autour de la résolution d'équations numériques

NOM : ENONCE ET FEUILLE-REPONSE Respecter les consignes Le but mathématique de ce devoir est de résoudre des équations, notamment algébriquement, et en particulier l’équation suivante

(e) : ² 4 4 4

x x 1

3 9 3x 2

− + = −

+ .

On note (1) l’équation à deux inconnues y = ² 4 4

x x

3 9

− + , et (2) l’équation à deux inconnues y = 4 1−3x 2

+ . 1) L’équation (1) y = ² 4 4

x x

3 9

− + et le couple de nombres ^{13 7}; 3 2

 

− 

 

 .

a) Sur un brouillon, calculer x^{2 4}x ⁴

3 9

− + en remplaçant x par ¹³

− 3 , et écrire ci- contre le résultat sous forme fractionnaire.

b) Citer les définitions, propriétés, théorèmes ou règles de calculs utilisés pour traiter a).

c) le couple de nombres ^{13 7}; 3 2

 

− 

 

  est-il solution de (1) ? 2) L’équation (2) y = 1 ⁴

−3x 2

+ et le couple de nombres ⁷; b 5

− 

 

  (b est un nombre « masqué »).

a) Sur un brouillon, calculer 1 4

−3x 2

+ en remplaçant x par 7

−5, et écrire ci-contre le résultat sous forme d’un quotient irréductible.

b) Citer les définitions, propriétés, théorèmes ou règles de calculs utilisés pour traiter a).

c) Quelle(s) valeur(s) attribuer à b pour que ⁷; b 5

− 

 

  soit solution de l’équation (2) ? 3) Le dessin ci-joint contient, outre une partie des axes de

coordonnées, une partie de l’ensemble C1 des points dont les coordonnées sont les solutions de l’équation (1), et une partie (ici composée des deux morceaux

« gras ») de l’ensemble C2 des points dont les coordonnées sont les solutions de l’équation (2).

a) Le point de coordonnées ^{13 7}; 3 2

 

− 

 

 

est-il sur C1 ?

b) Le point de coordonnées 1, 2 ;² 7

 

 

  est- il sur C2 ?

c) Le point de coordonnées 1, 2 ;² 7

 

 

  est- il sur C1 ?

4) On veut connaître tous les couples de nombres (a ; 4) solutions de l’équation (1), ce qui revient à trouver tous les nombres a vérifiant l’équation (3) à une inconnue : x² 4x 4

3 9

− + = 4.

a) A l’aide d’une résolution graphique, écrire une valeur approchée de chacune des solutions de cette équation (3).

b) Présenter une résolution algébrique cette équation (3).

NOM : ENONCE ET FEUILLE-REPONSE Respecter les consignes

a) Ecrire les couples solutions recherchés.

5) On revient ici sur la résolution algébrique de l’équation initiale (e) x^{2 4}x ⁴ 1 ⁴

3 9 3x 2

− + = −

+ . a) Combien de solutions peut-on prévoir à cette équation, en supposant que les

dessins « disent » l’essentiel ?

b) Dans la marge à droite, écrire les définitions, propriétés, théorèmes ou règles de calculs utilisés et garantissant l’exactitude des équivalences 1, 2, et 3. Les calculs présentés sont faits pour toute valeur de x distincte de 2

−3.

2 4 4 4

x x 1

3 9 3x 2

− + = − + (

2 9(3x 2)

9x 12x 4

3x 2

− + = − + (

2 9(3x 2)

(3x 2) 0

3x 2

− − − =

+ (

(3x 2)(3x 2) 9

(3x 2) 0

3x 2

− + −

 

−  + =

1.

2.

3.

c) Terminer la résolution algébrique ainsi commencée.

Eléments pour un corrigé

Le but mathématique de ce devoir est de résoudre des équations, notamment algébriquement, et en particulier l’équation suivante (e) : x^{2 4}x ⁴ 1 ⁴

3 9 3x 2

− + = −

+ .

On note (1) l’équation à deux inconnues y = x² 4x 4

3 9

− + , et (2) l’équation à deux inconnues y = 1 4

−3x 2 + . 1) L’équation (1) y = x² 4x 4

3 9

− + et le couple de nombres ^{13 7}; 3 2

 

− 

 

 .

a) Sur un brouillon, calculer x^{2 4}x ⁴

3 9

− + en remplaçant x par ¹³

− 3 , et écrire ci- contre le résultat sous forme fractionnaire.

^{17 4 13} 9 +

b) Citer les définitions, propriétés, théorèmes ou règles de calculs utilisés pour traiter a).

