre- spondent `a la sous-suite (2.4) et non pas celles de la suite toute enti`ere. Cette suite est born´ee, et nous pouvons de nouveau appliquer le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass dans pour obtenir une sous-suite convergente, disons,

Lm Lm²Lm±u´@Lm±(³^µ@Y­ (2.5)

Maintenant, les premi`eres et les deuxi`emes composantes de la suite ,^² ,^±u´ ,^{±(³^µ@} conver- gent. Pour , la d´emonstration est termin´ee. Pour ^’ , nous examinons les troisi`emes composantes avec des indices correspondant `a (2.5), et ainsi de suite. Apr`es ´etapes, il reste une suite dont toutes les composantes convergent.

I.3 Voisinages, ensembles ouverts et ferm´es

Pour des ensembles

D

et

E

dans , nous utilisons les notations

D¸·

E

si les ´el´ements de

D

appartiennent `a^E (sous-ensemble)

D<¹ E

º

» M

D

et ^{M E} (intersection)

D<¼ E

º

» M

D

ou ^{M E} (r´eunion ou union)

D<½

E

º

» M

D

mais ^{¾ E} (diff´erence)

¿ D

º

» ¾

D (compl´ementaire) Le rˆole de l’intervalle ouvert est jou´e par

E%À

?*

M Á:.Y1©,:ex

‘

/ (3.1)

appel´e disque (ou boule) de rayon^‘ et de centre^ (voir la figure I.3).

v

W&

v v q

Figure I.3: Disques de rayon

‘

W&

&LÂ

/

&Â

pour ^:.=: , ^:.=: et ^:.=:i ,

D´efinition 3.1 (voisinage) Soit ^¦ donn´e. Un voisinage de ^ est un ensemble ^Ã

·

qui contient un disque de rayon positif centr´e en^ , i.e.,

à est voisinage de ^{ ¢¤£ “ ‘8’ P E%À Ž* · Ã} Le disque^{E%À ?*} d´epend de la norme utilis´ee (^{: X : 4*: X :} ou ^{: X}

:i‚) ; la d´efinition d’un voisinage, par contre, est ind´ependante de la norme utilis´ee, `a condition que les normes soient ´equivalentes.

Chaque ^{E=À ŽC} pour une norme contient un ^{E%ÀŠÄ ?*} pour l’autre norme (voir le dessin `a cot´e).

D´efinition 3.2 (ensemble ouvert) Un ensemble^Å

·

est ouvert s’il est un voisinage de chacun de ses points, i.e.

Å ouvert ^{¢¤£  …9Å “ ‘8’ P E%À š}

·

Å6

Topologie de et fonctions continues 9 D´efinition 3.3 (ensemble ferm´e) Un ensemble ^I

·

est ferm´e si chaque suite convergente

"†‡†tˆ0 avec^{"†š I} a sa limite dans ^I , i.e.

I

ferm´e ^{¢g£  Æ{}|•j}

†‰~ei

"† et ^{"† I} impliquent ^{B I}

Exemples dans .

L’intervalle dit “ouvert” ^{Ž¡Çd È É e;xwÉxÇd} est un ensemble ouvert. En effet, pour

un^»”?CǪ , le nombre^{‘ bQj8|}Ÿ )1;¡Ç1«š} est strictement positif, et nous avons^{E%À š}

·

?CǪ .

Par contre, la suite ^{ 5 & ‹ª} (pour^{‹‚O &} ) est convergente, ses ´el´ements sont dans ^ŽCǪ `a partir d’un certain^‹ , mais la limite n’est pas dans ^ŽCǪ . Donc, l’ensemble ^ŽCǪ n’est pas ferm´e.

L’ensemble dit “ferm´e” ^{ÊˍCÇªÌ T ¥9[Í[TÇd} est ferm´e (faire la d´emonstration `a l’aide d’un th´eor`eme du cours “Analyse I”). Cependant, ni ^ ni ^Ç n’ont un voisinage enti`erement inclus dans ^{Êˍ¡ÇdÌ}. L’intervalle ^{Êˍ¡ÇdÌ} n’est donc pas ouvert.

