Syst`emes d’´equations diff´erentielles – exemples

Ow€‚ a /ó)9€ a / , et doncKd),\ etOW),M F ; †

. Ainsi, une solution particuli`ere de (3.26) est donn´ee par

&>-5/21.),M

Ê

î

/é‡pˆ“€ /Ø6

(3.28) Elle explose pour/õô ö

(cf. figure VI.3).

VI.4 Syst`emes d’´equations diff´erentielles – exemples

Dans les premiers paragraphes, nous avons consid´er´e des ´equations diff´erentielles pour une fonc-tion scalaire. A partir de maintenant nous ´etudions des probl`emes

&('*),+.-0/ Z &1 (4.1) o`u+ — ÷ ¥ ô ¥

. On cherche une fonction vectorielle& —=ø

ô

¥

d´efinie sur un intervalleø

et satisfaisant& ' -0/21®),+.-0/ Z &.-0/21‚1 pour tout/ìù ø .

Remarquons qu’une ´equation diff´erentielle d’ordre sup´erieur, par exemple

ú ''' )u34-5/ Z ú Z ú Z ú '' 1 Z

peut ˆetre transform´ee en un syst`eme (4.1) d’ordre un. En posant&*£…)Òú

, & R )³ú ' et& Í )³ú '' , on obtient &=£ & R & Í ' ) & R & Í 3>-0/ Z &=£ Z & R Z & Í 1

qui est sous la forme souhait´ee.

VI.4.1 Le probl`eme de Lotka–Volterra

Commenc¸ons par un probl`eme de la biologie math´ematique. Le d´eveloppement de deux popu-lations (par exemple,

&=£:-T

1

pour le nombre de lynx et&

R

-T

1

pour le nombre de li`evres) peut ˆetre mod´elis´e par les ´equations de Lotka-Volterra

& ' £ )B&*£:-˜ & R MXÚ1 Z & ' R )u& R -5ûhMPüf&=£1 Z (4.2) o`u ˜ Z Ú Z û Z ü

sont des constantes positives. Ceci implique que la population&*£

croˆıt si&

R est plus grand qu’une certaine valeur de seuil (ÚW;

˜

) alors que sinon elle d´ecroˆıt. Pour l’autre population, c’est le contraire. 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 &=£ & R champ de vecteurs (1) ⁽²⁾ (3) &=£ & R invariants

Figure VI.4: Champ de vecteurs (gauche) et invariants (droite) pour le probl`eme (4.2) de Lotka-Volterra avec˜

)uÚ´)Vü…)

F etûõ)

†

Equations diff´erentielles ordinaires 85 Cette ´equation diff´erentielle est sous la forme&

' ),+.-5&1 o`u+ — R ô R

. Elle est repr´esent´ee graphiquement dans la figure VI.4 (dessin de gauche). Pour un point&h)Ó-0&=£

Z

&

R

1e

, le vecteur+.-5&1

est dessin´e comme une fl`eche attach´ee au point&

. L’´equation diff´erentielle exprime le fait que la solution est oblig´ee de suivre ces fl`eches.

On voit sur la figure VI.4 que la solution du syst`eme (4.2) traverse trois ´etapes: (1) si la popula-tion de lynx est petite, celle des li`evres croˆıt; (2) d`es qu’il y a suffisamment de li`evres, la populapopula-tion de lynx croˆıt entraˆınant une diminution de celle des li`evres; (3) la population des lynx d´ecroˆıt `a cause du manque de li`evres. Ces trois ´etapes se r´ep`etent cycliquement.

Invariant du probl`eme de Lotka-Volterra. Pour ´etudier les solutions, divisons les deux ´equa-tions de (4.2) et consid´erons&*£

comme fonction de& R (ou&

R comme fonction de&*£

). On obtient ainsi (par s´eparation de variables)

8L&*£ 8L& R ) &=£:-˜ & R MYÚ[1 & R -0ûhMHüf&=£1 ou -0ûhMHüf&=£1 &*£ 8:&*£.) -˜ & R MYÚ1 & R 8:& R 6

Une int´egration de la derni`ere ´equation donne

û `ga &=£GMPüw&*£®) ˜ & R MYÚ `ga & R ?Výrþpÿ©6 (4.3) Dans la figure VI.4 (droite) sont dessin´ees des courbes de niveau de la fonction (4.3). Chaque solution -0&=£:-T 1 Z & R -T 11Qe

reste sur une courbe de niveau pour toutT

ù

. Ceci sugg`ere que les solutions de (4.2) sont exactement p´eriodiques.

VI.4.2 Le probl`eme de Kepler

Une des plus grandes d´ecouvertes de l’histoire de la science, due `a J. Kepler (1609) et bas´ee sur des mesures pr´ecises de positions de la plan`ete mars faites par lui-mˆeme et par Tycho Brahe, est que les orbites des plan`etes sont elliptiques avec le soleil dans un des foyers (premi`ere loi de Kepler):

N) 8 F ?Hc2‡pˆ € ß Z E K{c 8 K K O ß (dans le dessin,K ) le grand axe,c~) l’excentricit´e,OC) K  F MPc R , 8) O  F MHc R )µKw-F MÎc R 1 ). La deuxi`eme loi de Kepler (

R

I

ß

)‹ýrþpÿ

) dit que le segment qui joint une plan`ete au soleil balaie des aires ´egales en des intervalles de temps ´egaux.

