le 12 Janvier 2009 UTBM MT26
Final automne 2007
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´edig´ee `a la main
Chaque partie doit ˆ etre r´ edig´ ee sur une feuille diff´ erente
Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.
PREMIERE PARTIE. (12 points)
1) La fonctionf(x) = (1−x)1 2 +1−x1 est-elle d´eveloppable en s´erie enti`ere en 0 sur ]−1,1[ ? Si oui, d´eterminer son d´eveloppement en s´erie enti`ere.
R´eponse :
(2 points) Oui car produit et somme des series de rayon 1, donc le rayon de cette serie est ≥ 1. On trouve, grace `a la formule de Taylor ou aux op´erations sur les s´eries : f(x) = P
n≥0(n+ 2)xn.
2) Soitω = (4x3−4y)dx+ (4y3−4x)dy.
a) Trouverf tel quedf =ω.
R´eponse :
(1 point) f =x4−4xy+y4.
b) d´eterminer les extrema def et pr´eciser leur nature.
R´eponse :
(1 point) Points critiques : (0,0),(1,1),(−1,−1).
Q(0,0)<0 donc point selle,Q(1,1)>0 et∂∂x2f2 >0 donc minimum,Q(−1,−1)>0 et ∂∂x2f2 >0 donc minimum
3) Soientf, φ∈ C2(R,R). On d´efinit F :R2−→R par F(x, y) =f(x+φ(y)).
a) Justifier le fait queF est C2. R´eponse :
1
(1 point) Qu’on la consid`ere comme une fonction en x ou comme une fonction en y, F est la compos´ee de deux fonction C2, elle l’est donc ´egalement.
b) V´erifier que ∂∂x2F2.∂F∂y −∂x ∂y∂2F .∂F∂x = 0.
R´eponse :
(1 point) ∂F∂x(x, y) =f0(x+φ(y)), ∂∂x2F2(x, y) =f00(x+φ(y)), ∂F∂y(x, y) =φ0(y).f0(x+
φ(y)), ∂x ∂y∂2F (x, y) = φ0(y).f00(x+φ(y)).
4)f(x, y) = xx63+yy24 admet-elle une limite lorsque (x, y) tend vers (0,0) ? Justifier.
R´eponse :
(1 point) Sur le chemin{(0, y), y ∈R∗}la limite est 0. Sur le chemin {(x, x32), x∈ R∗} la limite est 12. Donc pas de limite en (0,0).
Mˆeme question avecg(x, y) = xx22+yy44.
R´eponse :
(1 point)On pose X = x, Y = y2. Alors g(x, y) = G(X, Y) = XX22+YY22 donc la limite en (0,0) est clairement 0.
5) D´eterminer sur quel domaine la fonction f(x+iy) = (x+y+ 1) +i(y+ 2) suivante est holomorphe.
R´eponse :
(2 point) ∂P∂y(x, y) = 1 6=−∂Q∂x(x, y) = 0. Donc la fonction est d´erivable en aucun point.
6) D´eterminer f(z) = P(Re(z), Im(z)) + i.Q(Re(z), Im(z)) holomorphe sur C telle que P(x, y) =x etf(π) =π.
R´eponse :
(2 points) ∂Q∂y(x, y) = ∂P∂x(x, y) = 1 doncQ(x, y) =y+φ(x). ∂Q∂x =φ0(x) = −∂P∂y = 0 donc φ(x) = k ∈ R et Q(x, y) =y+k. Mais f(π) =π +k =π donc k = 0. Donc f(z) = z.
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DEUXIEME PARTIE (CHANGER DE FEUILLE !).
Exercice 1 (6 points)
1) D´eterminer le domaine de convergence et la somme de
S1=X
n≥0
2n+ 1
n! xn (0! := 1)et S2=X
n≥1
(−1)n+1.xn+1 n2+n .
R´eponse :
(1 point)S1) an+1a
n = (n+1)(2n+1)2n+3 −→0 doncD =R.S1 =P
n≥1 2n
n!xn+P
n≥0 1 n!xn = 2xP
n≥1 1
(n−1)!xn−1 +ex = 2xex+ex. (1 point) S2) |a|an+1|
n| = n2n+3n+22+n −→ 1 donc R = 1. De plus la somme converge clairement (Riemann) en ±1 donc D = [−1,1]. S20 =P
n≥1(−1)n+1.xnn = ln(1 +x).
Donc S2 = (1 +x).ln(1 +x)−x+k. On a clairement k = 0.
2) Soit l’´equation diff´erentielle
(E) x.y00−x.y0−y= 0.
a) D´eterminer les solutions d´eveloppables en s´erie enti`ere deE ainsi que leur rayon de conver- gence.
R´eponse :
(3 points) −y = P
n≥0−an.xn, −x.y0 = P
n≥1n.an.xn, x.y00 = P
n≥1n.(n + 1).an+1.xn.
Si n= 0, a0 = 0,
Si n≥1, −an.(1 +n) +n.(n+ 1).an+1⇐⇒ an+1 = ann. Donc y=a1.P
n≥1 1
(n−1)!.xn (a1 ∈R) qui converge sur R.
b) Reconnaˆıtre ces solutions.
R´eponse :
(1 point) On a clairement y=a1.xP
n≥1 1
(n−1)!.xn−1 =a1.x.ex
Exercice 2 (6 points)
Soit la fonction paire,2π-p´eriodique d´efinie par : f(x) =
π
2 sur [0,π2] 0 sur ]π2, π]
1) Tracer la courbe repr´esentative de cette fonction sur [−3π,3π].
R´eponse : (1 point)
3
2) Calculer les coefficients de Fourier r´eels et donner le d´eveloppement de Fourier correspon- dant de f.
R´eponse :
(2 points) Paire donc ∀n ≥ 1, bn = 0. a0 = π4. ∀p ≥ 0, a2p+1 = (−1)2p+1p, ∀p ≥ 1, a2p= 0.
3) Quelle est la somme du d´eveloppement de Fourier de f?
R´eponse :
(1 point) D’apr´es le th´eor`eme de Dirichlet la somme est
S(x) =
f(x) pour x6= π2 +kπ (k ∈N)
π
4 sinon
4) Montrer que
+∞
X
p=0
(−1)p 2p+ 1= π
4 et
+∞
X
p=0
1
(2p+ 1)2 = π2 8 .
R´eponse :
(1 point) f(0) = π2 = π4 +P
p≥0 (−1)p
2p+1. (1 point) Parseval : π162 +P
n≥0 1
2.(2p+1)2 = π82.
4