L’intervalle^{D Ê΍CǪ} n’est ni ouvert ni ferm´e, puisque ^ n’a pas de voisinage dans ^Ê΍CǪ et la limite de la suite convergente ^{Ç1 & ‹ª} n’est pas dans^ÊˍCǪ .

Enfin, l’ensemble ^{?1#q” 5 q©} est ouvert et ferm´e, ainsi que l’ensemble vide^Ï . Lemme 3.4 Soit ^{: X :} une norme arbitraire de .

a) L’ensemble ^{D Q M #:.=:¬x &} est ouvert.

b) L’ensemble ^{D M ®:.=:[ &} est ferm´e.

v

'&

v v q v

W&

v v q

Figure I.4: Ensembles ouverts ^{¥­:.=:4r«x &} (gauche) et ferm´es ^{S­:.=:4r[ &} (droite) D´emonstration. a) Pour ^»

D

prenons^{‘ Æ& 1W:,:} qui est positif. Avec ce choix, nous avons

E%À

?*

·TD

(voir figure I.4, gauche). En effet, par l’in´egalit´e du triangle, nous avons pour^Q

E%À

?*

:.=:

:.¤1”

5

a:e[\:.y1”,:

5

:,:x

‘ 5

:a:

'&

Donc,

D

est ouvert.

b) Consid´erons une suite "†Š†‰ˆ0 v´erifiant^{"† D} (pour tout^‹ ) et convergeant vers^ . L’in´egalit´e de triangle implique

:,:

:."†013"†

5

,:e[:."†ª:

5

:."†1©,:e[

& 5

:."†01”,:x

& 5 ‘

pour^‹7O . Ceci est vrai pour tout

‘;’

P . Par cons´equent, ^{:,:[ &} et

D

est ferm´e.

Autres exemples.

Le demi-plan

D

Ð

9

Z

5

’

/ est un ensemble ouvert; par contre, le demi-plan

D

Q

»

a

5

‚OQ* est un ferm´e (mˆeme d´emonstrations que tout `a l’heure). On verra plus tard que l’ensemble

D

È

„Z 4

’

P* est ouvert et que

D

È

¬Ñ) ­O

P* est ferm´e si^{Ñ) 4} est une fonction continue.

L’ensemble

D

M

Ò« ®:.=:e[

& n’est ni ouvert ni ferm´e, car chaque disque

contient des points irrationnels; et une limite de points rationnels peut ˆetre irrationnelle.

10 Topologie de et fonctions continues Le c´el`ebre ensemble de Cantor (figure I.5) est donn´e par

D

ÊpP*

& Ì ½

&Â

Œ/

Â

Œ/

¼

&LÂKÓ

ÂÔÓ

¼

–ž

ÂKÓ

L  ÂKÓ

¼

N

i

†tc0

@†?Œ*Õ

†

%@†š

P*/

(3.2) Cet ensemble n’est pas ouvert (par ex. ^{W& Œ} n’a pas de voisinage dans

D

) mais il est ferm´e (voir la remarque apr`es la d´emonstration du th´eor`eme 3.6).

P

&Â

Œ  Œ &

&ÂKÓ

Figure I.5: Ensemble de Cantor

Le triangle de Sierpi ´nski et le tapis de Sierpi´nski (figure I.6) sont des g´en´eralisations bidimen- sionnelles de l’ensemble de Cantor. Ces dessins ne nous plaisent pas seulement par leur beaut´e, mais nous rappellent que les ensembles peuvent ˆetre des objets bien compliqu´es.

Figure I.6: Triangle de Sierpi´nski et tapis de Sierpi´nski Th´eor`eme 3.5 On a

i)

I

ferm´e ^£

¿ I

ouvert, ii) ^Å ouvert ^£

¿ Å ferm´e.

