Sur les restes et les n o n - r e s t e s c u b i q u e s

Communiqu~ le 12 septembre 1951

Sur les restes et les n o n - r e s t e s c u b i q u e s

P a r TRYGVE NAGELL

w

Tout nombre premier p ~ 1 (mod 6) peut s'6crire sous la forme

(1) p = 88 2 + 27 B2),

off A et B sont des entiers te]s que A ~ B (rood 2). Dans un travail publi~

en 1923 (volt [1]) j'ai 6tabli le r6sultat suivant:

T h 6 o r ~ m e 1. Dans la representation du nombre premier p sous la /orme (1) tout diviseur premier du produit A B e s t un reste cubique modulo p.

Comme ce r~sultat paralt d'etre rest~ inapergu , j ' y en reproduis la d~monstra- tion. Celle-ci repose sur la th6orie du corps quadratique imaginaire K ( e ) engendr~ par ]e nombre r = 89 ( - - 1 + V - 3). Les propri~tSs des entiers de ce corps sont suppos~es connues; voir [2], p. 185-195 et p. 223.

Soit p = eo(o' la d4composition de p en nombres premiers primaires, et soit o~ = 89 + 3 B V ~ - 3 ) .

D~signons par q un nombre premier rationnel qui divise ou A ou B. Alors, pour ~tablir le th~or~me 1 il faut montrer qu'on air

qt(n-i) ~ 1 (mod p), ou, ce qui est la m~me chose,

q t ( V - 1 ) - 1 (mod w).

Si nous introduisons le symbole d'Eisenstein pour le caract~re cubique, il faut donc que

Nous distinguirons quatre cas.

1) Quand q ~ - - 1 (mod 6), nous aurons en employant la loi de rficiprocit6 cubique

T. NAGELL, Sur les testes et les non-testes cubiques

Si A est divisible par q, il en r6sulte que

Si B est divisible par q, il vient

[ ~ ] : [ 7 1 = 1

En effet, si m est rationnel et premier ~ q, et si q ~ - 1 (mod 3), on a

= m ~ (a~-l) =-- ~m -~- ~ 1 (mod q).

2) Quand q = 2, nous aurons ~ l'aide de la loi de r6ciprocit6 cubique

Car A e t B sont tous les deux pairs; et vu que p est impair, le nombre 89 (A + 3 B) l'est aussi.

3) Soit q ~-~ 1 (rood 6), et soit q = a a ' la d6composition de q en nombres pre- miers primaires. D'apr~s la loi de rfciprocit6 cubique on aura alors

[:l ~ [:1[~1 ~ [:l[:,] -

Si A est divisible par q, il en r6sulte que

[ q ] = [12B~V~3~ 3] [ 1 2 B ~ = 3 ] = [ - 1 2 B V = 3 ] [ 1 2 B V - - 3 ] 2 = 1.

Si B e s t divisible par q, il s'ensuit que

[:l ~- [71 [ ? l ~ [~] [?1'-- ~

Car, pour tout m rationnel et premier ~ q on a 6videmment

[~,~ ~ [:1'

580

4) Quand q = 3, le nombre B e s t divisible par 3, et on aura

Le th~or~me 1 se trouve ainsi d~montr~.

Quand p e s t un nombre premier impair, nous d4signons par g (p; 3) le plus petit nombre premier qui est un reste cubique modulo p. S i p est ~ - 1 (mod 6), t o u t nombre entier est un reste cubique modulo p; done on a dans ce cas ~ (p; 3) = 2. D u th4or~me 1 il suit imm~diatement:

T h ~ o r ~ m e 2. Quand le nombre premier p e s t ~ 1 (mod 6), on a l'indgalit$

(2)

saul pour p = 7. Pour les p qui ne sont pas de la ]orme 8 8 27), cette in$galit~ peut ~tre remplac$e par la suivante:

(3) (p; 3) __< V ~ (4 p - ~ ) ,

On a p. ex. z~(13; 3) = 5, g ( 1 9 ; 3 ) = 7 , ~(31; 3 ) = 2 , ~(37; 3 ) = 1 1 , g(43; 3 ) = 2 .

w

Quand p e s t un hombre premier i m p a i r - - 1 (mod 6), nous d~signons par y~ (p; 3) le plus petit nombre positif qui est un non-reste cubique modulo p.

C'est ~vident que yJ (p; 3) est toujours un nombre premier; dans ce qui suit nous ~crirons pour abr~ger yJ.

