Existence et unicit´e du probl`eme de Cauchy

sa masse, la loi d’attraction et la deuxi`eme loi de Newton donnent l’´equation differentielle

| · ·G),M ·Ö*£ ·¦*£ æ ֓_ D | · | æ ‚·=M æ ‚·=M æ Í Z Ù[)9\ Z 6:6:6 Z è6 (4.5) On peut de nouveau trouver quelques invariants (´energie totale, moment cin´etique), mais ils ne suffisent pas pour pouvoir r´esoudre analytiquement ce probl`eme. Pour pr´edire des eclipses du soleil ou la stabilit´e du syst`eme solaire sur des millions d’ann´ees, on est donc oblig´e d’utiliser des m´ethodes num´eriques (cours de deuxi`eme ann´ee). Dans le paragraphe suivant nous allons ´etudier l’existence et l’unicit´e de la solution d’une telle ´equation diff´erentielle.

VI.4.4 R´eactions chimiques

Consid´erons un m´elange de trois substances chimiques qui r´eagissent selon les formules suivantes:

‰ __   M2M2ô (lente) à? Í! £_!" M2M2ô AB? (tr`es rapide) Î?HA £_$# M2M2ô ‰ ?HA (rapide) (4.6)

Notons les concentrations de ‰ ,

et A

par&=£

, & R et &

Í . Une loi de la chimie (“differentiation law”) nous donne l’´equation diff´erentielle

A: & '£ )VMX\6g\“’p&=£<? F \   & R & Í &*£:-]\“1) F B: & ' R ) \65\ ’p&=£GM F \   & R & Í M ¡ j F \&%]& R R & R -]\“1)Š\ C: & ' Í ) ¡ j F \ % & R R & Í -]\“1)Š\6 (4.7)

Elle est obtenue comme suit: pour chaque r´eaction on consid`ere le produit des concentrations de substances apparaissant `a gauche dans la formule chimique, on le multiplie par la constante d´ecrivant la vitesse de r´eaction, et on ajoute ce produit avec le facteur 

M^}

`a l’´equation pour la substance' , si' apparaˆıt

fois `a droite et}

fois `a gauche de la formule chimique.

On a peu d’espoir de r´esoudre analytiquement ce probl`eme et on est restreint `a ´etudier des propri´et´es th´eoriques (existence, unicit´e de la solution, stabilit´e, 6:6:6

). Pour obtenir des r´esultats quantitatifs, on est oblig´e d’utiliser des m´ethodes num´eriques.

VI.5 Existence et unicit´e du probl`eme de Cauchy

Consid´erons le probl`eme de Cauchy

&S'*)V+>-5/ Z &1 Z &.-0/=_p1®)B&“_ (5.1) o`u + —)( ô ¥ (avec (+* ÷ ¥

ouvert) est une fonction continue. En int´egrant l’´equation diff´erentielle entre/=_

et/

on obtient l’´equation int´egrale

&.-0/21.)u&“_? q q-, +.-T Z &.-T 1‚1*8 T 6 (5.2) Chaque solution de (5.1) est donc solution de (5.2). Le contraire est vrai aussi. Si une fonc-tion continue &>-5/21

v´erifie (5.2) sur un intervalle ø , alors elle est automatiquement continˆument diff´erentiable et elle v´erifie (5.1).

88 Equations diff´erentielles ordinaires L’´equation (5.2) est sous la forme&u)

D

-5&1

o`u pour une fonction&.-0/21

donn´ee, D -0&1

est la fonction d´efinie par le membre de droite de (5.2). Ceci sugg`ere d’utiliser la m´ethode des approxi-mations successives.

Rappel: la m´ethode des approximations successives. Pour r´esoudre un probl`eme&H)Ó34-5&1

avec3

—

ô

, cette m´ethode est d´efinie par:

¶

on choisit&“_

arbitrairement,

¶

on applique l’it´eration& ›/.

£>)u34-5&

›

1

.

Si cette it´eration converge, on est sˆur d’avoir trouv´e une solution (si

3

est continue). La solution n’est pas n´ecessairement unique. Prenons, par exemple, la fonction34-5&1[) ‡pˆ € &

. Par le th´eor`eme des accroissements finis, on a 0

3>-0&1>MP34-]ú“1 021 û 0 & MÌú 0 avec ûV) €‚ a F â F (pour& Z údù3\ Z

F4). Ceci permet de d´emontrer que5

&

›76

est une suite de Cauchy et donc qu’elle converge (voir le petit dessin).