D´emonstration. i) Supposons que

¿ I

ne soit pas ouvert. Il existe alors un ^M

¿ I

(i.e. ^{¾ I} ) tel que, pour tout^{‘Y’ P} , on ait ^{E=À ŽC¥¾}

· ¿ I

. En prenant^{‘ Ö& ‹} , nous pouvons choisir une suite

"†‡†tˆ0 satisfaisant^"†7

I

et :."†a1€a:®x

&Â

‹ . Comme

I

est ferm´e, nous obtenons ^y

I

, d’o`u une contradiction.

ii) Supposons que

¿ Å ne soit pas ferm´e. Il existe alors une suite ^"†×

¿ Å (i.e. ^"†3¾TÅ ) convergeant vers un ^M¾

¿ Å , (i.e.^Y”Å ). Comme ^Å est ouvert, nous avons ^{E%À ?* · Å} pour un certain^{‘;’ P} . Par cons´equent,^{"†=¾ E%À Ž*} pour tout^‹ , d’o`u une contradiction.

Th´eor`eme 3.6 Pour un nombre fini d’ensembles, on a

i)Å7 4Å2@LÅšØ ouverts ^{£ Å7}

¹

Å2

¹

¹

Å Ø est ouvert, ii)^{I I L I Ø} ferm´es ^{£ I}

¼ I ¼

¼ I Ø est ferm´e.

Pour une famille arbitraire d’ensembles (index´ee par l’ensemble^Ù ), on a iii)^ÅšÚ ouvert pour tout^{U £} Ú¨ÛdÜ

ÅšÚ Q

M •“0UY3Ù= M3Å ÚC est ouvert,

iv)^{I Ú} ferm´e pour tout^{U £} Ú¨ÛªÜ I Ú

Q

» 

UY9Ù= M

I

ÚC est ferm´e.

Topologie de et fonctions continues 11 D´emonstration. Commenc¸ons par la d´emonstration de (i). Soit^9©Å7

¹

¹

ÅšØ , donc^3©Åš!

pour tout^{$ Ö& .Ý} . Comme^Ś! est ouvert, il existe un^{‘ ! ’ P} tel que^{E%ÀÞ š}

·

Ś! . Prenons

‘

jß|}Ÿ

‘ L

‘

Øe ; alors

‘8’

P et

E%À

š

·

Å7

¹

¹

ÅšØ .

La d´emonstration de (iii) est encore plus simple ; nous l’omettons. Les ´equivalences (i) ^R (ii) et (iii)^R (iv) sont une cons´equence des “r`egles de Morgan”

¿

?Å7

¹

Å2

¿

Å7 4

¼ ¿

Å2

¿

ŽÅ7

¼

Å2

¿

Å7

¹ ¿

Å2

et du th´eor`eme 3.5.

Remarque. Ce th´eor`eme nous permet de d´emontrer que l’ensemble de Cantor d´efini par (3.2) est ferm´e. En effet, son compl´ementaire

¿ D

?1#q”P/

¼ &

q©

¼

&Â

Œ/

Â

Œ/

¼

&LÂKÓ

ÂÔÓ

¼

–ž

ÂKÓ

L  ÂKÓ

¼

est une union infinie d’intervalles ouverts. Le th´eor`eme 3.6 implique donc que

D

est ferm´e.

Å2

ŚA

Å2à

Ś±

I I A I à I ±

Figure I.7: Ensembles ouverts d’intersection ferm´ee (gauche) et ensembles ferm´es d’union ouverte (droite)

Remarque. Les affirmations (i) et (ii) du th´eor`eme 3.6 ne sont, en g´en´eral, pas vraies pour un nombre infini d’ensembles.

Consid´erons par exemple la famille d’ensembles ouverts

(1.26) ^{Ś† M ®:.=:x & 5 & ‹}

dont l’intersection ^{Å2 ¹ ŚA ¹ Å2à ¹ º Q Y:.=:¶[ &} n’est pas ouverte (figure I.7, gauche).

De fac¸on analogue, la famille d’ensembles ferm´es (figure I.7, droite)

(1.27) ^{I † M Á:.=:[ & 1 & ‹}

a une union^{I ¼ I A ¼ I à ¼ Q M #:.=:ex &} qui n’est pas ferm´ee.

12 Topologie de et fonctions continues

I.4 Fonctions continues

Soit

D

un sous-ensemble de . Une fonction

ÑYb

D f Ø

(4.1)

envoie le vecteur ^{L 8}

D

sur le vecteur^{- - .L-*ج8 Ø} . Chaque com- posante de^- est une fonction de variables. Nous ´ecrivons alors

-

ÑZš ou

-

Ñ/

...