Supposons d ' a b o r d que ~ ~ 2. En divisant p par 2 ~ nous aurons

(4) p = 2 ~ h + r,

oh h est un entier positif, et oh r est un entier impair positif ~ ~ - 2. I1 en r~sulte que r est un reste cubique modulo p. Vu que les nombres 2 et - - 1 sont des testes cubiques modulo p, il h u t que h soit un nomreste cubique modulo p. Nous ne pouvons pas avoir h = % puisque ~o 2 n ' e s t pas un reste cubique. Vu que 89 + 1) eat ~ % ce nombre est un reste cubique modulo p, et ainsi h ne p e u t pas ~tre = y ~ + 1. P a r consequent, on a h ~ + 2 , et il suit de (4) que

p ~ 2 ~ ( ~ + 2 ) - - ~ + 2 = 2 ~ ~ + 3 ~ + 2.

E n posant

(5)

T. NAGELL, Sur les testes et les non-testes cubiques off a est un entier-~--> 0, nous aurons

p - - ( 2 a + 7 ) ~ = 2 ( ~ v - - 1) ( ~ - - a - - 1).

Si nous supposons que a + 1 < ~ , le second m e m b r e de cette 6galit6 est u n reste cubique m o d u l o p. I1 f a u t donc que ( 2 a + 7)~o soit un reste cubique m o d u l o p. Ainsi 2 a + 7 est n6cessairement un non-reste cubique > yJ + 2. Alors 1 suit de (5) que

p > 2~v2 + 4 y J - - 3, d'ofi

< - 1 + l/ 89 (p + 5).

Cette in6galit6 est aussi valable p o u r y~ = 2, s i p > 13. Ainsi nous avons le r6sultat s u i v a n t :

T h 6 o r ~ m e 3. Quand le hombre premier p e s t ~ 1 (rood 6), nous avons l'indgalitd (6) ~o (p ; 3) _--< - - I + V 8 9

sau] pour p = 7.

On a p. ex. ~v03; 3) = 2, ~0(19; 3) = 2, F(31; 3) = 3, F(37; 3) = 2, ~0(43; 3) = 3.

On v o l t sans peine que la m ~ m e m 6 t h o d e de d 6 m o n s t r a t i o n que ci-dessus nous d o n n e r a le r6sultat plus g6n6ral s u i v a n t :

T h 6 o r ~ m e 4. Soit p u n nombre premier > 13, et soit n u n nombre entier im- pair > 3, tel que le plus grand commun diviseur de n e t p - 1 soit > 1. Alors, si ~o (p; n) ddsigne le plus petit nombre positi] qui est u n non-reste n i~ne modulo p, nous avons l'indgalitd

(p; n) < - - 1 + V 8 9 + 5).

U n r6sultat plus pr6cis a ~t6 t r o u p e p a r J. M. VINOGRADOV p a r des m o y e n s analytiques; voir [3]. Voir aussi les t r a v a u x de H . J. KANOLD [4] e t [5].

w

Soit p u n n o m b r e p r e m i e r impair. D6signons p a r yJ (p; 2) le plus p e t i t n o m b r e p r e m i e r qui est u n non-reste q u a d r a t i q u e modulo p; et d6signons p a r ~ (p; 2) le plus p e t i t n o m b r e p r e m i e r qui est un reste q u a d r a t i q u e m o d u l o p. D a n s des t r a v a u x ant6rieurs j ' a i d6termin6 des bornes sup6rieures de ~0 (p; 2) e t de ~ (p; 2) en fonetions de p ; voir [1], [6] e t [7]. Cependant, les fonctions ~o(p; 2 ) e t

~t (p; 2) ne sont pas born~es. E n effet, nous allons 6tablir les r6sultats suivants : T h 6 o r ~ m e 5.

lim sup 7~ (p; 2) = oo.

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T h ~ o r ~ m e 6.

lim sttp :r (p; 2) = co.

p - ~ e r

Ddmonstration. Soit t u n h o m b r e positif quelconque, et d6signons p a r Q ]e p r o d u i t de tous les n o m b r e s premiers impairs _--< t. Soit p un n o m b r e p r e m i e r tel que p ~ l ( m o d S Q ) . Alors, si q est un diviseur p r e m i e r de Q, on a

( ~ ) = ( ~ ) = ( ~ ) = + l -

Le n o m b r e 2 est aussi un reste q u a d r a t i q u e m o d u l o p. D o n c on a ~fl (p; 2 ) > t, ce qui d d m o n t r e le th6or~me 5.

