Les solutions de (E

Corrigé de l’interrogation écrite n^◦17

Exercice 1

1. Les solutions sur R de (E₁) :y⁰ = 2y sont les fonctionsx7−→Ce^2x oùC ∈R.

2. Les solutions sur R de (E₂) : y⁰ = −4y+ 3 sont les fonctions x 7−→ Ce^−4x − ₋₄³ i.e.

x7−→Ce^−4x+ ³₄ oùC ∈R.

3. Comme (E₃) :y= 2y⁰+ 5 est équivalente à y⁰ = ¹₂y−⁵₂, les solutions sur Rde (E₃) sont les fonctions x7−→Ce^x2 − ⁻1⁵²

2

i.e. x7−→Ce^x2 + 5 oùC ∈R.

Exercice 2. — Les solutions de (E) : y⁰ = 7y−1 sur R sont les fonctions x 7−→ Ce^7x+ ¹₇ où C ∈ R. Ainsi, il existe C ∈ R tel que f : x 7−→ Ce^7x + ¹₇. De plus, pour tout x ∈ R, f⁰(x) = 7f(x)−1 = 7Ce^7x donc, comme f⁰(0) = 1, 7C = 1 i.e. ¹₇. On conclut donc que f :x7−→ ¹₇e^7x+ ¹₇.

Exercice 3

1. La fonctionf est dérivable sur Rcomme composée et produit de fonctions dérivables et, pour toutx∈R,

f⁰(x) = 1×e^−2x+x×−2e^−2x=−2×xe^−2x+ e^−2x =−2f(x) + e^−2x. Ainsi, f est solution de (F).

2. Soitg une fonction dérivable surR. Alors, comme f est dérivable sur R,g−f également et

(g−f)⁰ =−2(g−f)⇔g⁰−f⁰−=−2g+ 2f ⇔g⁰ =−2g+ (f⁰+ 2f) Or, commef est solution de (F), pour tout réel x, f⁰(x) + 2f(x) = e^−2x donc

(g−f)⁰ =−2(g−f)⇔ ∀x∈R, g⁰(x) = −2g(x) + e^−2x i.e. g−f est solution de (H) si et seulement si g est solution de (F).

3. Les solutions de (F) sont les fonctions x7−→Ce^−2x où C ∈R donc g est solution de (F) si et seulement s’il existe C ∈R tel que, pour tout réelx, (g−f)(x) =Ce^−2x i.e. si et seulement s’il existe C ∈R tel que, pour toutx∈R, g(x) = Ce^−2x+f(x).

On conclut donc que les solutions de (F) sont les fonctions x 7−→ Ce^−2x+xe^−2x i.e.

x7−→(x+C)e^−2x où C ∈R.