A 5 A 1© ? ¬ ¤ ® ¯ °²± ³ ° ³%´ ³ °²µ
(folium cartesii). Ses courbes de niveau sont dessin´ees dans la figure d’`a cˆot´e. On commence par calculer le gradient
§ Ñ) 1w 1w
et les valeurs de o`u § ÑZ?*
P . Pour cet exemple simple, on trouve tout de suite
P*LP/ et & &
. Pour des fonc-tions plus compliqu´ees, on est oblig´e d’utiliser des m´ethodes num´eriques.
Pour v´erifier s’il s’agit d’un minimum, nous calculons la matrice Hessienne
¨ 1# 1® Le valeurs propres de ¨
?* sont les z´eros du polyn ˆome caract´eristique ?Uß1z*¡ ?Uß1*1
Ó . Au point P*P/ , nous trouvons Ua 1® et U¡
comme valeurs propres de ¨
* . Il ne s’agit donc ni d’un minimum ni d’un maximum, comme on peut le voir sur le dessin. Par contre, les valeurs propres de¨
?* pour & & sont Ua etUC Ó
. Comme elles sont positives, il s’agit d’un minimum relatif.
Remarquons que, pour une fonctionÑ»b ¤f
, la condition§ ÑZ
P donne ´equations `a inconnues `a r´esoudre, notamment
_ Ñ _ L _ Ñ _ 4L _ Ñ _ 4 P*
Pour v´erifier si une solution J repr´esente un minimum relatif de ÑZ , il faut calculer les valeurs propres de la matrice Hessienne ¨
?* . Les deux probl`emes (la r´esolution d’un syst`eme non lin´eaire dans et le calcul des valeurs propres d’une matrice de dimension ) seront trait´es dans le cours ‘Analyse Num´erique’.
IV.2 Minima conditionnels – multiplicateurs de Lagrange
Pour mieux comprendre les id´ees, commenc¸ons par le probl`eme
ÑZ f j8|} .5 1.0 −1.0 −.5 .5 1.0 −1.0 −.5 jßk(l j8| jß|} j8kLl sur 2 Q V 0 n6b 5 1 &% P/*
On voit sur le dessin d’`a cˆot´e que les solutions de ce probl`eme sont Õ¶ ¶ et ¶ Õ¶ .
Raisonnement g´eom´etrique. On sait que§
ÑZC est orthogonal aux lignes de niveau carÑZ?
5 "1gÑZ?* § ÑZ?* ÷ 5¸· 4:): . De plus, §0
?* est orthogonal `a 2 (formule (8.2) du para-graphe III.8). Si la courbe de niveau deÑZ et la sous-vari´et´e
2 se coupent transversalement en , on ne peut pas avoir un minimum. Donc, aux solutions de ce probl`eme, on a
§ ÑZ* U §0 C4
Optimisation 51 Raisonnement analytique. La sous-vari´et´e2
Q V 5 1 &¬
P* peut ˆetre param´etris´ee `a l’aide de ë ñd / ñ( |
ñd÷. Le probl`eme qui consiste `a minimiser ÑZ sur 2 est alors ´equivalent `a minimiser la fonction
I ñd ÑZ ë ñd4 / ñ |} ñ | ñ sur . La condition Ie§ ñd L/ ñ
P est satisfaite pourñ
ò Â *`ò Â *aò Â
* etc. CommeI§§ ñd 1® | ñ , les minima sont obtenus pourñ
ò Â et pourñ ò Â .
Pour une fonction arbitraire ÑZ et pour une sous-vari´et´e de
donn´ee par une courbe param´etriqueë
ñd , l’approche analytique donne pourI ñd ÑZ ë ñd4 la condition I § ñd Ñ § ë ñd4 i ë ñd § ÑZ ë ñd ÷ i ë ñd P*
Avec l’interpr´etation g´eom´etrique, on a donc au minimum:
§ ÑZ?*C- tangente `a2 en R § ÑZ*: §0 C R § Ñ)?* U §0 ?*
Le but est de g´en´eraliser cet exemple `a une fonctionÑ de variables et `a une sous-vari´et´e arbitraire de de dimension$ .
