2 Théorèmes fondamentaux sur les primitives

(1)

Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015

D. Blottière Mathématiques

Chapitre 7 Calcul de primitives

Table des matières

1 Notion de primitive 2

2 Théorèmes fondamentaux sur les primitives 2

3 Primitives et linéarité 3

4 Primitives usuelles 3

5 Primitive et composition 4

5.1 Résultat général . . . 4

5.2 Primitive d’une fonction de la formex7→u(ax+b) . . . . 5

5.3 Primitive d’une fonction de la formex7→u^′(x)×u(x)^α, oùα6= −1 . . . 5

5.4 Primitive d’une fonction de la formex7→^u_u(x)^′^(x) . . . 6

5.5 Primitive d’une fonction de la formex7→u^′(x)×e^u(x). . . 7

6 Notion d’intégrale 7

7 Linéarité de l’intégrale 8

8 Fonctions de classeC¹sur un intervalle 8

9 Formule intégrale pour une primitive 9

10 Intégration par parties 9

11 Changement de variable 9

(2)

1 Notion de primitive

Définition 1(Définition de la notion de primitive).

SoitIun intervalle deRet soitf:I→Rune fonction. Une primitive def surIest une fonctionF:I→Rtelle que

1. Fest dérivable surI; 2. F^′(x)=f(x), pour toutx∈I.

Exercice d’application 1.

1. La fonction

¯

F : R → R

x 7→ ln(x²+1) est une primitive de la fonction

¯

f : R → R

x 7→ 2x

x²+1 2. Déterminer une primitive de la fonction

¯

f : R → R

x 7→ x³+x+1 3. Déterminer une primitive de la fonction

¯

f : ]0,+∞[ → R

x 7→ ln(x)

x sur ]0,+∞[.

2 Théorèmes fondamentaux sur les primitives

Théorème 1(Condition suffisante pour l’existence d’une primitive).

SoitIun intervalle deRet soitf:I→Rune fonction continue surI. Alorsf admet une primitive surI.

De la preuve du théorème 1 :Ce théorème est pour le moment admis.

Remarque 1. Le théorème précédent assure l’existence d’une primitive pour une fonction continue sur un intervalle. Toutefois « en général » on ne connaît pas de « formule explicite » pour une primitive. On peut par exemple démontrer que la fonction

¯

f : R → R

x 7→ e⁻^x²

qui est continue surR, ne possède aucune primitive « exprimable à l’aide des fonctions usuelles ».

Théorème 2(Un critère pour qu’une fonction soit constante sur un intervalle).

SoitI un intervalle deRet soit f:I→Rune fonction dérivable surI. Si pour toutx∈I,f^′(x)=0 alorsf est constante surI, i.e. il existe une constante réelleKtelle que

∀x∈I, f(x)=K.

De la preuve du théorème 2 :Ce théorème est pour le moment admis. Il s’agit en fait d’un corollaire du théo- rème des accroissements finis que l’on étudiera plus tard.

Théorème 3(Défaut d’unicité d’une primitive).

SoitIun intervalle deRet soitf:I→Rune fonction continue surI.

1. SiFest une primitive def surI, alors pour toute constante réelleK, la fonction

¯

F+K : I → R

x 7→ F(x)+K est également une primitive def surI.

(3)

2. SiF1etF2sont deux primitives def surI, alors il existe une constante réelleKtelle que

∀x∈I, F2(x)=F1(x)+K.

Les résultats 1. et 2. peuvent se reformuler comme suit. SiFest une primitive fixée def surI, alors l’ensemble des primitives def surIest

½ ¯

¯

I → R

x 7→ F(x)+K :K∈R

¾ . Preuve du théorème 3 :Cf. prises de notes.

3 Primitives et linéarité

Théorème 4(Primitives et linéarité).

SoitI un intervalle deR. Soit f1:I→Rune fonction et soitF1une primitive de f1surI. Soit f2:I→Rune fonction et soitF2une primitive def2surI. Soientλ1etλ2deux réels. Alors la fonction

¯

λ1F1+λ2F2 : I → R

x 7→ λ1F1(x)+λ2F2(x) est une primitive de la fonction

¯

λ1f1+λ2f2 : I → R x 7→ λ1f1(x)+λ2f2(x) surI.

Preuve du théorème 4 :Cf. prises de notes.

Exercice d’application 2. Déterminer toutes les primitives de la fonction

¯

f : R → R

x 7→ 7x³− 3 1+x² surR.

4 Primitives usuelles

Fonction Une primitive Domaine de validité

x7→aoùaest un réel x7→ax R

x7→xⁿo˘n∈Z\ {−1} x7→xⁿ⁺¹ n+1

R sin∈N ]− ∞, 0[ ou ]0,+∞[ sin≤ −2

x7→x⁻¹=1

x x7→ln(|x|) ]− ∞, 0[ ou ]0,+∞[

x7→x^α=e^α^ln(x)oùα∈R\Z x7→x^α⁺¹

α+1 ]0,+∞[

(4)

Fonction Une primitive Domaine de validité

x7→e^x x7→e^x R

x7→sin(x) x7→ −cos(x) R

x7→cos(x) x7→sin(x) R

x7→ 1

cos²(x)=1+tan²(x) x7→tan(x) i

−π 2,π

2 h

(par exemple)

x7→ch(x) x7→sh(x) R

x7→sh(x) x7→ch(x) R

x7→ 1

ch²(x)=1−th²(x) x7→th(x) R

x7→ 1

p1−x² x7→Arcsin(x) ]−1, 1[

x7→ 1

1+x² x7→Arctan(x) R

Déterminer toutes les primitives de la fonction

¯

f : ]0, 1[ → R

x 7→ 2p

x− 3 p1−x² sur ]0, 1[.