-*Ø

ÑØ# L 4

(4.2)

-

- -/

Figure I.8: Parabolo¨ıde (gauche) et h´elice (droite) Exemples

a) Une fonction ^{Ý á&} de deux variables ^/ peut ˆetre interpr´et´ee comme une surface dans ^A . Par exemple, la fonction^{- 5} repr´esente un parabolo¨ıde (figure I.8, gauche).

b) Deux fonctions ^{Ý K} d’une variable ^& repr´esentent une courbe dans ^A . Par exemple, l’h´elice de la figure I.8 (droite) est donn´ee par ^{- ›œ/ & P} , ^{-/  |}Ÿ¥& P} . Si nous projetons la courbe sur le plan ^{- 4-K} , nous obtenons une “repr´esentation param´etrique” d’une courbe dans (un cercle dans cet exemple).

D´efinition 4.1 (continuit´e) Une fonction^ÑYb

D f Ø

,

D”·

est continue en^â‚

D

si

0‘;’

P “0ã

’ P 

D

b×:.y13â:¬xQã :ÑZšš1”Ñ)â:x

‘

C’est pr´ecis´ement la d´efinition de la continuit´e d’une fonction `a une variable avec les valeurs absolues remplac´ees par des normes. Cette d´efinition ne d´epend pas des normes choisies, pourvu qu’elles soient ´equivalentes. En utilisant la norme maximum dans <sup>Ø</sup> , nous obtenons le r´esultat suivant (`a comparer avec le th´eor`eme 2.2).

Th´eor`eme 4.2 Une fonction^ÑNb

D f Ø

,

D€·

donn´ee par (4.2) est continue en^â«

D

si et seulement si chaque fonction^Ñä%b

D f

est continue en^â (^{å '& Ý} ).

Topologie de et fonctions continues 13 Une cons´equence de ce th´eor`eme est qu’il suffit de consid´erer le cas^{Ý &} pour l’´etude de la continuit´e.

Il est ´evident qu’une fonction constante ^{ÑZš \æ} est partout continue. La projection de

. sur sa ^$ i`eme coordonn´ee, i.e. ^{v š "!} , est ´egalement continue en chaque point

â

^â@ â , puisque ^V"!¬13"!4â

V

[\:.y1Jâ: (choisir^{㠑} dans la d´efinition 4.1).

Comme pour des fonctions `a une variable, on d´emontre que le produit et le quotient (si le d´enominateur est non nul) de fonctions continues est continue. Par cons´equent, les polyn ˆomes en plusieurs variables, par exemple^{ÑZ 4.@A à ± 13 ? A A 5 ± 1 &} , sont partout continus;

et les fonctions rationnelles sont continues aux points o`u le d´enominateur est non nul.

çÔè çÔè

ç@é ç@é

ê

ê

Figure I.9: St´er´eogramme de la fonction discontinue^{Ñ) 4} de la formule (4.3) (tenir le dessin `a 20 cm des yeux et “loucher” `a travers le papier vers un objet situ´e 20 cm derri`ere. Alors, les deux dessins fusionnent et un dessin 3D apparaˆıt.)

Exemple 4.3 Consid´erons la fonction^{ÑYb f} donn´ee par

Ñ) 4

?

5

si ^{5 ’ P}

P si ^P

(4.3) (voir figure I.9). Comme elle est une fonction rationnelle, elle est certainement continue aux points v´erifiant ^{5 ’ P} . Pour expliquer son comportement pr`es de l’origine, utilisons les coordonn´ees polaires ^{™ ›œKë} , ^{™  |}Ÿ ë} ; il vient (pour^™

’ P )

ÑZ™

›œ/ë

ì™



|•Ÿ

ë ™ ›œKë8

|•Ÿ

ë

™ &



|}Ÿ

ë

Par cons´equent, la fonction est constante sur les droites passant par l’origine, et cette constante d´epend de l’angle^ë . Dans tout voisinage de ^ŽP/P/ , la fonction (4.3) prend toutes les valeurs entre

5

&Â

et ^{1 &Â} . Elle ne peut donc pas ˆetre continue en ^ŽP*PK .

