5 7 5 & et posons ?1 & $É Â 7 . Cela donne & ç & $J D 5 E ?1 & $J4 7 et D &Â , E 7 Â
apparaissent en comparant les parties r´eelles et imaginaires des deux membres. Les constantesF
'&Â etG 1 7 Â
s’obtiennent de mani`ere analogue. Ces calculs livrent finalement le r´esultat
+ & 5 à 7 {} 5 7 5 & 1 7 5 & 5 7 k!¢ û kK 7 5 & 5 k4¢ û k/ 7 1 & (4.14)
Remarque. La d´ecomposition en fractions simples fut un des stimulants au r´eveil de l’int´erˆet des math´ematiciens du XVIII
si`ecle pour les racines des polyn ˆomes et pour l’alg`ebre.
V.5 Substitutions importantes
Le r´esultat pr´ec´edent va nous permettre, grˆace `a diverses substitutions, de trouver la primitive pour d’autres classes de fonctions. Dans tout ce qui suit,
repr´esente une fonction rationnelle `a une, deux ou trois arguments.
Int´egrales de la forme
7
5
Çd4+ . Voici une substitution ´evidente :
7 5 Ç î î 1wÇ + X î Õ X +î (5.1) elle donne 7 5 Ç( + î î 1Ç î Õ +î î +î o`u
î est une fonction rationnelle. On peut donc calculer cette derni`ere int´egrale par les tech-niques d´evelopp´ees ci-dessus.
Int´egrales de la forme
?ï
Ú
ç
4+ . Il est ´evident de poser ici î
ï Ú ç avec +î U,ï Ú ç + et + +î Â
UCî . La fonction `a int´egrer qui en r´esulte est une fonction rationnelle. Exemple, + 5 |}@þ + 5 ?ï ç 1©ï Õ ç Â +î î 65 îy1 & +î î 5 / 1© & 7 {} î 5 1 7 î 5 5 7 & 7 {} ï ç 5 e1 7 ï ç 5 5 7 Int´egrales de la forme | L/ û kK
4+ . Une des plus c´el`ebres d´ecouvertes de l’Antiquit´e
grecque (Pythagore 570–501 av. J.-C., voir aussi R.C. Buck 1980, Sherlock Holmes in Babylon, Am. Math. Monthly vol. 87, Nr. 5, p. 335-345) sont les triplets **K , /
& * & / , */*L//, , qui satisfont 5 Ç æ et sont de la forme (î , î 1 & Â , î 5 & Â
) ; cela sugg`ere la substitution
| î & 5 L/ & 13î & 5 û k/ î & (5.2)
74 Calcul int´egral On v´erifie que | î= & 5 L/
; par cons´equent le point
L/ |
est l’intersection de la droite ýÈ î=
&
5
ù
et du cercle unit´e (voir la figure). Doncî
û k/ Â / , k!¢ #û k/ î , et + & 5 î +î Õ ó é u¯ ó é ó u¯ ó é î Â
Cette substitution transforme
| K û k/ 4+ en int´e-grale d’une fonction rationnelle.
Exemple. + 5 |} *+î & 5 î 5 ó u¯ ó é +î î 75 î 5 &
La derni`ere int´egrale nous est d´ej`a connue (4.18) ; par cons´equent,
+ 5 |} 7 k!¢ û kK 7 î 5 & 7 k!¢ #û k/ 7 û k/ 5 & Int´egrales de la forme 7 5 *Ç 5 æ 4+ . L’id´ee (Euler 1768,
88) est de d´efinir une nouvelle variable> par la relation
5 *Ç 5 æ= "Y1©>K
. Cela donne la substitution
C> 1 æ 0?Ç 5 ¡>Ô + "?C> 5 *Çd> 5 æ ?Ç 5 C>K +¡>K 7 5 *Ç 5 æ% $ 7 «>13 $ 7 X C> 5 *Çd> 5 æ Ç 5 ¡>Ô > g$ 7 75 *Ç 5 æ 7 (5.3)
et il s’agit `a nouveau de calculer l’int´egrale d’une fonction rationnelle. Parfois, il est plus simple de transformer l’expression 7
=5
/Çu
5
æ
par une substitution lin´eaire>
è
5
, en une des formes
7 > 5 & 7 > 1 & 7 & 1w>
Puis, les substitutions
> |Aþ î > L/ þ î > | î (5.4)
permettent d’´eliminer les racines carr´ees de l’int´egrale.