P o u r d ~ m o n t r e r le thdorSme 6 nous choisissons un h o m b r e p r e m i e r p tel q u ' o n air

(7) p - - 5 (mod 8) et p -~ hq (mod q)

p o u r t o u s l e s diviseurs p r e m i e r s q de Q; ici hq est un non-reste q u a d r a t i q u e m o d u l o q. L ' e x i s t e n c e d ' u n n o m b r e p r e m i e r p qui satisfait au syst~me des congruences (7) est assur6e p a r ]e th6or~me de Dirichlet sur la progression a r i t h m 6 t i q u e . Alors on a

D o n c t o u s l e s n o m b r e s p r e m i e r s < t sont des non-restes q u a d r a t i q u e s m o d u l o p.

Ainsi nous a v o n s z~ (p; 2 ) > t, ce qui d 6 m o n t r e le th6or~me 6.

C o m m e corollaire du th~or~me 5 nous a v o n s le

T h 6 o r ~ m e 7. Si g(p) ddsigne la plus petite racine primitive positive du module premier p, on a

lim sup g (p) = co.

E n effet, le n o m b r e g (p) est un non-reste q u a d r a t i q u e m o d u l o p. D o n c on a g (p) > ~o (p; 2).

w

P o u r les non-restes cubiques nous a v o n s le r~sultat analogue au thdor~me 5:

T h ~ o r ~ m e 8.

lim sup ~v (p; 3) = co.

D~monstration. S i t est un n o m b r e positiI quelconque, nous d~signons p a r Q le p r o d u i t de tous les n o m b r e s p r e m i e r s < t. Consid~rons la f o r m e q u a d r a - tique en u et v

u 2 + 27 Q2 v 2.

T. NAGELL, S u r les testes et les non-restes cubiques

II est bien connu que cette forme repr~sente une infinit6 de nombres premiers quand u et v prennent des valeurs enti~res; voir [8]. Soit p u n de ces nombres premiers. Alors, en vertu du th6or~me 1 t o u t diviseur premier de Q est un reste cubique modulo p. Nous avons donc ~p(p; 3 ) > t , ce qui d6montre le th6or~me 8.

Nous finissons par d6montrer le T h 6 o r b m e 9.

lira sup ~ (p; 3) = a<).

Ddmonstration. Soit t un hombre quelconque > 3, et d6signons par 3Q le produit de tons les nombres premiers ~ t. Soient ql, q2, qa . . . qr tous les nom- bres premiers ~ - - 1 (rood 3) qui ne surpassent pus t. D6signons par /1,/2, ]3, . . . . ]s t o u s l e s hombres premiers --- 1 (mod 3) non surpassant t. Soit /i = ai at la d6composition de /i en nombres premiers primaires dans le corps K (Q).

D6signons par tti un reste cubique dans K (Q) modulo ai, par vi un non- reste cubique dans K ( o ) modulo a~ et par Tj un non-reste cubique duns K ( ~ ) modulo qi. L'existence des hombres #~, vi et 3i se v6rifie sans peine p a r la th6orie du corps K(~).

Alors c'est 6vident que le syst~me des r + 2 s congruences simultan6es

(8)

~ # i (modai), ( i = 1 , 2 , . . . , s), ----Ivi ( m o d a l ) , ( i = 1 , 2 . . . s), --=~j (modqj), ( j = 1 , 2 . . . r),

a d m e t une solution ~ modulo Q dans K ( 0 ). Car les modules sont premiers e n t r ' e u x deux s deux.

E n e m p l o y a n t ]e symbole d'Eisenstein nous avons donc

l: l

Nous pouvons supposer clue le nombre ~ ne soit pas divisible par V - 3 . E n effet, si $ est divisible par V - - 3 , le nombre ~ + Q est une autre solution du syst~me (8) qui n ' e s t pas divisible par V - - 3 . Si ~ = 89 (a 1 -t-bl ] / - 3), o~1 a I et bl sont des entiers rationnels, on peut supposer que b 1 soit divisible par 3 et non par 9. En effet, si bl n ' e s t pas divisible par 3, la solution ~ peut ~tre remplac6e par l'une ou l'autre des deux solutions

~ 1 = ~: + Q V ~ 3 = 89 1 + ( b l • 2Q) V - 3 ) .

Nous choisissons ici le signe de fagon que bl _+ 2 Q soit divisible par 3.

b l _ 2 Q est divisible par 9, nous pouvons remplacer ~=1 p a r la solution

~ = ~ I + 3 Q V - 3 = 8 9

Si

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off le n o m b r e bl _+ 2 Q + 3 Q est divisible par 3 et n o n p a r 9. P a r consequent, nous p o a v o n s supposer que

$ = 89 + 3 b V ~- 3),

off a et b sont des entiers rationnels, tels que a b ne soit pas divisible p a r 3.

