Deux théorèmes importants de l’analyse - Mathématiques pour Informaticiens

Ø c0 æ *Ñ 5 ñÔÇ1*4 æ ÷ ÑZ 5 ñÔ?Ç)1©* (5.4)

o`u les coefficientsæ 4

Ø sont pour le moment arbitraires. La d´eriv´ee de0

ñd est 0 § ñd Ø tc0 æ äc0 _ ÑL _ "ä 5 ñÔÇ)1©*4?Çnä)1@ä( Qæ ÷ Ñ § ? 5 ñÔ?Ç1©*4Ç)1©*

Une application du th´eor`eme de Lagrange donne

æ ÷ ÑZ?Çª1©ÑZ*4 0 & 21 0 P/ 0 § xa æ ÷ Ñ § ù Ç1©* (5.5) o`uùy 5

x6ÇZ1¸C est sur le segment CÇª . Le choix astucieuxæe

Ñ)?Çª 1Ñ)?* rend maximal l’expression de gauche dans (5.5). En appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz à l’expression de droite de l’équation (5.5), nous obtenons avec (II.5.3) :

:ÑZÇª1ÑZ?*@: [\:ÑZÇd1Ñ)?*@: X :Ñ § ù : X :Ç1,:

En divisant par:Ñ)?Çª1#ÑZ?*: , ceci donne (5.3) (observons que pour :ÑZ?Çª1#ÑZC:

P l’affirmation (5.3) est ´evidente).

III.6 Deux th´eor`emes importants de l’analyse

Le premier étudie l’existence et l’unicité de systèmes d’équations non linéaires. Le deuxième traite la résolution de fonctions implicites.

Th´eor`eme d’inversion locale.

Rappelons que, pour une fonctionÑYb

f (continˆument diff´erentiable), la conditionÑ § ?*«¾

P implique que la fonction est monotone et donc bijective dans un voisinage de . On cherche à généraliser ce résultat.

Pour une fonctionÑ¶b

(continûment différentiable, c.-à-d.ÑZ est partout différentiable et sa dérivéeÑ

est une fonction continue de ), consid´erons l’´equationÑZ

- : Ñ/ @L - ÑLC @L -/ XXX Ñ @L - (6.1)

Elle représente un système de équations à inconnues. On aimerait savoir si, pour un-¶<Ã

donné, ce système possède une solution . La solution, si elle existe, dépend-elle continûment (de manière différentiable) de- ? On veut donc savoir si la fonction Ñ possède (localement) un inverse.

D´efinition 6.1 Une fonction ÑÉb

est un diff´eomorphisme local pr`es de , s’il existe un voisinage Å de et un voisinage Ã de Ç

Ñ)?* tels que Ñb=Å

Ã soit bijective avecÑ V~} et Ñ Õ V continˆument diff´erentiables.

Calcul différentiel (plusieurs variables) 41 Le théorème suivant donne un critère facile à vérifier qui implique qu’une fonction est un difféomorphisme près d’un point. Le résultat est donné sans démonstration.

Théorème 6.2 (théorème d’inversion locale) Soit Ñ b

continûment différentiable. AlorsÑ est un difféomorphisme local près deB si et seulement si la matrice Jacobienne

Ñ § ?* _ Ñ _ "ä ?* mäc0 est inversible.

Exemple 6.3 Consid´erons la fonctionÑYb

f d´efinie par - 5 P* A -/ P* 5 P*// à 1©P* 21 & /1wP* & A (6.2)

Cette fonction est suffisamment compliquée pour qu’une résolution de l’équation ÑZ

- par rapport `a

÷ soit impossible analytiquement. La fonction est illustr´ee dans la figure III.4, o`u on voit une partie d’un grillage dans le plan . ainsi que son image dans le plan - 4-K .

Ñ - -K

Figure III.4: Illustration du th´eor`eme d’inversion locale Pour le point & }* &

}K÷, nous avons dessin´e son image Ç

ÑZ?* . Comme la matrice Jacobienne Ñ § & P* P*2 à 1©P*}271©P*2 P* 5 P*// A 1©P*« 21 & est inversible en

, le th´eor`eme d’inversion locale nous permet de conclure que, pour

-suffisamment proche de Ç , le syst`eme ÑZ

- possède une solution unique proche de . Ce résultat d’existence et d’unicité d’une solution nous encourage à utiliser des méthodes numériques.

