Syst`emes d’´equations diff´erentielles lin´eaires

-+.-T Z &>-T 1‚1ØMà+.-T Z ú*-T 11‚1=8 T . On en d´eduit que &>-5/21sMŠúÞ-5/21 1 † 0 /ëM /=_ 0. Comme dans la premi`ere partie de la d´emonstration nous trouvons par r´ecurrence que pour tout

HG \ &.-0/212MHú*-0/21 1 † › 0 /hMX/=_ 0 ›/. £ - ? F 1ED 1 † -˜ 1 ›/. £ - ? F 1D 6 La limite ô ö montre que &.-0/21GMPú*-5/21 )9\ pour tout/ìù ø .

VI.5.1 Prolongement des solutions et existence globale

Le th´eor`eme 5.3 garantit l’existence locale d’une solution du probl`eme de Cauchy. Si la fonction

+.-0/

Z

&1

est continˆument diff´erentiable dans un voisinage de -0/=_

Z

& _:1

, le probl`eme de Cauchy&

' ) +.-0/ Z &1 Z &>-5/=_:1X) & _

poss`ede alors une solution unique sur 3/=_UM

˜ Z /=_d? ˜ 4 avec un ˜ ã \ . Consid´erons maintenant le point /s£X) /=_d?

˜

, &=£ä) &.-0/=_d?

˜

1

sur cette solution. On peut r´eappliquer le th´eor`eme 5.3 au probl`eme de Cauchy&

' )Ò+.-0/ Z &1 Z &>-5/s£1Ð) &*£ et ainsi prolonger cette solution. Jusqu’o `u peut on prolonger la solution de cette mani`ere?

Th´eor`eme 5.4 Supposons que la fonction+ —I( ô ¥ (( un ouvert de ÷ ¥ ) soit continˆument diff´erentiable sur( . Alors,

¶

chaque solution de&

'

)V+.-5/

Z

&1

peut ˆetre prolong´ee jusqu’au bord de ( ,

¶

deux solutions de& ' )9+.-5/

Z

&1

ne s’intersectent jamais.

La deuxi`eme affirmation est une cons´equence imm´ediate du th´eor`eme 5.3. La premi`ere est plausible mais n´ecessite quelques r´eflexions (ici, nous ne donnons pas de d´emonstration).

Les affirmations du th´eor`eme peuvent ˆetre observ´ees dans la figure pour l’exemple 2.1 du paragraphe VI.2.

(

/=_ &“_

VI.6 Syst`emes d’´equations diff´erentielles lin´eaires

Dans ce paragraphe nous consid´erons des ´equations diff´erentielles

&S'*) ‰ -5/21]&?X34-5/21 (6.1) o`u ‰ -5/21

est une matriceª^÷óª et3>-0/21

est un vecteur. On dit que cette ´equation diff´erentielle est homog`ene si34-5/21

¬

\

, sinon elle est inhomog`ene.

Th´eor`eme 6.1 (existence globale et unicit´e) Soit ø un intervalle (arbitraire) et supposons que

‰

-0/21

et34-5/21

soient des fonctions continues surø . Alors, le probl`eme de Cauchy&

' ) ‰ -5/21]&2?…34-5/21 , &>-5/=_:1®)u&“_ (avec/=_…ù ø et& _Cù ¥

) poss`ede une solution unique sur tout l’intervalleø .

D´emonstration. La fonction+>-5/

Z

&1.)

‰

-0/21&4?é34-5/21

est continue surø4÷

¥

et satisfait localement une condition de Lipschitz. La solution est donc unique l`a o`u elle existe.

Pour d´emontrer l’existence globale, nous remarquons que les fonctions&

›

-0/21

de la d´emonstration du th´eor`eme 5.3 sont d´efinies sur tout l’intervalle ø et pour tout G

F . Pour un ˜

arbitraire satisfaisant /=_Ð?

˜

ù

ø , la d´emonstration du th´eor`eme 5.3 implique l’existence de la solution sur 3/=_ Z /=_N? ˜ 4. Il suffit de choisir tel que q q-, -‰ -T 1]& _U?V34-T 1178 T 1 0 /BMV/=_ 0 pour /=_ 1 / 1 /=_[? ˜ .