Le probl`eme `a traiter dans ce paragraphe est alors le suivant: soient donn´ees une fonction
ÑÈb ¸f
continˆument diff´erentiable et une sous-vari´et´e 2 de dimension $ . Calculer les solutions de
Ñ)
f
j8|}
sur 2 (2.1)
c.-`a-d. on cherche B¹2 tel que ÑZ6OðÑ)?* pourM2 proche de . On dit aussi que B2
est un minimum relatif de la fonctionÑ Vº
(restriction de Ñ `a2 ).
Th´eor`eme 2.1 Soit Ñ9b
f
deux fois continˆument diff´erentiable et soit ë
b
!
f
une param´etrisation locale de2 pr`es de S2 (etë
>â ). Alors § ÑZ?*÷ ë § >â P et ¨ est d´efinie positive £
Ñ Vº poss`ede un minimum relatif en £ § ÑZ*÷ ë § ?>â P et ¨ est semi-d´efinie positive o`u¨ est la matrice Hessienne de l’application>¥û
f Ñ) ë >K4 , c.-`a-d. ¨ b ë § ?>â ÷ § ÑZ* ë § >â 5 c0 _ Ñ _ " * § ë >â (2.2)
Notons que la matrice Hessienne §
ÑZ?* de la fonction Ñ est de dimension , mais que la matrice¨ est seulement de dimension$ .
D´emonstration. La restriction de la fonctionÑ sur2 poss`ede un minimum relatif enB¹2 si et seulement si I
?>Ôb
ÑZ
ë
?>Ô4 en poss`ede un en >â . En observant que Ie§ ?>Ô Ñ § ë ?>Ô4 ë § ?>K § Ñ) ë >K4 ÷ ë § >K et que§ I >K ë § >K ÷ § ÑZ ë ?>K ë § ?>K 5 c0 b W b ç²» ë >K4 § @ë .>K , l’affirmation est une cons´equence du th´eor`eme 1.1.
Si on veut ´eviter la notation matricielle, la conditionI § >â § Ñ)?* ÷ ë § ?>â P s’´ecrit _ I _ >ª ?>â c0 _ Ñ _ " ?* _ ë _ >ª ?>â P pour W& ($
et les ´el´ements de la matrice¨
§ I ?>â sont ] ä _ I _ >ª _ >ªä >â _ Ñ _ " _ "r ?* _ ë _ >ª >â _ ë r _ >ªä ?>â 5 _ Ñ _ " ?* _ ë _ >ª _ >ªä ?>â
52 Optimisation Ce th´eor`eme donne un crit`ere satisfaisant si la sous-vari´et´e 2 est donn´ee par une param´e-trisation. Mais dans la plupart des applications, la sous-vari´et´e est donn´ee sous la forme 2
È V 0
P* . Le but est alors d’exprimer les conditions n´ecessaires et suffisantes du th´eor`eme 2.1 en termes de0
et non deë >K .
La condition sur la premi`ere d´eriv´ee. La condition§ Ñ)?*÷ ë § ?>â P , i.e. § ÑZC÷ ë § >â P pour tout !