Consid6rons maintenan~ la forme q u a d r a t i q u e en u et v 8 8 e + 2 7 ( b u + 3Qv)2).

Cette forme repr6sente une infinit6 de n o m b r e s premiers, q u a n d u et v pren- n e n t des valeurs enti~res; voir [8]. Soit p u n de ces h o m b r e s premiers, et soit p = cow' la d6composition de p en h o m b r e s premiers primaires, done

o ) = 8 9 + 3 Q v + ( 3 b u + 9 Q v ) V - 3 ) .

Q u a n d q] est un h o m b r e premier ~ - - 1 (rood 3), nous a u r o n s s l'aide de la loi de r6ciprocit6 cubique

[:] [o1

d'ofi, v u que Q est divisible p a r qi,

[~:]= [?]= [:]

D ' a p r 6 s (8) le dernier s y m b o l e a une valeur r 1. ]l en r6~sulte que le h o m b r e premier q1 est un non-reste cubique modulo w e t done aussi modulo p.

Soit [~ un h o m b r e premier ~ 1 (rood 3), et soit /i = aia~ la d@omposition comme ci-dessus. D ' a p r ~ s la loi de r~eiproGit5 eubique on aura alors

I:1 ~ l:l [;~]= [:1 I~I

Q g t a n t divisible par /~ il vient

[:l[:l= [~1 [sr]: [:1 [~l [~5}: [:1 [:[[:~l= H

D'apr~s (8) le dernier symbole a une valeur -~ ]. I1 en r~sulte que le n o m b r e premier ] i e s t un non-reste cubique m o d u l o r et done aussi modulo p.

C'est facile de voir que le h o m b r e 3 est aussi un non-reste cubique modulo p.

E n effet, on a

Car, le n o m b r e b n ' e s t pas divisible p a r 3, et c'est 5vident que le n~,mbr4~ u ne ]'est pas non plus.

T, NAGELL, S u r les restes et les non-testes cubiques

I1 r6sulte de t o u t ce qui pr6c~de que tous les nombres premiers rationnels t sent des non-testes cubiques modulo p. Donc nous avons g (p; 3 ) > t, ce qui d6montre le th~or~nle 9.

C'est un fair trSs int6ressant que les d6monstrations des th6or~mes 1, 2, 5, 6, 7, 8 et 9 reposent sur l'emploi des lois de r6ciprocit6 quadratique ou cubique.

I N D E X B I B L I O G R A P H I Q U E . [1] T . N a g e l l , Z a h l e n t h e o r e t i s c h e N o t i z e n , V i d e n s k . selsk. Skrifter, M a t e m . - n a t u r v . Kl., Oslo 1923, N o 13, I V . - - [2] P a u l B a c h m a n n , Die L e h r e y o n d e r K r e i s t h e i l u n g , L e i p z i g 1872. - - [3] J . M . V i n o g r a d o v , O n t h e b o u n d of t h e l e a s t n o n - r e s i d u e of n - t h powers, T r a n s a c t i o n s of t h e A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y 29 (1927), S. 218-226. - - [4] H . J . K a n o l d , S/~tze fiber K r e i s t e i l u n g s p o l y n o m o u n d i h r e A n - w e n d u n g e n a u f einige z a h l e n t h e o r e t i s c h e P r o b l e m o I , J o u r n a l fiir M a t h e m a t i k , B d 187 (1949). - - [5]. H . J . K a n o l d , E i n e B e m e r k u n g z u r V e r t e i l u n g d e r r - t e n P o t e n z n i c h t r e s t e e i n e r u n g e r a d e n P r i m z a h l , J o u r n a l fiir M a t h e m a t i k , B d 188 (1950). - - [6] T . N a g e l l , S u r les r e s t e s et les n o n - r e s t e s q u a d r a t i q u e s s u i v a n t u n m o d u l e p r e m i e r , A r k i v f. M a t e m a t i k , B d 1, N r 16, S t o c k h o l m 1950. - - [7] T . N a g e l l , S u r le p l u s p e t i t n o n - r e s t e q u a d r a t i q u e i m p a i r , A r k i v f. M a t e m a t i k , B d 2, N r 2, S t o c k h o l m 1951. - - [8] H . W e b e r , B e w e i s d e s Satzes; d a s s j e d e e i g e n t l i c h p r i m i t i v e q u a d r a t i s c h e F o r m u n e n d l i c h viele P r i m z a h l e n d a r - z u s t e l l e n f a h i g ist, M a t h e m a t i s c h e A n n a l e n , B d 20 (1882).

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Tryckt den 26 oktober 1951

Uppsala 1951. Almqvist & Wiksells Boktryekeri AB