Equations diff´erentielles ordinaires 91

Th´eor`eme 6.2 (principe de superposition) Soit ø un intervalle et soient ‰ -0/21 , 3*£:-0/21 ,3 R -0/21 des fonctions continues surø . Si

&=£ —=ø

ô

¥

est solution de &('*)

‰ -5/21&N?X3Þ£:-5/21 Z & R —=ø ô ¥

est solution de & ' )

‰ -5/21&N?X3 R -5/21 Z alors &>-5/21 — ) n £&*£:-5/21G? n R & R -0/21 est solution de &('*) ‰ -0/21&U?X34-5/21 avec 34-5/21 — ) n £]3Þ£:-5/212? n R 3 R -5/21‚6

D´emonstration. Ceci est un exercice tr`es simple.

VI.6.1 Equations lin´eaires homog`enes

Mˆeme si la d´emonstration du th´eor`eme 6.2 est tr`es simple, il a des cons´equences tr`es importantes. Nous notons par&>-5/

Z

/=_

Z

& _p1

la solution du probl`eme de Cauchy&

' ),+.-5/ Z &1 Z &.-0/=_:1.)B& _ . ¶

les solutions de&

'

)

‰

-5/21&

forment un espace vectoriel;

¶

les solutions de&

'

)

‰

-5/21&

d´ependent lin´eairement de& _

, c.-`a-d., &>-5/ Z /=_ Z n £]&“_®? n R ú7_:1®) n £&.-0/ Z /=_ Z &“_:1G? n R &>-5/ Z /=_ Z ú7_L176 La solution de& ' ) ‰ -5/21& ,&>-5/=_:1.)B&“_

peut donc ˆetre ´ecrite sous la forme

&>-5/ Z /=_ Z & _:1.)J -0/ Z /=_L1&“_ Z (6.2) et la matrice J -5/ Z /=_L1

s’appelle la r´esolvante de l’´equation diff´erentielle&

' ) ‰ -0/21& . La Ù

`eme colonne de la matrice J -0/

Z

/=_L1

est solution de &

'

)

‰

-0/21&

avec pour valeur initiale

&>-5/=_:1.),cf·2) -]\ Z 6p6:6 Z \ Z F Z \ Z 6:6:6f\ 1LK ; ¶ siM -0/21

est une matrice fondamentale (aussi appel´ee Wronskienne), c.-`a-d., les colonnes de

M

-0/21

sont des solutions de&

' ) ‰ -5/21& etM -5/=_L1

est inversible, alors

J -5/ Z /=_L1) M -5/21 M -0/=_ 1 ¦*£ 6 (6.3) En effet,&>-5/21.) M -0/21 M -0/=_1 ¦*£ & _

est solution de& ' )

‰

-5/21]&

Z

&>-5/=_p1.)B& _

.

Th´eor`eme 6.3 (propri´et´es de la r´esolvante) Soit‰ -5/21

continue sur un intervalle. Alors, la r´esolvante de& ' ) ‰ -0/21& satisfait i) Jë'Q-5/ Z /=_L1.) ‰ -5/21EJ -5/ Z /=_L1

(d´eriv´ee par rapport `a/ ) ii) J -5/=_ Z /=_p1) ø (matrice identit´e) iii) J -5/ Z /=_L1.)J -5/ Z /s£‚1EJ -5/s£ Z /=_:1 iv) J -5/ Z /=_L1 est inversible et J -5/ Z /=_L1 ¦*£ )J -5/=_ Z /21‚6

D´emonstration. Par (6.2) on a queJ

' -5/ Z /=_L1]& _é) ‰ -5/21EJ -5/ Z /=_L1]& _ et J -5/=_ Z /=_L1]& _é)9& _ pour tout & _Cù ¥

. Ceci d´emontre les propri´et´es (i) et (ii). La propri´et´e (iii) est une cons´equence du fait que