, signifie que le vecteur §
ÑZ* est orthogonal `a l’espace tangentü
z
2 (voir la formule (8.1) du paragraphe III.8). Il suffit d’utiliser la formule (8.2) du paragraphe III.8 qui dit queü z 2 ¡ ¢ 0 §
* et un th´eor`eme du cours d’Alg`ebre1pour conclure que §
ÑZC% uj
0
§
?* ÷. Ceci implique qu’il existeU
Ua 4Uج÷ tel que
§ ÑZ* 0 § ?* ÷ U Ø !c0 U¡! §0 !?* (2.3)
Ici, on d´enote par0
! les composantes de la fonction0
b
;f
Ø
. Les param`etresU, (U¡Ø
s’appellent les multiplicateurs de Lagrange. En introduisant la fonction de Lagrange
¼ UZb Ñ)1U ÷ 0 ÑZ1 Ø !c0 U! 0 !4 (2.4)
cette condition devient§
ç
¼
U"
P , o`u §
ç d´enote le vecteur des d´eriv´ees partielles par rapport aux composantes de . En r´esum´e, un point M^2 satisfait la condition §
Ñ)?* ÷ ë § ?>â P du th´eor`eme 2.1 si et seulement si CU" est solution du syst`eme
§ ç ¼ U P* 0 P* (2.5)
Il faut donc r´esoudre ce syst`eme `a
5 Ý conditions pour 5 Ý inconnues (» etUY Ø ).
La condition sur la deuxi`eme d´eriv´ee. Essayons maintenant d’´ecrire la condition “¨ est d´efinie (ou semi-d´efinie) positive” du th´eor`eme 2.1 seulement `a l’aide de la fonction0
. Comme on a0 ! ë ?>K
P , en d´erivant par rapport `a>ª, on obtient b Þ b ç²» b½ » b¾ ` P et en d´erivant une deuxi`eme fois, on obtient tmr
b é Þ b ç²» b 磿 b½ » b¾ ` b½ ¿ bt¾<À 5 b Þ b ç²» b é ½ » bt¾ ` bt¾<À P . En utilisant (2.3), l’´el´ement
å¡ du deuxi`eme terme de (2.2) est donc
_ Ñ _ " * _ ë _ >ª _ >ªä ?>â !@m U¡! _ 0 ! _ " C _ ë _ >ª _ >ªä ?>â 1 !@mtmr U¡! _ 0 ! _ " _ "r * _ ë _ >ª >â _ ë r _ >ªä ?>â4
L’expression `a ´etudier devient alors
÷ ¨ ÷ ë § >â ÷ § ÑZ?*1 Ø !c0 U¡! § 0 !?* ë § ?>â, En posant& ë § ?>â et en utilisantü z 2 uj ë §
?>â (voir le paragraphe III.8), la condition “÷ ¨ P poury ! ” devient & ÷ § ç ¼ ?CU!& & ÷ § Ñ)?*21 Ø !c0 U! § 0 !?* & P pour &ð ü z 2
Celle-ci ne d´epend plus de la param´etrisationë
?>K mais uniquement de0 .
1
Rappel du cours d’Alg`ebre. Pour une matrice arbitraire Á on aÂ+ÃtÄÅIÁÇÆÈÊÉËÍÌÎÁMÏ . On utilise ici la notation
Ð
ÈÑÉÒFÓÕÔ×Ö.Ø%ÙÍÓ%ÏÚ)ÉÜÛ pour toutÚ)Ô ÐÞÝ
.
