Courbes. Pour une courbeb
þ f (diff´erentiable et i %P/B¾ P ), la tangente est la droite donn´ee parxZñd
5 ñ< o`u =P/ et i
=P/ . En d´eplac¸ant l’origine au point , la tangente en `a la courbe2 % þ devient ü z 2 Q ñ< V ñ= .5 .5
qui est un espace vectoriel. Dans les variables originelles, la tangente est alors l’espace affine
5
ü
z
2 qui est un sous-ensemble de . Surfaces dans A
. Comme exemple, prenons l’ellipso¨ıde
2 -a>K 5 Ç 5 > æ W& avec param´etrisation ë a¨ L/ |} Ç | |} æ L/
Pour d´eterminer le plan tangent `a un point
â@.-/â>â ë
â@aâ72 , nous consid´erons les courbes param´etriques=ñd ë ñ(aâ etãñd ë
â@ñd dessin´ees dans la figure III.6. Le dessin de gauche montre en plus les tangentes (en gris)x6ñd
5 ñ<Ò avecÒ i % â etZñd 5 ñ<K avecÔ i
ãâ . Les deux vecteursÒ etÔ engendrent le plan tangent `a l’ellipso¨ıde. Il est donn´e par 5 ü z 2 avec ü z 2 ñL Ò 5 ñnK V ñL ñn o`u Ò _ ë _ âaâ K _ ë _ âaâ4
Pour d’autres courbes dans2 passant par , la tangente est aussi dans
5
ü
z
2 (voir le dessin de droite de la figure III.6).
Ô 0
Figure III.6: Illustration de la d´efinition de l’espace tangent
D´efinition 8.1 Soient2
·
une sous-vari´et´e de etB2 . L’espace tangent `a2 en est
ü z 2 Y il existe»b ?1 f
continˆument diff´erentiable tel que
%ñd62 pourñ%?1 et=P/ et i =P/
Cette d´efinition donne une jolie interpr´etation g´eom´etrique de l’espace tangent. Pour un calcul explicite deü
z
2 , les formules du th´eor`eme suivant sont plus utiles.
Th´eor`eme 8.2 Soient2
·
une sous-vari´et´e de dimension$ etS2 .
5
Si, proche de , 2 est donn´e par une param´etrisation locale ë bà f , c.-`a-d. on a 2 ¹ Å ë ?>K V >¥9ÃB o`uë >â avec>â<à · ! , alors ü 2 uj ë § ?>â Q ë § >â/ñ V ñ% ! * (8.1)
Calcul diff´erentiel (plusieurs variables) 47
5
Si2 est localement donn´e par2
¹ Å Q »9Å V 0 P/ , alors ü z 2 ¡ ¢ 0 § C y V 0 § C P/* (8.2)
D´emonstration. Soitã une courbe dans !
avec ãP/ >â et i ãìP/
ñ (par exemple la droite
ã >â 5 ñ ). Alors=¬b ë
ãì@ est une courbe dans2 satisfaisant=P/
ë ?>â et i =P/ ë § >â i ãP/ ë §
?>â/ñ . Ceci impliqueuj
ë § ?>â · ü z 2 . Si =ñd est une courbe dans2 satisfaisant =PK
et i =P/ , alors 0 =ñd P et 0 § C i =P/ P . Ceci impliqueü z 2 · 4 £¢ 0 § ?* .
Par d´efinition de la sous-vari´et´e2 , les deux espaces vectoriels uj
ë § ?>â et 4 ¢ 0 § C ont la mˆeme dimension $ . On d´eduit donc des inclusions uj
ë § ?>â · ü z 2 · ¡ ¢ 0 § ?* les ´egalit´es uj ë § ?>â ü z 2 84 ¢ 0 § C .
