Eléments pour un corrigé
Le but mathématique de ce devoir est de calculer l’aire d’une partie du plan.
Soit la fonction f, définie pour tout réel x et telle que f(x) = 29(x 1) 2 (x 2x 3)
+
+ + . On
note C la courbe représentative de f. Une partie de C a été dessinée ci-contre, dans un repère qui n’est pas orthonormé.
0) Tracer sur le dessin ci-contre la droite d d’équation y = 0,5x.
Partie A : position de d par rapport à C.
1) Les positions relatives de d et de C sont obtenues en étudiant le signe de
2 2
x 9(x 1) 2 (x 2x 3)
− +
+ + suivant les valeurs de x. Pour tout x réel,
2 2
x 9(x 1) 2 (x 2x 3)
− +
+ + = (x2 ax b)(x2 3 3x22 9x 9) 2(x 2x 3)
+ + + + +
+ + où a et b sont deux
réels.
(dessin réalisé avec GeoGebra)
a) Ecrire a et b sous formes « simplifiées ». a = 1 et b = -2
b) Ecrire alors x2 + ax +b sous forme d’un produit de
deux polynômes du premier degré en x. (x – 1)(x + 2)
2) Prouver que la fonction g, définie sur R et telle que g(x) = x3 + 3x2 + 9x + 9 est strictement croissante.
On a, pour tout x, g’(x) = 3x2 + 6x + 9.
Le polynôme 3x2 + 6x + 9 a un discriminant strictement négatif (-72), donc il n’a pas de racine et il est donc strictement positif (th. : signe d’un polynôme du second degré en x).
Par suite, la dérivée de g étant strictement positive sur R, g est strictement croissante.
3) a) L’équation g(x) = 0 ne possède qu’une solution α dans R. Ecrire le théorème clé justifiant cette affirmation.
Par exemple :
Th. : si f est dérivable est dérivable et strictement monotone sur un intervalle [a ; b], et si f(a)×f(b) < 0, alors f s’annule une et une seule fois sur ]a ; b[.
b) On en déduit que g(x) > 0 si x ∈ ]α ; +∞[ et que g(x) < 0 si x ∈ ]-∞ ; α[. Ecrire les définitions, propriétés, règles ou théorèmes essentiels qui justifient cette affirmation.
Définition : f est strictement croissante sur un intervalle J signifie, pour tous a et b dans J, si a < b alors f(a) < f(b).
c) Ecrire un encadrement de α d’amplitude 10-2. -1,33 < α < -1,32
d) Présenter un tableau de synthèse de l’étude des signes de x 29(x 1) 2 2 (x 2x 3)
− +
+ + suivant les valeurs de x, et des résultats quant aux positions relatives de d et de C.
Valeurs de x -∞ -2 α 1 +∞
Signe de (x – 1)(x + 2) + 0 - | - 0 + Signe de x3 + 3x2 + 9x + 9 - | - 0 + | + Signe de (x2 + 2x + 3)2 + | + | + | + Signe dex 29(x 1) 2
2 (x 2x 3)
− +
+ + - 0 + 0 - 0 + Positions relatives de d
et de C d sous C | d au dessus de C | d sous C | d au dessus de C
Eléments pour un corrigé
Partie B : nombre d’unités d’aire d’une partie E du plan.
On note F une primitive de f sur R, H une primitive de la fonction qui à x associe 0,5x, et u le nombre d’unités d’aire de E.
1) Représenter sur le dessin la partie E du plan comprise entre d et C et les droites d’équations x = 0 et x = 2.
N.B. :La partie E est la partie coloriée en ocre « clair ».
2) Calculer une fonction F, en citant les définitions, propriétés, règles ou théorèmes utilisés.
En remarquant que 2 1 22x 2 2
x 2x 3 (x 2x 3)
′ +
= −
+ + + +
2
1 u '
ths.: ; (ku) ' ku ' ; (u v) ' u ' v '
u u
′
= − = + = +
, on en déduit qu’on peut
choisir F(x) = 9. 2 1 2 x 2x 3
− + + .