5 Primitive et composition

5.1 Résultat général

Théorème 5(Primitive et composition).

Soitu:I→Rune fonction dérivable sur un intervalleI. Soitv:J→Rune fonction dérivable sur un intervalle J. On suppose que pour toutx∈I,u(x)∈J, de sorte que la fonctionv◦u:I→Rest bien définie. Alors on a le résultat suivant.

v◦uest une primitive de la fonctionu^′×(v^′◦u) surI

(5)

De la preuve du théorème 5 :Le théorème 5 est une reformulation, dans le langage des primitives, des résultats sur la dérivabilité et la dérivée d’une composée.

¯

f : R → R

x 7→ e^x 1+e^2x surR.

N.B. :De ce théorème fondamental, on déduit les quatre résultats usuels suivants.

5.2 Primitive d’une fonction de la forme x 7→ u(ax + b)

Théorème 6(Primitive d’une fonction de la formex7→u(ax+b)).

SoitIun intervalle deR. Soitu:I→Rune fonction et soitU:I→Rune primitive deusurI. Soit (a,b)∈R^∗×R et soitJun intervalle deRtel que pour toutx∈J,ax+b∈I. Une primitive de la fonction

¯

J → R

x 7→ u(ax+b) surJest donnée par la fonction

¯

J → R

x 7→ 1

aU(ax+b).

¯

f : R → R

x 7→ cos²(x) surR.

5.3 Primitive d’une fonction de la forme x 7→ u

^′

(x) × u(x)

^α

, où α 6= − 1

Théorème 7(Primitive d’une fonction de la formex7→u^′(x)×u(x)^α, oùα6= −1).

SoitIun intervalle deR. Soitu:I→Rune fonction dérivable surI.

• Cas oùα∈N

Une primitive de la fonction

¯

I → R

x 7→ u^′(x)×u(x)^α surIest donnée par la fonction

¯

I → R

x 7→ 1

α+1u(x)^α⁺¹.

• Cas oùα∈Z\ (N∪{−1})

Siune s’annule pas surI, alors une primitive de la fonction

¯

I → R

x 7→ u^′(x)×u(x)^α surIest donnée par la fonction

¯

I → R

x 7→ 1

α+1u(x)^α⁺¹.

(6)

• Cas oùα∈R\Z

Siuest strictement positive surI, alors une primitive de la fonction

¯

I → R

x 7→ u^′(x)×u(x)^α=u^′(x)×e^α^ln(u(x)) surIest donnée par la fonction

¯

I → R

x 7→ 1

α+1u(x)^α⁺¹. Exercice d’application 6.

1. Déterminer toutes les primitives de la fonction

¯

f : ]0,+∞[ → R

x 7→ ln²(x) x sur ]0,+∞[.

¯

f : R → R

x 7→ x

p1+x² surR.

5.4 Primitive d’une fonction de la forme x 7→

^u_u(x)^′^(x)

Théorème 8(Primitive d’une fonction de la formex7→^u_u(x)^′^(x)).

SoitIun intervalle deR. Soitu:I→Rune fonction dérivable surIet qui ne s’annule pas surI. Une primitive de la fonction

¯

I → R

x 7→ u^′(x) u(x) surIest donnée par la fonction

¯

I → R

x 7→ ln(|u(x)|).

¯

f : ]−1, 1[ → R

x 7→ x

x²−1 sur ]−1, 1[.

¯

f : R → R

x 7→ 1

1+e^x surR.

(7)

5.5 Primitive d’une fonction de la forme x 7→ u

^′

(x) × e

^u(x)

Théorème 9(Primitive d’une fonction de la formex7→u^′(x)×e^u(x)).

SoitIun intervalle deR. Soitu:I→Rune fonction dérivable surI. Une primitive de la fonction

¯

I → R

x 7→ u^′(x)×e^u(x) surIest donnée par la fonction

¯

I → R

x 7→ e^u(x). Exercice d’application 8.

¯

f : R → R

x 7→ x e⁻^x² surR.

6 Notion d’intégrale

Définition 2(Intégrale d’une fonction continue sur un intervalleI, entrea∈Ietb∈I).

Soitf une fonction continue sur un intervalleIet soit (a,b)∈I². On appelle intégrale deaàble nombre réel noté

Zb a

f(x)d xet défini par

Zb a

f(x)d x:=[F(x)]^b_a:=F(b)−F(a) oùFest une primitive (quelconque) def surI.

Théorème 10(La valeur de l’intégrale ne dépend pas du choix d’une primitive).

