Partie B – Centre de L(E)

DM de MPSI2

Devoir non surveill´ e

Probl` eme – Centre du commutant d’un endomorphisme diagonalisable

1. E d´esignera un R-espace vectoriel de dimension finie n∈N^∗, etuet v d´esigneront des endomorphismes deE. La composition◦ dansL(E) sera not´ee multiplicativement, de sorte queu◦v pourra s’´ecrireuv.

2. ´Etant donn´e des sous-espaces vectorielsE₁, . . . , E_pdeE, on dit que ces sous-espaces sont ensomme directe si

ψ : E₁× · · · ×E_p → E

(x₁, . . . , x_p) 7→ x₁+· · ·+x_p

est injective. On dit alors que la sommeE₁+· · ·+E_n estdirecte, et on peut la noter E₁⊕ · · · ⊕E_n. Si E =E₁⊕ · · · ⊕E_p, alors L(E) est isomorphe `a L(E1, E)× · · · × L(Ep, E), en associant `a v ∈ L(E) le p-uplet (v₁, . . . , v_p) de ses restrictions respectives (au d´epart) `a E₁, . . . , E_p(inutile de le prouver).

3. Pour toute partie non videU deL(E), on appelle centre deU et on noteC(U) l’ensemble des endomor- phismes de Equi commutent avec tous les ´el´ements de U,i.e.:

C(U) ={v∈ L(E),∀u∈U, uv=vu}.

On appellecommutant deuet on noteC(u) l’ensemble des endomorphismes deE qui commutent avecu (c’est donc le centre de{u}).

4. SiP=Pd

k=0a_kX^k∈R[X] (o`u (a_k)_k∈[[0,d]]∈R^d+1), on noteP(u) l’endomorphisme

d

X

k=0

a_ku^k.

Par exemple, on a (5 + 2X+ 4X³)(u) = 5Id_E+ 2u+ 4u³et ((X−1)(X−3))(u) = (u−Id_E)(u−3Id_E).

5. On noteR[u] ={P(u), P ∈ R[X]}. On peut observer queR[u] est le plus petit sous-anneau (au sens de l’inclusion) deL(E) poss´edantu(inutile de le montrer).

6. Soitλ∈R. On dit queλest unevaleur propre deusiu−λIdE n’est pas injectif,i.e.Ker(u−λIdE) n’est pas r´eduit au vecteur nul. Ce noyau est appel´esous-espace propreassoci´e `aλ(et `au), et not´eE_λ(u). Les

´

el´ementsnon nuls deE_λ(u) sont appel´esvecteurs propres deuassoci´es `a la valeur propreλ.

7. On dit queuestdiagonalisable s’il existe une base deE constitu´ee de vecteurs propres pour u,i.e.Eest somme des sous-espaces propres pouru.On admet¹ que cette somme est n´ecessairement directe.

1. Ceux qui ont fini le DS peuvent s’amuser `a le prouver.

Partie A – Pr´ eliminaires

A.1 SoitU une partie non vide deL(E). V´erifier queC(U) est un sous-espace vectoriel et un sous-anneau deL(E), de dimension (en tant qu’espace vectoriel) sup´erieure ou ´egale `a 1.

A.2

a V´erifier queC(u) contientR[u].

bSoitλune valeur propre deu, et soitv∈ C(u). V´erifier queEλ(u) est stable parv.

Partie B – Centre de L(E)

B.1On suppose que tout vecteur non nul deE est vecteur propre deu. Montrer queuest une homoth´etie, i.e.u∈RId_E.

B.2SoitU la partie de L(E) form´ee des projecteurs deE et v∈ C(U). On se donne un vecteur non nul e deE et un suppl´ementaireGdeF = Vect(e). En consid´erant le projecteurpsurF parall`element `aG, montrer queeest vecteur propre dev. En d´eduire quevest une homoth´etie, puis donnerC(U).

B.3Que vautC(L(E)) ?

Partie C – Commutant d’un endomorphisme diagonalisable

Dans cette partie, nous supposons queu∈ L(E) est diagonalisable, et nous notonsλ1, . . . , λp les diff´erentes valeurs propres deu,E1, . . . , Eples sous-espaces propres correspondants, et, pour touti∈[[1, p]],ri= dim(Ei).

Puisqueuest diagonalisable, on an=P

i∈[[1,p]]ri.

C.1Soitv∈ L(E). Montrer quev∈ C(u) si et seulement si pour touti∈[[1, p]],Ei est stable parv.

C.2

a En d´eduire que dim(C(u)) =Pp i=1r²_i.

bMontrer que dim(C(u))>n, et que cette in´egalit´e est une ´egalit´e si et seulement siuadmetnvaleurs propres distinctes.

C.3Soitπ=Qp

k=1(X−λ_k).

a Montrer queπ(u) = 0.

Indication : on pourra montrer queπ(u) est nul sur chaque sous-espace propre associ´e `a u.

bEn d´eduire queR[u] = Vect(u^k)k∈[[0,p−1]].

c Soit x un vecteur propre pour une valeur propre λ de u, P = Pd

k=0akX^k ∈ R[X]. V´erifier que P(u)(x) =P(λ)x.

dMontrer que (u^k)k∈[[0,p−1]] est libre, puis en d´eduire que dimR[u] =p.

C.4Montrer queC(u) =R[u] si et seulement siuadmetnvaleurs propres distinctes.

Partie D – Centre du commutant d’un endomorphisme diagonalisable

On conserve les notations de la partie pr´ec´edente. On noteC2(u) l’espace vectoriel C(C(u)).

D.1V´erifier queR[u]⊂ C₂(u)⊂ C(u).

D.2PourvdansC2(u) etidans [[1, p]], on notevil’endomorphisme deEiinduit parv,i.e.vi=v_|E^|Ei

i. Montrer quevi∈ C(L(Ei)). En d´eduire qu’il existe un r´eelµi tel que vi=µiIdE_i.

D.3Montrer qu’il existe un uniqueQ∈Rp−1[X] tel que :∀i∈[[1, p]], Q(λ_i) =µ_i. D.4Montrer :C2(u) =R[u].