Essentiellement R1 :

2 2

2

a a

b b

  =

   (à condition que b ≠ 0) R2 : ^{a c ac}

b d× =bd(à condition que b ≠ 0 et d ≠ 0) ; R3 : ^{a c a c}

b b b

+ = + (à condition que b ≠ 0)

c) le couple de nombres ^{13 7}; 3 2

 

− 

 

  est-il solution de (1) ?

non 2) L’équation (2) y = 4

1−3x 2

+ et le couple de nombres ⁷; b 5

− 

 

  (b est un nombre « masqué »).

a) Sur un brouillon, calculer 1 ⁴

−3x 2

+ en remplaçant x par ⁷

−5, et écrire ci-contre le résultat sous forme d’un quotient irréductible.

³¹ 11 b) Citer les définitions,

propriétés, théorèmes ou règles de calculs utilisés pour traiter a).

Essentiellement R4 : ^{a ac}

b =bc(à condition que b ≠ 0 et c ≠ 0) ; R5 : a a c ac

b b b

c

= × = (à condition que b ≠ 0 et c ≠ 0) ; R3 (voir ci-dessus)

c) Quelle(s) valeur(s) attribuer à b pour que ⁷; b 5

− 

 

  soit solution de l’équation (2) ? ³¹ 11 3) Le dessin ci-joint contient, outre une partie des axes de

coordonnées, une partie de l’ensemble C1 des points dont les coordonnées sont les solutions de l’équation (1), et une partie (ici composée des deux morceaux

« gras ») de l’ensemble C2 des points dont les coordonnées sont les solutions de l’équation (2).

a) Le point de coordonnées ^{13 7}; 3 2

 

− 

 

 

est-il sur C1 ?

non

b) Le point de coordonnées 1, 2 ;² 7

 

 

  est- il sur C2 ?

oui

c) Le point de coordonnées 1, 2 ;² 7

 

 

  est- il sur C1 ?

non

4) On veut connaître tous les couples de nombres (a ; 4) solutions de l’équation (1), ce qui revient à trouver tous les nombres a vérifiant l’équation (3) à une inconnue : x^{2 4}x ⁴

3 9

− + = 4.

b) A l’aide d’une résolution graphique, écrire une valeur

approchée de chacune des solutions de cette équation (3). Environ -1,3 et 2,7 c) Présenter une résolution algébrique cette équation (3).

On a (par exemple) : x² 4x 4

3 9

− + = 4 ' (identité remarquable et définition d’un carré) 2 2

x 3

 − 

 

  = 2² ' (égalité de deux carrés) 2 2

x 2 ou x 2

3 3

− = − − = ' (R3, R4 ci-dessus) 4 8

x ou x

3 3

= − = .

Eléments pour un corrigé donc les solutions de (3) sont 4

−3 et 8 3. d) Ecrire les couples solutions recherchés.

4 3; 4

− 

 

  8 3; 4

 

 

 

5) On revient ici sur la résolution algébrique de l’équation initiale (e) x² 4x 4 1 4

3 9 3x 2

− + = −

+ . a) Combien de solutions peut-on prévoir à cette équation, en supposant que les

dessins « disent » l’essentiel ? 3

b) Dans la marge à droite, écrire les définitions, propriétés, théorèmes ou règles de calculs utilisés et garantissant l’exactitude des équivalences 1, 2, et 3. Les calculs présentés sont faits pour toute valeur de x distincte de 2

−3.

2 4 4 4

x x 1

3 9 3x 2

− + = − + (

2 9(3x 2)

9x 12x 4

3x 2

− + = − + (

2 9(3x 2)

(3x 2) 0

3x 2

− − − =

+ (

(3x 2)(3x 2) 9

(3x 2) 0

3x 2

− + −

 

−  + =

1. R4 : a ac

b=bc(à condition que b ≠ 0 et c ≠ 0) R3 : a c a c

b b b

+ = + (à condition que b ≠ 0) R6 : a = b ' ac = bc (à condition que c ≠ 0) R7 : b ab

ac= c (à condition que c ≠ 0) 2. R8 : a² – 2ab + b² = (a – b)² R9 : a = b ' a – b = 0

3. R4, R3

R7 : ab – ac = a(b – c)

c) Terminer la résolution algébrique ainsi commencée.

On a (par exemple)

(3x 2)(3x 2) 9

(3x 2) 0

3x 2

− + −

 

−  + =

(

3x – 2 = 0 ou 9x² – 13 = 0 et 3x + 2 ≠ 0 (

2 13 13

x ou x ou x

3 3 3

= = = −

R10 : (a – b)(a + b) = a² – b² R11 : ab = 0 ' a = 0 ou b = 0 R12 : a

b=0' a = 0 et b ≠ 0 R9 : a = b ' a – b = 0

R6 : a = b ' ac = bc (à condition que c ≠ 0) R13 : a² = b² ' a = b ou a = -b

R14 : a a

b = b(à condition que a ≥ 0 et b > 0) D’où les solutions de l’équation (e) : 2

3 et 13

3 et 13

− 3 .