On note E l'espace vectoriel C

MPSI B Année 2016-2017. DM 16 pour le 9/06/17 29 juin 2019

Ce problème

est constitué de trois parties, la troisième partie étant complètement indé- pendante des deux premières.

On note E l'espace vectoriel C

([0,

], R ) des fonctions continues sur [0,

] à valeurs réelles muni du produit scalaire et de la norme associée dénis par :

∀(f, g) ∈ E

, hf, gi = Z

0

f (t)g(t) dt, kfk = p hf, fi

Un endomorphisme

U de E est dit symétrique déni positif si hU (f ), gi = hf, U(g)i pour tous f, g dans E et si de plus hU (f ), fi > 0 pour tout f ∈ E non nul.

Partie 1 : Opérateurs de Volterra

Étant donné un endomorphisme U de E et un réel λ , on rappelle que λ est une valeur propre de U s'il existe une fonction f ∈ E non nulle telle que U (f ) = λf . On dit alors que f est un vecteur propre de U associé à la valeur propre λ .

On dénit des applications V et et V

en posant pur toute fonction f ∈ E et tout :

∀f ∈ E, ∀x ∈ [0, π

2 ] : V (f )(x) = Z

0

f (t) dt, V

(f )(x) = Z

x

f (t) dt.

1. Montrer que V et V

sont des endomorphismes de E .

2. En observant que V (f ) et −V

(f ) sont des primitives de f , montrer que

∀(f, g) ∈ E

, hV (f ), gi = hf, V

(g)i .

3. Montrer que l'endomorphisme V

◦ V est symétrique déni positif. En déduire que les valeurs propres de V

◦ V sont strictement positives.

4. Soit λ une valeur propre de V

◦ V et soit f

un vecteur propre associé. Montrer que f

est de classe C

et qu'il est solution de l'équation diérentielle

y

+ 1

λ y = 0 avec y( π

2 ) = 0 et y

(0) = 0.

5. Montrer qu'un réel λ est valeur propre de V

◦ V si et seulement s'il existe n ∈ N tel que λ =

. Préciser alors les vecteurs propres associés.

1d'après Mines 1 MP 2015.

2Dans le cas où comme ici l'espace vectoriel est constitué de fonctions, un endomorphisme est souvent appelé un opérateur.

Partie 2 : Equations diérentielles de type Sturm-Liouville

Soient h ∈ E, λ ∈ R. Considérons l'équation diérentielle S et les fonctions ϕ

: S :

( y

+ λy + h = 0

y(π/2) = y

(0) = 0 , ∀n ∈ N , ϕ

:

( [0, π/2] → R t 7→ cos((2n + 1)t) . 1. Déterminer la fonction V (ϕ

) pour tout n ∈ N.

2. Montrer que pour tout n ∈ N

et tout f ∈ E : h(V

◦ V )(f ), ϕ

i = 1

(2n + 1)

hf, ϕ

i . 3. Soit g ∈ E . Montrer que g est solution de S si et seulement si :

g = λV

◦ V (g) + (V

◦ V )(h).

4. Soit g ∈ E une solution de S . Montrer que pour tout n ∈ N :

1 − λ

(2n + 1)

hg, ϕ

i = 1

(2n + 1)

hh, ϕ

i .

5. Supposons qu'il existe p ∈ N tel que λ = (2p+1)

. Déterminer une condition nécessaire sur h pour que S possède une solution.

Partie 3 : Approximation par des fonctions trigonométriques

Soit G = C

([0, π], R ) des fonctions continues sur à valeurs réelles, muni du produit scalaire et de la norme associée dénis par

∀(f, g) ∈ G

, hf, gi

= Z

0

f (t)g(t) dt, kf k

= q

hf, f i

Pour tout n ∈ N, on dénit une fonction c

et un sous-espace vectoriel F

de G :

∀n ∈ N , ∀t ∈ [0, π], c

(t) = cos(nt), F

= Vect(c

, ..., c

) On désigne par P

la projection orthogonale sur F

.

1. Soit p une fonction polynomiale réelle de degré inférieur ou égal à n . Montrer que la fonction t ∈ [0, π] 7→ p(cos(t)) appartient à F

.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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MPSI B Année 2016-2017. DM 16 pour le 9/06/17 29 juin 2019 2. Posons α

=

et α

= q

2

π

pour tout n ∈ N

. Montrer que la famille (α

c

)

est orthonormale.

Dans la n du problème, on admet le théorème de Weierstrass :

Soit f ∈ C([−1, 1], R ) et ε > 0 , il existe une fonction polynomiale P telle que :

∀u ∈ [−1, 1], |f (u) − P (u)| ≤ ε 3. Montrer que pour toute fonction g ∈ G :

kg − P

(g)k

−−−−−→

n→+∞

0.

4. En déduire que pour toute fonction g ∈ G , il existe une suite (a

) telle que :

g −

n

X

k=0

a

c

−−−−−→

n→+∞

0.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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