Ce th´eor`eme montre que l’espace tangentü
z
2 est un espace vectoriel de dimension$ (mˆeme dimension que la sous-vari´et´e). La formule (8.1) signifie queü
z
2 est engendr´e par les vecteurs
_ ë _ >@ >âL _ ë _ >ª! >â
(voir les exemples qui pr´ec´edent la d´efinition 8.1). La formule (8.2) peut aussi ˆetre trouv´ee de la mani`ere suivante. Consid´erons, par exemple, l’ellipso¨ıde donn´ee par
0 -a>K 5 Ç 5 > æ 1 &% P*
Proche d’un point â@-/â>â62 , la diff´erentiabilit´e de0
implique que 0 -a>K 0 â-Kâ>â 5 Lâ y1Jâ 5 -Kâ Ç -B13-/â 5 *>â æ >1>â 5 `
En n´egligeant les termes sup´erieurs (les trois points), on obtient la meilleure approximation lin´eaire de0
.-`>Ô proche de â-/â>â . Le plan tangent est donc
.-`>Ô â ¤13â 5 -Kâ Ç -B1J-/â 5 *>â æ >1©>â P
Cela correspond en effet `a la formule (8.2).
Chapter IV
Optimisation
Ce chapitre est consacr´e `a l’´etude des maxima et minima d’une fonction `a plusieurs variables. On dit queÑYbí
f
(avecí
·
) poss`ede un minimum local ou relatif au pointS9í si
Ñ)7OÑZ?* pour tout»9í
¹
Å o`uÅ est un voisinage de . Elle poss`ede un minimum global au pointB3í si
ÑZ6OÑZ* pour toutM9íY
On parle d’un minimum strict si dans ces d´efinitionsÑZ
ÑZC pourQ¾
. Pour obtenir des r´esultats concernant les maxima, il suffit de remplacerÑ par1¥Ñ .
Nous allons ´etudier des minima relatifs dans les cas o`u í
ou une sous-vari´et´e de . Nous discuterons aussi l’algorithme du simplexe pour le cas o`uÑ est une fonction lin´eaire etí un poly`edre.
Remarquons que le th´eor`eme 4.5 du chapitre I nous dit que, siÑYbí
f
est continue et sií
est compact, il existe toujours un minimum global. Malheureusement, sa d´emonstration n’est pas constructive.
IV.1 Minima relatifs
Rappelons que, pour une fonction diff´erentiableѶb
f , la condition Ñ § ?* P est n´ecessaire pour un extremum. Si la fonction est deux fois continˆument diff´erentiable, on a
Ñ § * P Ñ §§ * P £ minimum relatif en® £ Ñ § * P Ñ §§ ?*7OQP (1.1) Consid´erons, par exemple, la fonction
ÑZ P/}2 ± 1©P*P//2 à 1wP* A 5 P/}* −2 −1 1 2 .5 1.0 −1.0 −.5 -Sa d´eriv´ee est Ñ § 5 & }/×1 & }/ et s’annule pour 1 & } , P et & . En 1 & la fonction Ñ
poss`ede un maximum relatif (Ñ §§ ?1 & }K 1®*} K / ©x P ), en Ö& } un minimum relatif (Ñ §§ & / * // P ) et au point
P on n’a ni un maximum ni un minimum (Ñ §§
P/
P ).
Le but de ce paragraphe est de g´en´eraliser l’affirmation (1.1) `a des fonctions `a plusieurs vari-ables. Comme (1.1) se d´emontre `a l’aide de la formule de Taylor, nous rappelons bri`evement les premiers termes de la s´erie de Taylor pour une fonction `a plusieurs variables.
Optimisation 49 Pour une fonction ÑZ
ÑZ L qui est deux fois continˆument diff´erentiable, la s´erie de Taylor avec reste sous forme int´egrale (voir aussi (III.4.10)) est
ÑZ 5 , ÑZ?* 5 Ñ § ?*! 5 â & 1Jñd4Ñ §§ 5 ñ<","+ñ ÑZ?* 5 Ñ § ?*! 5¥¤ ¦ Ñ §§ C," 5 â & 13ñd Ñ §§ ? 5 ñ<"1©Ñ §§ ?* +,"+ñ(
En utilisant le fait que :/?Ñ §§ ? 5 ñ<"`1Ñ §§ *4+,"@:¬[\:Ñ §§ 5 ñ<"a1úÑ §§ ?*: X :): et que toutes les deuxi`emes d´eriv´ees partielles sont continues en , nous obtenons
Ñ)? 5 " ÑZ?* 5 Ñ § C! 5¥¤ ¦ Ñ §§ *," 5 2+"@:): o`u2+" f P si f
P . Comme ÑZ est une fonction scalaire, cette formule peut aussi ˆetre ´ecrite sous la forme ÑZ 5 " Ñ)?* 5c§ ÑZ?* ÷ 5¥¤ ¦ ÷<¨ ?*! 5 `"@:): (1.2) o`u § ÑZ b W b çÔè .. . b W b ç d et ¨ § ÑZ b é W b ç é è b é W b ç è b ç d .. . ... b é W b çad b çÔè b é W b ç é d Le vecteur §
ÑZ est le gradient de la fonction Ñ) et ¨
est sa matrice Hessienne. Cette matrice est sym´etrique car les deuxi`emes d´eriv´ees partielles ne d´ependent pas de l’ordre de la diff´erentiation. C’est surtout la formule (1.2) qu’on va utiliser pour la suite.