D´efinition 4.4 (ensemble compact) Pour un ensemble^í

·

, on dit que

í est compact ^{¢g£ í} est born´e et ferm´e.

Beaucoup de r´esultats pour des fonctions continues `a une variable poss`edent une g´en´eralisation

`a plusieurs variables. Un r´esultat qu’on obtient de nouveau en remplac¸ant “valeurs absolues” par

“normes” est le suivant.

Th´eor`eme 4.5 Soit ^í

·

un ensemble compact et soit ^{ÑÉb í f} continue sur^í . Alors, ^Ñ est born´ee sur^í et admet un maximum et un minimum, i.e. il existe^î»9í et^Å9í tels que

ÑZî6[Ñ)š7[ÑZ?ÅÁ pour tout ^»9íY

14 Topologie de et fonctions continues Ce th´eor`eme conduit au r´esultat suivant, d´ej`a annonc´e au d´ebut de ce chapitre.

Th´eor`eme 4.6 (´equivalence de normes) Toutes les normes dans sont ´equivalentes. C’est-`a- dire que si ^{b f} est une application satisfaisant les conditions (N1), (N2) et (N3) du th´eor`eme 1.1, i.e.

(N1) ^š­OQP et ^{š P¥RT P} ,

(N2) ^{?U*š 'VU V š} pour ^UY ,

(N3) ^{5 -,6[ š 5 -,} (in´egalit´e du triangle), alors il existe des constantes

F ’ P et

F ’ P telles que

F

š:.=:‚[

š7[

F

%:.=: pour tout ^M (4.4)

D´emonstration. a) Ecrivons´ ^{ï@ 5 @ï 5 5 ï} , dans la base canonique ^ï@

&

P*LPK , ^{ï –P* & P/(P/} , etc. On d´eduit de (N3), (N2) et de l’in´egalit´e de Cauchy-

Schwarz (1.5) que

š

ªï@

5

5 ï 6[

ï@ .

5

5

ï

[ V VX

?ï@ 4

5

5 V

VX

Žï 6[:.=:

X F

(4.5) avec

F

?ï@ 4 75

5

?ï

. La deuxi`eme in´egalit´e de (4.4) est ainsi d´emontr´ee.

b) Montrons ensuite que ^š est continue (avec la norme euclidienne dans la d´efinition 4.1).

On a

š 1

â

y13â

5

âš1

â@6[

Y1Jâ

5

âš1

â7[

F

¡:.Y1Jâ:

et, de la mˆeme fac¸on, ^{âš1 š <[}

F

:.â713=: . On en d´eduit que

V

š 1

â@

V [ F

C:.Y1Jâ:

ce qui implique la continuit´e de ^š .

c) Consid´erons la fonction ^š sur l’ensemble compact ^{í Ð 3 ­:.=: Ö&} . Par le th´eor`eme 4.5, elle admet un minimum en un<sup>î»9í</sup> , c.-`a-d. il existe^î…9í avec

î 7[

Ž>K pour tout ^>S9íY

Posons

F

®b

î ; par (N1), on a

F ’ P . Comme ^{ :.=:gQí} pour tout^© (^{ð¾ P} ), nous avons

F

î 7[

:.=:

&

:.=:

š

ce qui d´emontre la premi`ere in´egalit´e de (4.4).

I.5 Convergence uniforme et la courbe de Peano-Hilbert

Toutes les d´efinitions et les r´esultats du cours “Analyse I” concernant la convergence uniforme d’une suite de fonctions se g´en´eralisent imm´ediatement `a plusieurs dimensions. Rappelons qu’une suite de fonctions^ÑL!‚b

D f Ø

,

D”·

converge uniformement sur

D

vers^ÑNb

D f Ø

, si

0‘;’

P “ O & 

$ßO



M

D

:Ñ!š 1©ÑZš@:ex

‘

Un exemple est le suivant.

Th´eor`eme 5.1 Si une suite de fonctions continues^ÑL!®b

D f Ø

,

D¸·

converge uniform´ement sur

D

vers une fonction^ÑNb

D f Ø

, cette fonction limite est continue.