J -5/ Z /=_L1& _ et J -5/ Z /s£‚1EJ -5/s£ Z /=_:1]& _

sont solutions du mˆeme probl`eme de Cauchy. Finalement, (iv) suit de (iii) en posant/ì)B/=_

92 Equations diff´erentielles ordinaires

Exemple 6.4 L’´equation diff´erentielle& ''

?ó&h)9\

peut ˆetre ´ecrite sous la forme (en posant&*£®)^&

et& R )u& ' ) &*£ & R ' ) \ F M F \ &=£ & R

et poss`ede comme r´esolvante

J -0/ Z /=_L1®) ‡pˆ €:-5/hMä/=_L1 €‚ a -5/@MY/=_L1 MY€ a -0/JMY/=_L1 ‡pˆ €L-5/hMä/=_L1 6

Il est int´eressant de voir que la propri´et´e (iii) du th´eor`eme pr´ec´edent, c.-`a-d.,

‡pˆ“€ ˜ €‚ a…˜ MX€‚ a…˜ ‡pˆ € ˜ ‡ˆ € Ú € a Ú MY€‚ a Ú ‡ˆ € Ú ) ‡ˆ € -˜ ?XÚ1 €‚ a -˜ ?äÚ1 MY€‚ a -˜ ?äÚ1 ‡pˆ“€L-˜ ?äÚ1 avec ˜ )V/ëM^/s£ ,Úà)V/s£>M^/=_ et ˜ ?Ûڊ),/ M /=_

, est ´equivalente au th´eor`eme d’addition pour

€‚

a

/

et‡ˆ € /

.

VI.6.2 Equations lin´eaires inhomog`enes

Consid´erons maintenant l’´equation diff´erentielle (6.1) o`u34-5/21

n’est pas nulle. Si l’on connait la r´esolvante de l’´equation homog`ene, on trouve la solution du probl`eme inhomog`ene par la m´ethode des variations des constantes.

Th´eor`eme 6.5 (variation des constantes) Soient‰ -0/21

et34-5/21

continues sur un intervalle et soit J -5/ Z /=_L1 la r´esolvante de& ' ) ‰ -0/21&

. Alors, la solution de&

' ) ‰ -5/21]&@? 34-5/21 ,&>-5/=_:1…) & _ est donn´ee par &>-5/21.)@J -5/ Z /=_L1]& _®? q q-, J -0/ Z T 134-T 1=8 T 6

D´emonstration. La solution g´en´erale de l’´equation homog`ene est J -5/

Z /=_L1 n avec n ù ¥ . L’id´ee (d’o`u le nom “variation des constantes”) est de chercher une solution de&

' ) ‰ -5/21]& ?´3>-0/21 sous la forme&>-5/21.)J -0/ Z /=_L1 n -5/21

. Il faut alors que

&('Q-0/21®)Jë'Q-5/ Z /=_L1 n -0/21G?J -0/ Z /=_L1 n '-5/21®) ‰ -5/21EJ -5/ Z /=_ 1 n -0/21G?X34-5/21‚6

En utilisant la propri´et´e (i) du th´eor`eme 6.3, nous obtenons

n 'Q-5/21®)J -0/ Z /=_L1 ¦*£ 34-0/21.)J -5/=_ Z /2134-5/21 et par int´egration n -5/21r) n -0/=_L12? q q-, J -0/=_ Z T 134-T 1=8 T

. L’affirmation du th´eor`eme d´ecoule alors en ins´erant cette formule pourn

-0/21 dans&.-0/21.)J -5/ Z /=_L1 n -0/21 .

Ce r´esultat montre que, comme dans le cas particulier de dimension F , la solution g´en´erale de

&

'

)

‰

-0/21&C?ë34-5/21

est compos´ee de la solution g´en´erale de l’´equation homog`ene et d’une solution particuli`ere de l’´equation inhomog`ene. Il reste alors `a discuter le calcul de la r´esolvanteJ -0/

Z

/=_L1

. Pour le cas‰

-5/21®)

‰ (matrice constante), ceci est le sujet du paragraphe suivant. Si‰ -0/21

d´epend de/

Equations diff´erentielles ordinaires 93

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