.5 1.0

&“_ & &=£

R

&

Í

It´eration de Picard-Lindel¨of L’´equation (5.2) peut ˆetre consid´er´ee comme un probl`eme `a point

fixe. L’id´ee est d’appliquer la m´ethode des approximations successives. Elle s’´ecrit sous la forme

& _{-0/21å) & _

(ou une fonction arbitraire)

& ›/. £:-0/21å) & _®? q q-, +.-T Z & › -T 11=8 T 6 (5.3)

Exemple 5.1 Consid´erons le probl`eme

&('*),Mr&(R

Z

&>-]\ 1.)

F

avec comme solution exacte &.-0/21Y)

F

;*-F

?9/21

. Les premi`eres approximations obtenues par l’it´eration de Picard-Lindel¨of sont & _{-0/21ë)

F , &*£:-5/21 ) F MP/ et & R -5/21 ) F MÎ/”?P/ R MP/ Í ; ¡

(voir la figure VI.6). On observe une convergence rapide vers la solution exacte dans l’intervalle

3\

Z

¡

65¢ è

4. Pour/

trop grand, l’it´eration diverge.

1 2 3 4 0 1 &“_{-5/21 &=£p-5/21 & R -5/21 & Í -0/21 &   -5/21

Figure VI.6: It´eration de Picard-Lindel¨of pour le probl`eme de l’Exemple 5.1

Lemme 5.2 Soit‰ ) 5 -5/ Z &1®ù ÷ ¥)8 0 /Mó/=_ 091 K Z &~Mì&“_ 1 O 6 , + —*‰ ô ¥ une fonction continue et ):<;l § q= Ž ¨?> • +.-0/ Z &1 . Pour ˜ — )@: a -]K Z O; 1

, les fonctions&

›

-5/21

de l’it´eration de Picard-Lindel¨of sont bien d´efinie pour 0

/JMY/=_ 0A1 ˜ et elles satisfont & › -0/212MY& _ 1 O pour 0 /@MY/=_ 0B1 ˜ 6

D´emonstration. L’affirmation est obtenue par r´ecurrence sur

comme suit & ›/. £:-5/212MY&“_ ) q +.-T Z & › -T 1‚1=8 T 1 q +.-T Z & › -T 11 8 T 1 0 /hMY/=_ 091 ˜ 1 O6

Equations diff´erentielles ordinaires 89 On dit qu’une fonction +

—®‰

ô

¥

(avec ‰ comme dans le lemme pr´ec´edent) satisfait une condition de Lipschitz si +.-5/ Z &1GMB+.-5/ Z úŒ1 1 &MPú pour -5/ Z &1 Z -5/ Z úŒ1[ù ‰ 6 (5.4) La constante

s’appelle constante de Lipschitz. Remarquons que la condition (5.4) n’est pas une cons´equence de la continuit´e de +>-5/

Z

&1

. Par exemple, la fonction 0

&

0 est continue sans v´erifier (5.4). D’autre part, chaque fonction qui est continˆument diff´erentiable v´erifie (5.4). Ceci est une cons´equence du th´eor`eme des accroissements finis (th´eor`eme III.5.1).

Th´eor`eme 5.3 (existence et unicit´e du probl`eme de Cauchy) Consid´erons l’ensemble

‰ ) 5 -0/ Z &1®ù ÷ ¥ 8 0 /JMY/=_ 091 K Z &NMY& _ 1 O 6 et supposons que+ —=‰ ô ¥ ¶ soit continue, ¶

satisfasse une condition de Lipschitz. Alors, le probl`eme de Cauchy &

' )V+.-5/ Z &1 Z &>-5/=_:1®)^& _

poss`ede une solution unique sur

ø )C3/=_[M ˜ Z /=_®? ˜ 4, o`u˜ )@:  a -]K Z O; 1 et ):<;l § q= Ž ¨?> • +.-0/ Z &1 .

D´emonstration. Existence. L’id´ee est de d´emontrer que l’it´eration de Picard-Lindel¨of converge uniform´ement sur ø vers une solution du probl`eme de Cauchy. Dans une premi`ere partie nous allons d´emontrer que

& ›/. £p-0/21sMä& › -5/21 1 › 0 /@MY/=_ 0 ›/. £ - ? F 1ED pour 0 /JMY/=_ 0B1 ˜ 6 (5.5) Pour  )ï\

avec pour & _-5/21ó) &“_

, cette estimation suit de

q q-, +.-T Z &.-T 1‚1=8 T 1 0 /XMà/=_ 0. Supposons qu’elle soit vraie pour

M F . Alors, on a pour/=_ 1 / 1 /=_[? ˜ que & ›/. £:-5/212MY& › -0/21 1 q q-, +>-T Z & › -T 1‚12MP+.-T Z & › ¦*£:-T 11 8 T 1 q q-, & › -T 1ØMX& › ¦*£:-T 1 8 T 1 › q q-, 0 T MY/=_ 0 ›  D 8 T ) › 0 /JMY/=_ 0 ›/. £ - ? F 1ED