Les courbes traitill´ees dans le plan . de la figure III.4 indiquent les points o`uÑ

n’est pas inversible, c.-`a-d. o`u detÑ

P . On ne peut donc pas appliquer le th´eor`eme d’inversion locale en ces points. En effet, pour le pointÇ qui est l’image du point , il n’existe pas de voisinage

Ã tel que, pour tout-ú Ã , le syst`eme Ñ)

- poss`ede une solution unique. Le dessin nous montre qu’il y a des points- proche de Ç , pour lesquelsÑZ

- ne possède pas de solution dans le carré considéré, et d’autres, pour lesquels il y a deux solutions proche de .

Th´eor`eme des fonctions implicites.

Pour une fonction0

b ! Ø f Ø , considérons l’équation0 .-a P , c.-à-d. 0 "!Ô- .L-*Ø¬ P 0 C "!Ô- .L-*Ø¬ P XXX 0 (6.3)

42 Calcul diff´erentiel (plusieurs variables) Nous allons ´etudier si, pour un<

donné, cette équation possède une solution-

, et si cette solution est localement unique.

Afin de mieux préciser le problème posé, considérons un exemple simple. Pour la fonction 0 -, 5 1 &

, l’ensemble des points satisfaisant

P est un cercle. Fixons maintenant un point CÇª sur ce cercle. Nous voyons sur le dessin d’à côté qu’il existe des voisinages Å et Ã de

respectivement de Ç tels que pour Å il existe un unique - Ã avec

P . Cette affirmation est vraie tant queÇB¾

P , mais elle est fausse si

P . Nous constatons que la conditionÇ

P est ´equivalente `a bt b ê ?CÇª P . Ã Å #'

Nous allons généraliser ce résultat à des fonctions0

-a plus compliquées et à la situation où

et- sont des vecteurs comme dans (6.3).

Théorème 6.4 (théorème des fonctions implicites) Soit0

b ! Ø f Ø continˆument diff´e-rentiable et supposons qu’au point ?CÇª7

! Ø 0 CÇª P et _ 0 _ -?CÇª est inversible. Il existe alors un voisinageÅ de , un voisinageÃ deÇ et une applicationë

bÅ

Ã (continˆument diff´erentiable) tels que pour .-aZ<Å

Ã on a 0 -, P ¢g£ ë (6.4)

Remarquons que, pour la fonction0

de (6.3), la d´eriv´ee partielle

ê repr´esente la matrice carr´ee

_ 0 _ -, bt è b êLè -, XXX b è b ê e -, .. . .._. b e b êLè -, XXX b e b ê e -,

Pour pouvoir appliquer ce th´eor`eme, il faut que b

ê soit inversible, i.e. detb

?CÇª«¾

P . Il ne suffit pas que cette matrice soit non nulle.

D´emonstration. Consid´erons l’application

I b -û f 0 -, avec I § ?CÇª þ P bt b ç ?CÇª b b ê ?CÇª

L’hypoth`ese sur l’inversibilit´e de bt

?CÇª implique que

I §

?CÇª est aussi inversible. Le th´eor`eme d’inversion locale montre alors que I

est un diff´eomorphisme local pr`es de ?CÇª . L’application inverse de

est n´ecessairement de la forme

I Õ b î û f î ] î, CommeI f I Õ est l’identité, on a 0 î ] î, et donc 0 î ] îP/4 P . L’affirmation du théorème suit avec ë

]

P/ . CommeI

est un diff´eomorphisme local pr`es de ?CÇª , il n’y a pas d’autres solutions de0

P que celle de la forme ë 4 .

Calcul diff´erentiel (plusieurs variables) 43

Exemple 6.5 Consid´erons la fonction

pour laquelle la condition0 -,

P donne une courbe nette-ment plus compliquée que le cercle de la discussion d’avant le théorème. Pour le point ?CÇªk

}/P*/ /// sur cette courbe (i.e. 0

CÇª

P ), on v´erifie par un calcul direct que

CÇªkÐ1#/}/PK×¾

P . Le théorème des fonctions implicites implique qu’il existe des voisinages Å de , Ã de Ç et une fonction différentiableë

bÅ

Ã tels que (6.4) est vraie pour

.-a69Å

Ã (voir la figure).

Les points de la courbe ayant une tangente verticale (resp. horizontale) peuvent ˆetre trouv´es par la condition

bt b ê -a P (resp. bt b ç -,

P ). Au point du croisement, on a n´ecessaire-ment 0 -, P* b b ê -, P et b b ç -a P (trois condi-tions pour deux inconnues).

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