D´emonstration. Ceci suit des ´equivalencesÚ)ÔãÄÅIÁàß ÁÚÎÉáÛ8ß Ó%Ï ÁÚÎÉâÛ pour toutÓãß Ú,äÁMÏÓ pour
toutÓ ß Ú,ä¸ËÍÌ,Á*ÏÕß Ú,ÔhÂ+ËÍÌ)Á*ÏFÆ+È et du fait queÂ
Ð
ÈÆÈÑÉ
Ð
Optimisation 53 Nous avons alors d´emontr´e le r´esultat suivant:
Th´eor`eme 2.2 Soient ÑÉb f suffisamment diff´erentiable,2 ' 9 V 0 P/ une sous-vari´et´e,B2 etUY Ø . Avec ¼
U" donn´ee par (2.4), on a alors
§ ç ¼ CU" P et &Á÷ § ç ¼ ¡U"!& P pour&ð ü z 2 A&; P £ Ñ Vº poss`ede un minimum relatif en £ § ç ¼ ¡U" P et &Á÷ § ç ¼ ¡U"!&ÈOQP pour&ð ü z 2
Corollaire 2.3 Situation comme dans le th´eor`eme 2.2. Alors on a
§ ç ¼ ?CU P et &÷ § ç ¼ ?CU!&ÈxP pour&ð ü z 2 A&; P £ Ñ Vº poss`ede un maximun relatif en £ § ç ¼ ?CU P et &Á÷ § ç ¼ ?CU!&È[QP pour&ð ü z 2
Exemple 2.4 Consid´erons un parall´el´epip`ede droit dont la largeur,
la profondeur et la hauteur sont respectivement 4. et A . Le probl`eme consiste `a maximiser le volume ÑZ @A
?A
tout en gardant le p´erim`etre constant et ´egal `a: (i.e. la sous-vari´et´e
2 est donn´ee par0
4@.A 5 5 LAe1: P ). La fonction de Lagrange pour ce probl`eme est
¼ U ?A1©U 5 5 LA1n:® A
et la condition n´ecessaire (2.5) devient
A=1©*U P ?A=1©*U P ?=1©*U P 5 5 LA=1c: P*
Les solutions de ce syst`eme sont :
 *P/P/ , P/a:  *P/ , P*P*:  / avec U
P dans chaque cas et : Â0& *a: Â0& *a: Â0& / avecU : Â
/K . Il est facile de deviner que le volume est maximal pour
A : Â0&
, mais v´erifions tout de mˆeme la condition suffisante du corollaire 2.3. Pour ceci, nous calculons
§ ç ¼ U P A A P P
ainsi que l’espace tangent pour2 @A÷ V 0 .@A P* : ü z 2 Ò KKA ÷ V 0 5 K 5 ÔA P* W] & 1 & LP/ ÷ & P*1 & ÷ _ La condition& ÷ § ç ¼
?CU!&ÈxP pour&ð
ü
z
2 A&;
P est alors ´equivalente `a la propri´et´e que
& 1 & P & P 1 & P A A P P & & 1 & P P 1 & 1#A 1J13A 1J%1ÉA 1®
soit d´efinie n´egative. Cette condition est satisfaite pour le point : Â0& *: ÂÒ& *a: Â0& K . Pour les autres trois points critiques, les deux valeurs propres de cette matrice sont de signes oppos´es.
54 Optimisation
Exemple 2.5 Cherchons `a minimiser la fonctionÑZ .A
13%13A sur la sous-vari´et´e
2 ð @A÷ V 5 L 1 &« P/% 1A
P* . Cette derni`ere repr´esente l’intersection d’un cylindre vertical avec un plan, c.-`a-d. une ellipse dans l’espace. La fonction de Lagrange est
¼ 4@.AU, 4UC 1É=13A1©U, 5 1 & 1UCCL 1wLA
et la condition n´ecessaire (2.5) devient
& 1©*U, 1©*U¡ P 1 & 1©*Ua P 1 & 5 *U¡ P 5 1 &¬ P 1©A P
dont les solutions sont
UC ¤ å Ua $ æ $ ¤ èç ¦ A $ ¤ å (2.6)
On aimerait d´eterminer laquelle de ces deux solutions repr´esente un minimum (ou maximum) de la fonctionÑ . Nous calculons alors
§ ç ¼ U 1#Ua P P P P P P P
et l’espace tangent pour2 (au points de la solution (2.6))
ü z 2 +0 4KKA ÷ V L 0 5 K P*7Ò 1w£KA P* \] * & K ÷ _4 Avec&Öb * & L/ ÷ on a& ÷ § ç ¼ U!&
1#K*Ua . La fonction Ñ est donc minimale sur2 au point 1 &LÂ * Â *1 &Â
/ ÷ o`uUa est n´egatif et elle est maximale sur2 au point &Â *1# Â * &Â K ÷.