(la d´emonstration pour/=_vM

˜ 1 / 1 /=_ est analogue). De l’estimation (5.5) nous d´eduisons que 5

&

›

-0/21

6

est une suite de Cauchy qui converge uni-form´ement. En effet, & ›/. Ô -0/212MY& › -5/21 1 & ›/. Ô -5/21ØMX& ›/. Ô ¦*£p-5/21 ?H6p6:6“? & ›/. £p-0/212MY& › -5/21 1 -0 /JMY/=_ 0 1 ›/. Ô - ? | 1ED ?H6:6p6“? -0 /JMY/=_ 0 1 ›/. £ - ? F 1D 1 æ œ ›-. £ -˜ 1 æ F D Z

ce qui est le reste d’une s´erie convergente. Donc, cette expression est plus petite que– si



est suffisamment grand. Comme la convergence est uniforme, la suite 5

&

›

-0/21

6

converge vers une fonction continue&

—=ø

ô

¥

(th´eor`eme I.5.1). Pour d´emontrer que cette fonction&>-5/21

est une solution du probl`eme de Cauchy, nous passons `a la limite  ô ö dans (5.3). Comme5 & › -5/21 6 converge uniform´ement et +>-5/ Z &1 satisfait la con-dition de Lipschitz (5.4), la suite5

+.-5/ Z & › -0/21‚1 6

converge uniform´ement vers+.-0/

Z

&.-0/21‚1

. On peut donc ´echanger la limite avec l’int´egration dans (5.3) et on voit que&.-0/21

est solution de l’´equation int´egrale (5.2).

90 Equations diff´erentielles ordinaires Unicit´e. Supposons que&.-0/21

et ú*-5/21

soient deux solutions sur ø . Ceci implique que&.-0/21>M ú*-0/21…) q q-, -+.-T Z &>-T 1‚1ØMà+.-T Z ú*-T 11‚1=8 T . On en d´eduit que &>-5/21sMŠúÞ-5/21 1 † 0 /ëM /=_ 0. Comme dans la premi`ere partie de la d´emonstration nous trouvons par r´ecurrence que pour tout

HG \ &.-0/212MHú*-0/21 1 † › 0 /hMX/=_ 0 ›/. £ - ? F 1ED 1 † -˜ 1 ›/. £ - ? F 1D 6 La limite ô ö montre que &.-0/21GMPú*-5/21 )9\ pour tout/ìù ø .

VI.5.1 Prolongement des solutions et existence globale

Le th´eor`eme 5.3 garantit l’existence locale d’une solution du probl`eme de Cauchy. Si la fonction

+.-0/

Z

&1

est continˆument diff´erentiable dans un voisinage de -0/=_

Z

& _:1

, le probl`eme de Cauchy&

' ) +.-0/ Z &1 Z &>-5/=_:1X) & _

poss`ede alors une solution unique sur 3/=_UM

˜ Z /=_d? ˜ 4 avec un ˜ ã \ . Consid´erons maintenant le point /s£X) /=_d?

˜

, &=£ä) &.-0/=_d?

˜

1

sur cette solution. On peut r´eappliquer le th´eor`eme 5.3 au probl`eme de Cauchy&

' )Ò+.-0/ Z &1 Z &>-5/s£1Ð) &*£ et ainsi prolonger cette solution. Jusqu’o `u peut on prolonger la solution de cette mani`ere?

Th´eor`eme 5.4 Supposons que la fonction+ —I( ô ¥ (( un ouvert de ÷ ¥ ) soit continˆument diff´erentiable sur( . Alors,

¶

chaque solution de&

'

)V+.-5/

Z

&1

peut ˆetre prolong´ee jusqu’au bord de ( ,

¶

deux solutions de& ' )9+.-5/

Z

&1

ne s’intersectent jamais.

La deuxi`eme affirmation est une cons´equence imm´ediate du th´eor`eme 5.3. La premi`ere est plausible mais n´ecessite quelques r´eflexions (ici, nous ne donnons pas de d´emonstration).

Les affirmations du th´eor`eme peuvent ˆetre observ´ees dans la figure pour l’exemple 2.1 du paragraphe VI.2.

(

/=_ &“_

Dans le document Math´ematiques pour Informaticiens (Page 87-90)