En effet, F’(x) = 9 2 1 9 22x 2 2
2 x 2x 3 2 (x 2x 3)
′ +
− + + = − × − + + (ths précédents) donc F’(x) = 29(x 1) 2 (x 2x 3)
+
+ + = f(x) et (définition d’une primitive) F est une primitive de f.
3) Sans développer le calcul, écrire u à l’aide de
F et H et tous autres nombres nécessaires. {[F(1) – F(0)] - [H(1) – H(0)]} + {[H(2) – H(1)] - [F(2) – F(1)]}
N.B. : cette écriture est « datée » (par ce qui a été vu en cours) 4) Ecrire u sous forme d’une fraction
irréductible de deux entiers.
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Partie C : éléments d’étude de f. (pour le )
1) On veut étudier les sens de variations de f. Quel plan d’étude proposer ? 2) La dérivée f’ de f est telle que, pour tout réel x, f’(x) = 9(3x2 2 6x 1)3
(x 2x 3)
− + +
+ + . Quels sont les théorèmes de dérivation utilisés pour obtenir ce résultat ?
NOM : ENONCE ET FEUILLE – REPONSE Respecter les consignes Le but mathématique de ce devoir est de calculer l’aire d’une partie du plan.
Soit la fonction f, définie pour tout réel x et telle que f(x) = 29(x 1) 2 (x 2x 3)
+
+ + . On
note C la courbe représentative de f. Une partie de C a été dessinée ci-contre, dans un repère qui n’est pas orthonormé.
0) Tracer sur le dessin ci-contre la droite d d’équation y = 0,5x.
Partie A : position de d par rapport à C.
1) Les positions relatives de d et de C sont obtenues en étudiant le signe de
2 2
x 9(x 1) 2 (x 2x 3)
− +
+ + suivant les valeurs de x. Pour tout x réel,
2 2
x 9(x 1) 2 (x 2x 3)
− +
+ + =
2 3 2
2 2
(x ax b)(x 3x 9x 9) 2(x 2x 3)
+ + + + +
+ + où a et b sont deux
réels.
a) Ecrire a et b sous formes « simplifiées ».
b) Ecrire alors x2 + ax +b sous forme d’un produit de deux polynômes du premier degré en x.
2) Prouver que la fonction g, définie sur R et telle que g(x) = x3 + 3x2 + 9x + 9 est strictement croissante.
3) a) L’équation g(x) = 0 ne possède qu’une solution α dans R. Ecrire le théorème clé justifiant cette affirmation.
c) On en déduit que g(x) > 0 si x ∈ ]α ; +∞[ et que g(x) < 0 si x ∈ ]-∞ ; α[. Ecrire les définitions, propriétés, règles ou théorèmes essentiels qui justifient cette affirmation.
c) Ecrire un encadrement de α d’amplitude 10-2.
d) Présenter un tableau de synthèse de l’étude des signes de x 29(x 1) 2 2 (x 2x 3)
− +
+ + suivant les valeurs de x, et des résultats quant aux positions relatives de d et de C.
Partie B : nombre d’unités d’aire d’une partie E du plan.
On note F une primitive de f sur R, H une primitive de la fonction qui à x associe 0,5x, et u le nombre d’unités d’aire de E.
1) Représenter sur le dessin la partie E du plan comprise entre d et C et les droites d’équations x = 0 et x = 2.
2) Calculer une fonction F, en citant les définitions, propriétés, règles ou théorèmes utilisés.
3) Sans développer le calcul, écrire u à l’aide de F et H et tous autres nombres nécessaires.
4) Ecrire u sous forme d’une fraction irréductible de deux entiers.
Partie C : éléments d’étude de f. (pour le )
1) On veut étudier les sens de variations de f. Quel plan d’étude proposer ? 2) La dérivée f’ de f est telle que, pour tout réel x, f’(x) =
2
2 3
9(3x 6x 1) (x 2x 3)
− + +
+ + . Quels sont les théorèmes de dérivation utilisés pour obtenir ce résultat.