Newton (Principia 1687) a r´eussi `a expliquer ce mouvement des plan`etes par sa loi de gravit´e (force est proportionelle `a F

;

R

) et par la relation entre forces et acceleration (la “Lex II” de la Principia). Si l’on choisit le soleil comme centre du syst`eme des coordonn´ees, la plan`ete restera dans un plan et nous pouvons d´ecrire sa position par deux coordonn´ees -p£

Z

R

1

. Avec des normal-isations convenables, ceci donne le syst`eme d’´equations diff´erentielles d’ordre deux

p£®)VM p£ -R£ ? R R 1Í š R Z R )VM R -R£ ? R R 1Í š R 6 (4.4) On peut introduire des vitesses

Þ£) I p£ Z R ) I R (-T 1 position soleil I (-T 1 vitesse gravit´e

86 Equations diff´erentielles ordinaires

Invariants du probl`eme de Kepler. Cette ´equation diff´erentielle poss`ede plusieurs invariants qui permettent une solution analytique. On v´erifie par diff´erentiation que les expressions

Ê î -¤R£ ?¤R R 12M F R£ ? R R )~_ (´energie totale) :£ R M R *£.)G_ (moment cin´etique) R MÞ£ 2_[M F R£ ? R R p£ R ) ‰ £_ ‰ R _ (vecteur de Runge-Lenz-Pauli)

sont constantes le long des solutions de (4.4). Par exemple, la d´eriv´ee du moment cin´etique donne

8 8 T p£ R M R *£ ) I p£ R ?p£ I R M I R Þ£GM R I Þ£®)*£ R M :£ R R£ ? R R M R *£2M R :£ R£ ? R R ),\6

Deuxi`eme loi de Kepler. Ecrit en coordonn´ees polaires :£X)r‡ˆ €

ß , R )v€‚ aCß , I :£ä) I v‡ˆ € ß M I ß € aCß , I R ) I r€‚ a°ß ? I ß ‡ˆ € ß

, la formule pour le moment cin´etique donne

G_C)p£ I R M R I :£)96:6:6Þ) R I ß

ce qui d´emontre la deuxi`eme loi de Kepler.

Orbite elliptique. La formule pour le vecteur de Runge-Lenz-Pauli nous permet d’exprimerG_*£

et2_

R en termes dep£

et

R . Ces expressions, ins´er´ees dans G_¤-:£

R M R Þ£1®) R_ donnent 2R _ )p£ ‰ £ _? p£ R£ ? R R ? R ‰ R _[? R R£ ? R R ):£ ‰ £_? R ‰ R _[? R£ ? R R 6

En sortant la racine et en prenant son carr´e, on obtient une ´equation quadratique pour -p£

Z

R

1

, ce qui montre que l’orbite est bien une conique.

VI.4.3 Le syst`eme solaire (probl`eme `a

corps)

Le probl`eme de Kepler traˆıte le mouvement d’une plan`ete autour du soleil en tenant compte unique-ment de la force d’attraction entre le soleil et la plan`ete. En utilisant les lois de Newton, on peut formuler sans difficult´e les ´equations d´ecrivant le mouvement en pr´esence des plusieurs plan`etes. Il faut simplement additionner toutes les forces agissant sur un corps (voir la figure VI.5).

J ^S

U N P

Equations diff´erentielles ordinaires 87 En notant par ‚·éù Í la position de la Ù `eme plan`ete (_õù Í

pour le soleil) et par|

·

sa masse, la loi d’attraction et la deuxi`eme loi de Newton donnent l’´equation differentielle

| · ·G),M ·Ö*£ ·¦*£ æ ֓_ D | · | æ ‚·=M æ ‚·=M æ Í Z Ù[)9\ Z 6:6:6 Z è6 (4.5) On peut de nouveau trouver quelques invariants (´energie totale, moment cin´etique), mais ils ne suffisent pas pour pouvoir r´esoudre analytiquement ce probl`eme. Pour pr´edire des eclipses du soleil ou la stabilit´e du syst`eme solaire sur des millions d’ann´ees, on est donc oblig´e d’utiliser des m´ethodes num´eriques (cours de deuxi`eme ann´ee). Dans le paragraphe suivant nous allons ´etudier l’existence et l’unicit´e de la solution d’une telle ´equation diff´erentielle.

VI.4.4 R´eactions chimiques

Consid´erons un m´elange de trois substances chimiques qui r´eagissent selon les formules suivantes:

‰ __   M2M2ô (lente) à? Í! £_!" M2M2ô AB? (tr`es rapide) Î?HA £_$# M2M2ô ‰ ?HA (rapide) (4.6)

Notons les concentrations de ‰ ,

et A

par&=£

, & R et &

Í . Une loi de la chimie (“differentiation law”) nous donne l’´equation diff´erentielle

A: & '£ )VMX\6g\“’p&=£<? F \   & R & Í &*£:-]\“1) F B: & ' R ) \65\ ’p&=£GM F \   & R & Í M ¡ j F \&%]& R R & R -]\“1)Š\ C: & ' Í ) ¡ j F \ % & R R & Í -]\“1)Š\6 (4.7)

Elle est obtenue comme suit: pour chaque r´eaction on consid`ere le produit des concentrations de substances apparaissant `a gauche dans la formule chimique, on le multiplie par la constante d´ecrivant la vitesse de r´eaction, et on ajoute ce produit avec le facteur 

M^}

`a l’´equation pour la substance' , si' apparaˆıt

fois `a droite et}

fois `a gauche de la formule chimique.

On a peu d’espoir de r´esoudre analytiquement ce probl`eme et on est restreint `a ´etudier des propri´et´es th´eoriques (existence, unicit´e de la solution, stabilit´e, 6:6:6

). Pour obtenir des r´esultats quantitatifs, on est oblig´e d’utiliser des m´ethodes num´eriques.

Dans le document Math´ematiques pour Informaticiens (Page 84-87)