L.S.El Riadh
Suites Mr Zribi
4 ème Maths Exercices
2010-2011
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1 Exercice 1:
On considère la suite U définie sur IN par:
0
n 1 n n
U 1
3U 2U n ; n IN
3
1/ calculer U1 et U2.
2/ montrer par récurrence que pour tout nIN; Un=
n
n 1 3
Vérifier que pour tout nIN; Un+1= n
n 1
1 1
3U 3
.
3/ soit la suite W définie par Wn=9Un+1-3Un, pour tout nIN.
a) montrer que W est une suite géométrique de raison 1 3. b) Exprimer
n 1 k k 0
W
en fonction de n . 4/ on pose Sn=n 1 k
k 0
U
; nIN*.
a) montrer par récurrence que Sn=
n 1
9 2n 3
4 4.3
; nIN*.
b) Soit nIN*; exprimer
n 1 k 1 k 1
k 3
en fonction de n.
Exercice 2 :
On considère la suite U définie par : U0 et Un 1 1Un2 1Un
2 2
; nIN.
1) on suppose que U0=3 4.
a) montrer que pour tout nIN; 0 Un < 1.
b) Montrer que la suite U est décroissante; en déduire qu'elle est convergente et calculer sa limite.
c) Prouver que Un+1 7
8Un; retrouver le limite de la suite U.
2) on suppose que U0=4 3.
a) montrer que pour out nIN; Un > 1puis que la suite U est croissante.
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b) Montrer que la suite U diverge vers + . c) Montrer que pour tout nIN; Un 1 7Un
6 ; retrouver n
n
lim U
Exercice 3:
Soit la suite U définie par:
0
n
n 1 2
n
U 1 2
U U ; n IN
2 U
.
1) montrer que pour tout nIN; 0 Un 1.
2) a) montrer que U est décroissante et en déduire qu'elle converge.
b) déterminer la limite de la suite U.
3) montrer que pour tout nIN; Un 1 2 Un
7 ; retrouver la limite de U.
4) soit S la suite définie IN* par n n 1 k
k 0
S U
. a) montrer que pour tout nIN;
n n
2 1
U 7 2
.
b) montrer que S est majorée et qu'elle est convergente.
5) soit V la suite définie sur IN par 0
n 1 n n2
V 1 2
V U V ; n IN
.
a) montrer que pour tout nIN; Vn 1
2.
b) montrer que pour tout nIN; 0 Vn+1-Vn Un; en déduire que V est majorée.
c) en déduire que V est convergente.
Exercice 4:
Soit la suite U définie sur IN par
0
n2 n 1
n
U 1 2
U 1 U ;n IN
1 U
. 1) a) montrer que pour tout nIN; 0 < Un < 1.
b) étudier la monotonie de la suite U; en déduire qu'elle est convergente et calculer sa limite.
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2) a) montrer que pour tout nIN; 0 < 1-Un+1 < 2( 1 U )n 3 . b) en déduire que pour tout nIN; 0 < 1-Un 1 2 n
2 3
: retrouver la limite de la suite u.
3) pour tout nIN*; on pose n n k n n
k 1
S U et V S
n
.
a) montrer que pour tout nIN*; 0 < n-Sn 1- 2 n
3
. b) en déduire la limite de la suite V.
Exercice 5:
Soit U la suite définie sur IN* par:
1 n 1
n
U 2
U 2 n² ; n IN *
U
.
1) a) montrer que pour tout n 2, on a: n < Un < n+1. en déduire
n n
lim U
.
b) montrer que la suite U est croissante.
2) soit V la suite définie sur IN* par: n
n
V 1 1
U n
. a) montrer que n 1
n
V 1
V 1 n
.
b) Montrer par récurrence que pour tout nIN*; 1 1 Vn 1
n .
c) Déterminer n n
n n
lim V et lim (U n )
.
3) on pose pour tout nIn*; n n k
k 1
S 1 kV
n²
.
a) montrer que pour tout nIN*; n n k
k 1
n 1 1
S k(V 1)
2n n²
.
b) En déduire que pour tout nIN*; | Sn n 1| 1 2n n
. c) Montrer que la suite S converge vers 1
2.
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4 Exercice 6:
On considère la suite U définie sur IN par : U0=1 et Un+1=
U )² U ( 2
n
n
, nIN.
1/a/ montrer que pour tout nIN ; Un > 0.
b/ étudier la monotonie de la suite U.
c/ montrer que la suite U n’est pas majorée et en déduire n
n
limU
.
2/ on pose Vn=U42n.
a/ montrer que pour tout nIN ; Vn+1 -Vn 1.
b/ montrer que pour tout nIN ; Vn n ; en déduire n
n
limV
. c/ montrer que pour tout nIN* on a : Vn+1 -Vn 1+
n 4
1 . 3/ soit la suite W définie sur IN par : Wn= Vn+1 –Vn. Montrer que W est convergente et calculer sa limite.