On conserve les notations de la définition. La définition de Zb

a

f(x)d xne dépend pas du choix de la primitive Fdef surIchoisie.

Preuve du théorème 10 :Cf. prises de notes.

Remarque 2(Interprétation géométrique de l’intégrale).

On munit le plan d’un repère orthonormé (O;−→ i,−→

j). L’unité d’aire est l’aire du carré de côtéOI, oùIest le point du plan tel que−→

OI=−→ i.

Soitf une fonction continue et positive sur un intervalleIet soit (a,b)∈I²tel quea<b. On noteC_f la courbe représentative def relativement au repère (O;−→

i ,→− j).

Alors l’intégrale Zb

a

f(x)d xest l’aire du domaine du plan délimité parC_f, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=aetx=b.

Exercice d’application 9. Soit la fonction

¯

f : ]−1, 1[ → R

x 7→ 1

p1−x². Calculer l’aire du domaine grisé ci-après.

(8)

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

−0.5

−1.0

0.5 1.0

x=¹₂ x=

p3 2

C_f

7 Linéarité de l’intégrale

Théorème 11(Linéarité de l’intégrale).

SoitI un intervalle. Soient f1:I →Ret f2:I →Rdeux fonctions continues surI. Soit (a,b)∈I². Pour tout (λ1,λ2)∈R²

Zb

a λ1f1(x)+λ2f2(x)d x=λ1

Zb

a f1(x)d x+λ2

Zb

a f2(x)d x.

De la preuve du théorème 11

1. Une combinaison linéaire de fonctions continues surIest continue surI. Par suite la fonction

¯

λ1f1+λ2f2 : I → R x 7→ λ1f1(x)+λ2f2(x)

est continue surI. L’intégrale du membre de gauche de l’égalité est donc bien définie.

2. L’identité du théoréme résulte de la définition de l’intégrale (cf. Déf. 2) et du théoréme 4 (primitives et linéarité).

8 Fonctions de classe C

¹

sur un intervalle

Définition 3(Fonction de classeC¹sur un intervalle). SoitIun intervalle. Soitf :I→Rune fonction. On dit quef est de classeC¹surIsi

1. f est dérivable surI; 2. f^′est continue surI.

Théorème 12(Résultats fondamentaux sur les fonctions de classeC¹sur un intervalle).

1. Les fonctions usuelles sont de classeC¹sur leur domaine de dérivabilité.

2. Les résultats sur les opérations sur les fonctions continues et les fonctions dérivables s’étendent natu- rellement aux fonctions de classeC¹.

(9)

Démontrer que la fonction

¯

f : ]− ∞, 2[ → R

x 7→ 2 ln³ 1−x

2

´

−4 cos(x²+1) est de classeC¹sur ]− ∞, 2[.

9 Formule intégrale pour une primitive

Théorème 13(Formule intégrale d’une primitive).

SoitI un intervalle deRet soit f:I→Rune fonction continue surI. Soitx0un point deIfixé. On définit la fonctionFpar

¯

F : I → R

x 7→

Zx x0

f(t)d t. 1. Fest de classeC¹surI.

2. ∀x∈I, F^′(x)=f(x).

3. Fest l’unique primitive def qui est s’annule enx0. Preuve du théorème 13 :Cf. prises de notes.

Remarque 3.

Ce théorème va nous permettre d’utiliser des outils de calcul intégral (e.g. l’intégration par parties et le changement de variables présentés ci-dessous) pour calculer des primitives. On peut par exemple appliquer le théo- rème 13 pour calculer une primitive de ln sur ]0,+∞[ (cf. exemple 11).

10 Intégration par parties

Théorème 14(Formule d’intégration par parties).

Soient I un intervalle deR. Soientu:I→Retv:I →Rdeux fonctions de classeC¹surI. Alors pour tout (a,b)∈I²:

Zb a

u^′(x)×v(x)d x=[u(x)×v(x)]^b_a− Zb

a

u(x)×v^′(x)d x.

Preuve du théorème 14 :Cf. prise de notes.

1. Justifier l’existence de l’intégrale Z₁

0 x e^xd xpuis la calculer.

2. Déterminer toutes les primitives de ln sur ]0,+∞[.

11 Changement de variable

Théorème 15(Formule de changement de variable).

SoitIun intervalle deRet soitf:I→Rune fonction continue surI. SoitJun intervalle deRet soitϕ:J→R une fonction de classeC¹surJtelle que pour toutt∈J,ϕ(t)∈I, de sorte que la composéef ◦ϕ: J→Rest définie. Pour tout (a,b)∈J², on a

Zϕ(b)

ϕ(a) f(x)d x= Zb

a f(ϕ(t))ϕ^′(t)d t. Preuve du théorème 15 :Cf. prise de notes.

(10)

1. Justifier l’existence de l’intégrale Z^p2−1

−1

1

t²+2t+3d tpuis la calculer à l’aide du changement de variable x=t+1

p2 .

2. Justifier l’existence de l’intégrale Z₂

1 e^p^td tpuis la calculer à l’aide du changement de variablex=p t.

¯

f : R → R

t 7→ sin(t) 2+cos(t) surR.