Exemple. Consid´erons, une fois de plus, l’int´egrale (3.15). En posant
|}@þ î , nous obtenons 7 5 & + L/ þ î;+î & 5 / þ Lî +î î 5 |}@þ î î 5 |Aþ î / þ î & { 5 7 75 & 5 7 5 &
Remarquons, que la fonction inverse de
|Aþ
î est obtenue en posant
ï
ó dans la d´efinition de
|}@þ
î et en calculant les racines du polyn ˆome
1zY1 &8
P ce qui est ´equivant `a
;1q Õ .
Chapter VI
Equations diff´erentielles ordinaires
Une ´equation diff´erentielle ordinaire est une ´equation de la forme-§ ÑZ -, ou -§§ ÑZ -a-§ ou
Il s’agit donc de trouver une fonction-) telle que
-§ ÑZ .-Z4 ou -§§ ÑZ ..-§ 4
pour tout dans un certain intervalle.
Dans ce chapitre nous commenc¸ons par le cas o`u-) est une fonction scalaire. Nous traitons quelques exemples historiques, et des probl`emes qu’on peut r´esoudre analytiquement. (Cette partie suit de pr`es la pr´esentation des paragraphes II.7 et II.8 du livre “L’analyse au fil de l’histoire” de Hairer & Wanner.) Ensuite nous consid´erons la situation o`u -) est une fonction vectorielle (-yb
f
) et nous ´etudions l’existence et l’unicit´e des solutions.
VI.1 Exemples historiques
Un excellent article sur l’origine des ´equations diff´erentielles est ´ecrit par G. Wanner1. Nous en prenons deux exemples.
VI.1.1 La tractrice
Lors du s´ejour de Leibniz `a Paris (1672–1676) durant lequel il suit des cours d’Huygens, Claude Perrault, c´el`ebre anatomiste et architecte, lui pose le probl`eme suivant : quelle est la courbe qui a la propri´et´e qu’en chacun de ses points: le segment de la tangente entre: et l’axe est de longueur constante ? Pour concr´etiser cette question, Perrault tire de son
gousset une “horologio portabili suae thecae argenteae” et la fait glisser sur la table. Il pr´ecise qu’aucun math´ematicien parisien ni toulousain (Fermat) n’a ´et´e capable de trouver l’´equation de la courbe.
Leibniz publie sa solution en 1693 en affirmant la connaˆıtre depuis longtemps : puisque
+-+ 1 - i.e. 1 - + (1.1)
on trouve la solution par quadratures. Leibniz affirme que c’est un “fait bien connu” que cette aire peut ˆetre exprim´ee `a l’aide d’un logarithme, ce qui se v´erifie avec la substitution
, 1
76 Equations diff´erentielles ordinaires ,
Á+a , qui m`ene `a
5 F 1 - 1q +a 1 & 5 & 1q 5 & 5 +a 1;1 { «11 5 1 1 { «1
Si l’on veut que
pour
P , la constante d’int´egartion s’annule.
VI.1.2 La cat´enaire
Galil´ee (1638) affirme que la forme d’une chaˆıne suspendue entre deux clous est presque une parabole. Environ 20 ans plus tard, un jeune Hollandais ˆag´e de 16 ans (Christiaan Huygens) d´emontre l’impossibilit ´e de ce r´esultat. Enfin, la solution du probl`eme de la forme d’une corde flexible suspendue (“Linea Catenaria vel Funicularis”) par Leibniz (1691) et Joh. Bernoulli (1691) fut un succ`es consid´erable pour le calcul diff´erentiel.
¨ Ã -: D
Figure VI.1: La cat´enaire (gauche) et un dessin de Leibniz de 1691 (droite)
Pour un point : de la courbe, consid´erons la force horizontale¨ et la force verticale à (fig-ure VI.1). Nous avons alors que
¨ ¡ Ã r (o`u etr
sont des constantes et est la longeur d’arc
D
: ) parce qu’il n’y a pas de force horizontale ext´erieure et à repr´esente la pesanteur de la partie
D
: de la chaˆıne. En notant la pente en : par
v -§ , nous obtenons v +-+ Ã ¨ r
Apr`es diff´erentiation, nous avons avecæ%
 r æ)X +v +I & 5 v + (1.2)
une ´equation diff´erentielle pour les variablesv et . En utilisant la substitutionv
|}@þ î , une int´egration donne2 Y13â æ +v & 5 v æ +î æ)X î Par cons´equent, v |}@þ Y1Éâ æ et í 5 æZX L/ þ ¤13â æ (1.3) 2Rappelons que hÉ Â ¬ 4Æ ¦ ,hÉ Â4Æ ¦ , ¬ áÉ ¤ , la d´eriv´ee de!"$# % est !% et la d´eriv´ee de!% est!"$# % .
Equations diff´erentielles ordinaires 77