Topologie de et fonctions continues 15 La courbe de Peano-Hilbert L’image d’une fonction continue ^{ë beÊpP* & Ì f} est une courbe dans . Par exemple, la fonction ^{ë ñd ñ( & 1”ñd} donne un segment de droite et la fonction

ë

ñd

›Lœ/

ò`ñ(

 |}Ÿ

Lò`ñd un cercle. On peut se demander si l’image d’une fonction continue

ë

bNÊpP*

& Ì f

peut remplir tout le carr´e ^{ÊpP* & Ì ÊpP* & Ì}. Peano (1890) et Hilbert (1891) ont d´ecouvert que ceci est possible: on divise chaque carr´e en quatre sous-carr´es et on ´etiquette leurs centres r´ecursivement, en suivant la direction de la courbe pr´ec´edente (voir la figure I.10).

1

2 3

4

1 2

3 4

5

6 7

8 9

10 11

12

13 14

15 16

1

2 3

4 5

6 7 8 9

10 11 12 13

14 15 16 17

18 19 20 21

22 23

24 25

26 27

28

29 30

31

32 33

34 35 36 37

38 39

40 41

42 43

44

45 46

47 48

49

50 51

52 53 54

55 56

57 58

59 60

61

62 63

64

Figure I.10: La courbe de Peano-Hilbert Une autre construction. Soit^{ë ñd} ­ñd.-Zñd4»P¥[wñ¬[

&

une courbe continue arbitraire reliant les points

D

–P*P/ pour^{ñ P} et ^{E & P/} pour^{ñ ó&} (voir la figure I.11). Nous d´efinissons

alors une nouvelle courbe^{ô ë} par

Žô

ë

ñd

-Z–ñd.­Žñd si ^PS[wñ%[ à

­Žñ)1

&

& 5

-)Žñ1

&

si à

[wñ¬[

à

& 5

­ŽLñZ1w/4

& 5

-)Žñ1©/ si à

[wñ¬[

Aà

–13-Z–ñ1©Œ/

&

13­–ñ1©Œ/4 si ^Aà

[wñ¬[

&

.

Ainsi, nous avons `a nouveau une courbe continue reliant^{D ŽP*PK} pour^{ñ P} et^{E & P/} pour

ñ

õ&

(voir le deuxi`eme dessin de la figure I.11), et ainsi ce proc´ed´e peut ˆetre r´ep´et´e (troisi`eme

A B

ϕ ψ

ψ

Φϕ

Φψ Φψ Φϕ Φψ

Φψ

Φϕ Φψ

Φψ

Φϕ Φψ

Φψ

A B A B

Figure I.11: Cr´eation de la courbe de Hilbert

16 Topologie de et fonctions continues dessin dans la figure I.11). Ceci d´efinit une suite de fonctions ^{ë â ë} , ^{ë ô ë â} , ^{ë ô ë} , etc.

Si nous commenc¸ons avec une autre courbe initiale^ö;ñd avec ^{: ë} ñd*18ö;ñd@:iz[Èí pour^{ñ¬©ÊËP* & Ì}, alors ^{:Lô ë} ñdš1©ô)ö;ñd@:i¸[Èí

 (voir la figure I.11). Par cons´equent,

: ë

!ìñdš13öZ!ìñd@:¬[Èí

X

*Õ

! (5.1)

et, en prenant^{öBñd ë Ø#ñd} et^{í '&} , on a

: ë

!ñdš1

ë

!¯/Ø#ñd@:¬[CÕ

! (5.2)

Par (5.2), la suite ^{ë !ñd} converge uniform´ement (crit`ere de Cauchy), et poss`ede donc une lim- ite continue ^{ë iBñd} (th´eor`eme 5.1). De plus, nous voyons avec (5.1) que la fonction limite est ind´ependante de la fonction initiale^{ë âCñd} .

Remarque. Il est int´eressant de mentionner que les deux coordonn´ees^­ñd et^-)ñd sont des exemples de fonctions continues, nulle part diff´erentiables (sans d´emonstration).

I.6 Exercices