La g´en´eralisation de l’affirmation (1.1) est la suivante:
Th´eor`eme 1.1 SoientÑYb
f
deux fois continˆument diff´erentiable etB . Alors on a
§
ÑZ?*
P
¨ * est d´efinie positive £
Ñ poss`ede un minimum relatif en £ § ÑZC P
¨ * est semi-d´efinie positive D´emonstration. Rappelons que si UIH*©«ª est la plus petite valeur propre d’une matrice sym´etrique
¨ , on a
÷ ¨
YOUIH*©«ª*
÷ pourY (1.3)
Ceci est une cons´equence imm´ediate du corollaire II.2.6. Pour§
ÑZ?*
P , la formule de Taylor (1.2) et l’estimation (1.3) impliquent que
ÑZ 5 "21Ñ)?*6O\?UIH*©«ª 5 `" :): Si UIH*©«ª P (c.-`a-d. si la matrice ¨
?* est d´efinie positive), on a ÑZ?
5 " ÑZ* pourȾ P
suffisamment petit. On a mˆeme d´emontr´e que est un minimum strict.
La condition n´ecessaire de l’affirmation du th´eor`eme est une cons´equence de (1.1) appliqu´e `a la fonction0 ñd ÑZ? 5 ñ<" .
Corollaire 1.2 Situation comme dans le th´eor`eme 1.1. Alors on a
§ ÑZC P 1 ¨
C est d´efinie positive
£ Ñ poss`ede un maximum relatif en £ § ÑZ?* P 1 ¨
* est semi-d´efinie positive D´emonstration. Cette affirmation est une cons´equence imm´ediate du th´eor`eme 1.1, carÑ poss`ede un maximum en si et seulement si1¥Ñ poss`ede un minimum en .
50 Optimisation
Exemple 1.3 Cherchons les minima relatifs de la fonction
ÑZ 4 A 5 A 1© ? ¬ ¤ ® ¯ °²± ³ ° ³%´ ³ °²µ
(folium cartesii). Ses courbes de niveau sont dessin´ees dans la figure d’`a cˆot´e. On commence par calculer le gradient
§ Ñ) 1w 1w
et les valeurs de o`u § ÑZ?*
P . Pour cet exemple simple, on trouve tout de suite
P*LP/ et & &
. Pour des fonc-tions plus compliqu´ees, on est oblig´e d’utiliser des m´ethodes num´eriques.
Pour v´erifier s’il s’agit d’un minimum, nous calculons la matrice Hessienne
¨ 1# 1® Le valeurs propres de ¨
?* sont les z´eros du polyn ˆome caract´eristique ?Uß1z*¡ ?Uß1*1
Ó . Au point P*P/ , nous trouvons Ua 1® et U¡
comme valeurs propres de ¨
* . Il ne s’agit donc ni d’un minimum ni d’un maximum, comme on peut le voir sur le dessin. Par contre, les valeurs propres de¨
?* pour & & sont Ua etUC Ó
. Comme elles sont positives, il s’agit d’un minimum relatif.
Remarquons que, pour une fonctionÑ»b ¤f
, la condition§ ÑZ
P donne ´equations `a inconnues `a r´esoudre, notamment
_ Ñ _ L _ Ñ _ 4L _ Ñ _ 4 P*
Pour v´erifier si une solution J repr´esente un minimum relatif de ÑZ , il faut calculer les valeurs propres de la matrice Hessienne ¨
?* . Les deux probl`emes (la r´esolution d’un syst`eme non lin´eaire dans et le calcul des valeurs propres d’une matrice de dimension ) seront trait´es dans le cours ‘Analyse Num´erique’.